WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

00 3(l-1) Ml = {2i; i = 0, 1, 2,..., } для нечетных номеров l и Ml = {2i + 1; i = 3(l-1)-0, 1, 2,..., } для четных l. Можно показать, что при некотором C > для нечетных значений q 3(q-1) (1) q (k, x1, x2) C(k(x1 + x2)) (30) и для четных q 3(q-1)-(1) q (k, x1, x2) C(k(x1 + x2)).

(31) Последний интеграл в (29) допускает следующие оценки: при нечетном q (2) 2 2k+2x- 1 q (k, x1, x2, x)e- ((k+x)x1+ x2)2 dx 3(q-1) 2 2k-2 1 C(k(x1 + x2)) e- (kx1+ x2)и при четном q (2) 2 2k+2x- 1 q (k, x1, x2, x)e- ((k+x)x1+ x2)2 dx 3(q-1)-1 2 2k-2 1 C(k(x1 + x2)) e- (kx1+ x2)2.

Обозначим I1(n) + (a + b)I2(n) = I1(n) + n(x1 + x2)I2(n) q- 1 (l) 1 Ui i2(k)xi xi + q(k, x1, x2), (32) 1 nl/2 nq/l=0 sMl где 2 2k-(1) 1 q(k, x1, x2) = q (k, x1, x2)e- (kx1+ x2)2 + n(x1 + x2) 2 2k+2x-(2) 1 q+1(k, x1, x2, x)e- ((k+x)x1+ x2)2 dx. (33) Для нечетных l и q 3l + Ml = 2i; i = 0, 1, 2,...,, (34) 3q-1 3q+1 2 2k-2 2 1 | q(k, x1, x2)| Ck (x1 + x2) e- (kx1+ x2)2. (35) Если l, q четные или l = 0, то 3l Ml = 2i + 1; i = 0, 1, 2,...,, (36) 3q 3q 2 2k-+2 2 1 | q(k, x1, x2)| k (x1 + x2) e- (kx1+ x2)2. (37) Асимптотические разложения Главный член разложения (32) равен 1 x1 + x2 2k + 2x - (0) (0) U10 x1 + U01 x2 = 21 exp -1 (k + x)x1 + x2 dx = 2( 0,(2(k + 1)(x1 + x2) - x2) - 0,(2k(x1 + x2) - x2)), (38) где 0,(x) функция нормального распределения с параметрами 0 и.

Подставляя (13), (14), (32) в (9), получаем асимптотическое разложение для (1) P n = k в указанном случае. Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 4. Пусть k = const, k 1, a = x1 n, b = x2 n, n. Тогда при q q- 1 (l) (1) 1 P(n = k) = Ui i2(k)xi xi + q(k, x1, x2), (39) 1 nl/2 nq/l=0 i1+i2Ml (l) где Ml, Ui i2(k), q(k, x1, x2) определяются соотношениями (32)–(37), главный член разложения (39) вычислен в (38).

Займемся нахождением полных асимптотических разложений распределения числа пересечений в случае, когда ширина полосы растет медленнее, чем n. Предположим, что ak = o( n), bk = o( n), a = a(n), b = b(n), n. Обозначим i = (i1, i2, i3, i4, i5), и пусть в отличие от предыдущих рассмотрений s = i1 + i2 + i3 + i4 + i5, где i1, i2, i3, i4, i5 принимают значения 0, 1, 2,.... Функции nf(t0), nf(t0) допускают разложения вида 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki nf(t0) i, (40) (j) nj j=1 s=j+ 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (j) nf(t0) i (x). (41) nj j=1 s=j+Заметим, что при указанной скорости роста a, b, k все члены рядов (40), (41) стремятся к нулю и, следовательно, имеют место разложения 1 2 3 4 0 (j) (ak)i (bk)i ai bi ki enf(t ) 1 + i, (42) nj j=1 j+1s2j 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (j) enf(t ) 1 + i (x). (43) nj j=1 j+1s2j Функции Ql, Ql также допускают разложения вида 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki Ql i, (44) (jl) nj j=0 s=j 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (jl) Ql i (x). (45) nj j=0 s=j 840 В. И. Лотов, Н. Г. Орлова (j) (j) (j) (jl), (jl) Коэффициенты i, i (x), i i (x) от n не зависят. Кроме того, i (x), (jl) i (x) являются многочленами от x степени не выше s, а 0 = 0 (x) = (00) (00) 21/, где 0 = (0, 0, 0, 0, 0).

Подставим результаты непосредственного перемножения рядов (42) и (44), (43) и (45) соответственно в (18) и (19). Проведем перегруппировку слагаемых по степеням n. Полученные результаты обозначим через q- 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki ((a + b)k)2q I1(n) (l) + O, (46) i nl+1/2 nq+1/l=0 0s2l q- 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki ((a + b)k)2q I2(n) (l) + O. (47) i nl+1/2 nq+1/l=0 0s2l Далее, q- 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (a + b)2q+1k2q I1(n) + (a + b)I2(n) (l) + O.

i nl+1/2 nq+1/l=0 0s2l+(48) Окончательно подстановка (13), (14), (48) в (9) дает асимптотическое разложе (1) ние для P n = k. Таким образом, доказана Теорема 5. Пусть k 1, ak = o( n), bk = o( n), a = a(n), b = b(n), n. Тогда для любого q q- 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (a + b)2q+1k2q (1) P n = k = (l) + O, (49) i nl+1/2 nq+1/l=0 0s2l+21(a+b) где главный член разложения (49) равен, коэффициенты (l) опредеi n ляются цепочкой формул (40)–(48), i = (i1, i2, i3, i4, i5), s = i1 + i2 + i3 + i4 + i5, ij 0, j = 1,..., 5.

