WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Сибирский математический журнал Июль август, 2004. Том 45, № 4 УДК 519.21 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА ПЕРЕСЕЧЕНИЙ ПОЛОСЫ ТРАЕКТОРИЯМИ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ В. И. Лотов, Н. Г. Орлова Аннотация: Получены полные асимптотические разложения для распределения числа пересечений полосы за n шагов траекториями целочисленного случайного блуждания с нулевым средним. Предполагается, что выполнено условие Крамера на распределение скачков и ширина полосы растет вместе с n; результаты получены при различных условиях на ее скорость роста. Метод состоит в нахождении факторизационных представлений производящих функций изучаемых распределений, выделении главных членов асимптотики этих представлений и последующем обращении этих главных членов с помощью модификации метода перевала.

Ключевые слова: Случайное блуждание, число пересечений, полное асимптотическое разложение.

1. Введение Пусть 1, 2,... последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин. Обозначим S0 = 0, Sn = 1 + · · · + n, n 1.

(1) (2) Для произвольных a > 0, b > 0 определим случайные величины n, n, равные соответственно числу пересечений снизу вверх и сверху вниз полосы -a y b на координатной плоскости точек (x, y) траекторией случайного блуждания {(n, Sn)} за промежуток времени от 0 до n. Более строгое задаn=0 (1) (2) ние случайных величин n, n содержится в доказательстве теоремы 1 ниже.

(i) Объектом изучения являются распределения случайных величин n, i = 1, 2. Хорошо известно неравенство, полученное Дж. Дубом [1], для среднего числа пересечений полосы последовательностью, образующей субмартингал. В (i) (i) [2] найдены в точном виде распределения n, для некоторых случайных блужданий; там же доказана предельная теорема для совместного распределе(i) 2 ния случайных величин n и Sn при n, когда E1 = 0, E1 <, а ширина полосы увеличивается с ростом n. Другие библиографические сведения можно найти в [2].

В настоящей работе получены полные асимптотические разложения веро (1) (2) ятностей P n = k, P n = k при различных ограничениях на a = a(n), Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02–01–00902) и программы Ведущие научные школы (грант НШ– 2139.2003.1).

© 2004 Лотов В. И., Орлова Н. Г.

Асимптотические разложения b = b(n), k = k(n), совместимых с требованиями (a + b)k = o(n), a, b, n.

Основные результаты доказываются в предположении, что случайные величины n целочисленны, E1 = 0 и н.о.д. разностей всевозможных значений равен единице. Кроме того, на распределение 1 будет накладываться условие Крамера о существовании экспоненциальных моментов.

Исследования проводятся с помощью факторизационной техники в несколько этапов по схеме, предложенной А. А. Боровковым в [3] и адаптированной для решения задач с двумя границами в [4, 5]. Напомним основные этапы этого метода.

На первом из них находятся факторизационные представления для преобразований Лапласа Стилтьеса над искомыми распределениями. Получаемые здесь формулы не требуют для их справедливости никаких дополнительных условий типа условия Крамера или условий существования моментов; однако найденные представления оказываются слишком сложными для непосредственного обращения. Обращение в явном виде оказывается возможным только при существенном сужении класса рассматриваемых случайных блужданий (скажем, при введении требования об экспоненциальном характере убывания хвостов распределения 1). В то же время исследование асимптотических свойств изучаемых распределений возможно при весьма широких ограничениях на исходные распределения. Так, предельные теоремы для распределения числа пересечений расширяющейся полосы могут быть получены из принципа инвариантности, для их справедливости достаточно потребовать конечности E1 (см.

[2]). Используемая в граничных задачах факторизационная техника позволяет, как правило, получать более сильные асимптотические результаты, а именно полные асимптотические разложения в условиях удаляющихся границ. Для этого на втором этапе проводится асимптотический анализ преобразований Лапласа Стилтьеса искомых распределений с целью выделения пригодных для последующего обращения главных частей этих преобразований. Получаемые при этом остаточные члены оказываются пренебрежимо малы: они отличаются от главных членов экспоненциально малым множителем. Таким образом, второй этап завершается построением асимптотических представлений для преобразований Лапласа Стилтьеса; здесь все результаты получаются при дополнительном требовании о существовании экспоненциальных моментов у 1.

На третьем этапе главные члены полученных асимптотических представлений обращаются с помощью контурного интегрирования. Здесь используются модификации метода перевала, разработанные в [3], и ряд технических приемов из [4, 5].

Обозначим (i) Qi(z, k) = znP n = k, i = 1, 2.

n=Факторизационные представления для этих функций содержатся в теореме 1. Теорема 2 содержит асимптотические представления для Qi(z, k) при a, b для значений z, близких к единице. В силу симметричности рассуждений в дальнейшем рассматривается только случай i = 1. Главная часть асимптотического представления для Q1(z, k) подвергается затем контурному интегрированию, в результате чего находится асимптотическое разложение для (1) P n = k по степеням n-1/2 (теорема 3). Оно носит предварительный характер, поскольку коэффициенты этого разложения сами зависят от n. Налагая 824 В. И. Лотов, Н. Г. Орлова далее те или иные условия на скорость удаления границ полосы, мы получаем из теоремы 3 искомые полные асимптотические разложения (теоремы 4–6).