Рассмотрим последний случай, когда (ak)/ n, (bk)/ n. Буквой s, как и при доказательстве теоремы 6, будем обозначать сумму используемых индексов, s = i1+i2+i3+i4+i5, i = (i1, i2, i3, i4, i5). Пусть m равно наибольшему индексу j, при котором хотя бы одно слагаемое во внутренней сумме в (40) (а также и в (41)) не стремится к нулю при n. Полагаем m =, если таких чисел j не найдется. Ясно, что в широких условиях (например, при max(ak, bk) Cn1-, > 0) число m конечно.

Определим функцию d следующим образом: для s = j +1 полагаем d(i, j) = 1 2 3 4 1, если (ak)i (bk)i ai bi ki /nj 0 при n, и d(i, j) = 0 в противном случае.

Обозначим m 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki K(a, b, k, n) i - d(i, j)), (50) (j)(nj j=1 s=j+m 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki K(a, b, k, n, x) (j)(x)(1 - d(i, j)). (51) i nj j=1 s=j+Тогда 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki exp{nf(t0)} = eK(a,b,k,n) exp i j) (52) (j)d(i, nj j=1 s=j+Асимптотические разложения и аналогично 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (j) exp{nf(t0)} = eK(a,b,k,n,x) exp i (x)d(i, j).

nj j=1 s=j+(53) Экспоненты, участвующие в правых частях этих формул, могут быть также разложены в ряды:

1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki exp i j) (j)d(i, nj j=1 s=j+ 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki 1 + (j) (54) i nj j=1 j+1s2j и аналогично 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (j) exp i (x)d(i, j) nj j=1 s=j+ 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki 1 + u(j)(x). (55) i nj j=1 j+1s2j Заметим, что Ql, Ql, в свою очередь, допускают разложения вида 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (jl) Ql = i, (56) nj j=0 s=j 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki (jl) Ql = vi (x), (57) nj j=0 s=j (00) (00) где 0 = v0 = 21/. Подставим (54), (55) в (52), (53), а затем полученные результаты вместе с (56), (57) подставим в (18), (19). Перемножив соответствующие ряды, получим разложения вида q- 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki ((a + b)k)2q I1(n) eK(a,b,k,n) A(l) + O, i nl+1/2 nq+1/l=0 0s2l (58) q- 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki I2(n) eK(a,b,k,n,x)A(l)(x) dx i nl+1/l=0 0s2l 1 ((a + b)k)2q + eK(a,b,k,n,x)A(q)(x) dx O. (59) i nq+1/Собирая полученные разложения в соответствии с формулами (9), (13)– (1) (15), приходим к асимптотическому разложению для P n = k. Тем самым доказана следующая 842 В. И. Лотов, Н. Г. Орлова ak bk Теорема 6. Пусть,, n. Тогда для любого q 1, n n k q- (1) eK(a,b,k,n)A(l) + (a + b) eK(a,b,k,n,x)A(l)(x) dx P n = k = i i l=0 0s2l 1 1 2 3 4 (ak)i (bk)i ai bi ki eK(a,b,k,n) + eK(a,b,k,n,x) dx O (a + b)2q+1k2q +.

nl+1/2 nq+1/(60) Коэффициенты A(l), A(l)(x) определяются цепочкой формул (52)–(59), A(0) i i = A(0)(x) = 21/. Функции K(a, b, k, n), K(a, b, k, n, x) определены в (50), (51); при n они обе равны -1 (a+b)2k2 (1 + o(1)).

n Заметим, что явный вид остаточных членов в теоремах 4–6 позволяет использовать указанные результаты для получения интегральных теорем по растущим множествам значений k.

Авторы благодарны Б. А. Рогозину, внимательно прочитавшему рукопись статьи и сделавшему ряд полезных замечаний.

ЛИТЕРАТУРА 1. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: Изд-во иностр. лит., 1956.

2. Лотов В. И., Орлова Н. Г. О числе пересечений полосы траекториями случайного блуждания // Мат. сб. 2003. Т. 194, № 6. С. 135–146.

.

3. Боровков А. А. Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм независимых слагаемых // Сиб. мат. журн. 1962. Т. 3, № 5. С. 645–694.

.

4. Лотов В. И. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах. 1 // Теория вероятностей и ее применения. 1979. Т. 24, № 3. С. 475–485.

5. Лотов В. И. Асимптотический анализ распределений в двуграничных задачах. 2 // Теория вероятностей и ее применения. 1979. Т. 24, № 4. С. 873–879.

6. Лотов В. И. Об одном подходе в двуграничных задачах // Статистика и управление случайными процессами. М.: Наука, 1989. С. 117–121.

7. Боровков А. А., Рогозин Б. А. Граничные задачи для некоторых двумерных случайных блужданий // Теория вероятностей и ее применения. 1964. Т. 9, № 3. С. 401–430.

Статья поступила 18 февраля 2003 г.

Лотов Владимир Иванович, Орлова Нина Геннадьевна Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск lotov@math.nsc.ru

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.