Поскольку выражения для коэффициентов разложений задаются цепочками достаточно сложных выражений, вводимых в процессе доказательства, формулировки окончательных результатов размещены в конце соответствующего параграфа после доказательств.

2. Факторизационные представления производящих функций Пусть rz(µ) = rz+(µ) · rz-(µ) факторизация на прямой Re µ = 0 (|z| < 1) функции rz(µ) = 1 - zE exp{µ1}, где функции rz±(µ) при |z| < 1 задаются, например, так:

zk rz+(µ) = exp - E(exp{µSk}; Sk > 0), k k= zk rz-(µ) = exp - E(exp{µSk}; Sk 0).

k k=Пусть g произвольная функция, допускающая на прямой Re µ = 0 представление g(µ) = eµy dG(y), где полная вариация функции G конечна. Следуя [3, 4], введем операторы (-,-a] [b,) -1 -Ag(z, µ) = rz-(µ) rz-(µ)g(µ), Bg(z, µ) = rz+(µ) rz+(µ)g(µ).

Здесь |z| < 1, Re µ = 0 и по определению D eµy dG(y) = eµy dG(y).

- D Функция g может также зависеть от z; для краткости записи зависимость от z в обозначениях операторов A и B не подчеркивается.

Теорема 1. Для любого k 0 и |z| < Q1(z, k) = {((BA)ke)(z, 0) - ((BA)k+1e)(z, 0)}, (1) 1 - z Q2(z, k) = {((AB)ke)(z, 0) - ((AB)k+1e)(z, 0)}, (2) 1 - z где e(z, µ) e(µ) 1.

Доказательство. Для рассматриваемого случайного блуждания опреде+ - + лим моменты остановки 0 = 0 = 0, i- = inf n i-1 : Sn -a, i+ = inf{n i- : Sn b}, i 1; здесь всегда подразумевается, что inf =.

(1) Положим n = max i 0 : i+ n. В [6] установлено, что при |z| < 1, Re µ = + + k E z exp{µS+}; k < = ((BA)ke)(z, µ). (3) k Асимптотические разложения (2) + - + Случайная величина n определяется аналогично: пусть 0 = 0 = 0, i = (2) - - + inf{n i-1 : Sn b}, i = inf{n i : Sn -a}, i 1. Тогда n = max{i 0 : i n} и k E z exp{µS-}; k < = ((AB)ke)(z, µ). (4) k Ясно, что, положив µ = 0 в (3), (4), мы получим производящие функции слу+ чайных величин k, k :

+ zjP k = j = ((BA)ke)(z, 0), zjP k = j = ((AB)ke)(z, 0).

j=1 j=Заметим, что n (1) + P n k = P k = j.

j=Имеем теперь n (1) + znP n k = zn P k = j n=1 n=1 j= + = (1 + z + z2 +... ) zjP k = j = ((BA)ke)(z, 0), 1 - z j= (1) и для доказательства (1) остается воспользоваться соотношением P n = k = (1) (1) P n k - P n k + 1. Формула (2) получается аналогично. Теорема доказана.

Заметим, что теорема 1 справедлива для произвольного случайного блуждания без каких-либо ограничений на распределение его скачков.

3. Асимптотическое представление для Q1(z, k) Начиная с этого места мы предполагаем, что случайные величины n целочисленны. По этой причине нам будет удобнее работать с производящей функцией () = E вместо преобразования Лапласа Стилтьеса E exp{µ1} и использовать переменную = eµ в определении компонент факторизации и операторов A и B. Кроме того, мы предполагаем, что E1 = 0, н.о.д. разностей всевозможных значений 1 равен единице и выполнено условие Крамера:

функция () аналитична в кольце 1 - < || < 1 + при некотором > 0.

Из этих условий, в частности, следует, что функция rz() = 1-z() имеет ровно два нуля при z, близких к единице, z < 1. Обозначим их через h1(z) и h2(z); здесь h1(1) = h2(1) = 1, и пусть h1(z) < 1 < h2(z) при z (1 -, 1).

Далее мы будем использовать ряд сведений о компонентах факторизации из [7]. Введенные выше нули функции rz() могут быть определены в некоторой -окрестности точки z = 1, разрезанной по лучу z > 1, и являются там ветвями двузначной функции. Существует такое число 1 > 0, при котором положительная компонента факторизации rz+() аналитична в круге || < 1 + 1, непрерывна на границе и единственным ее нулем в области || 1 + 1 для z, близких к единице, |z| < 1, является h2(z). Отрицательная компонента rz-() аналитична при || > 1 - 1, непрерывна на границе и при тех же условиях на z единственным ее нулем при || > 1 - 1 является h1(z).

826 В. И. Лотов, Н. Г. Орлова ±Обозначим vz() = rz+()/( - h2(z)). Функции vz () будут аналитическими по совокупности переменных и z в области || < 1 + 1, |z - 1| < 1 при некотором 1 > 0. Соответственно функции u±1() = (rz-()/( - h1(z)))±z аналитичны при || > 1 - 1, |z - 1| < 1. Пусть uz(h2(z)) vz(h1(z)) h1(z) H1(z) =, H2(z) =, H(z) = H1(z)H2(z), µ(z) =.

uz(h1(z)) vz(h2(z)) h2(z) Теорема 2. Существуют > 0, > 0 такие, что при z L = {|z| < 1, |z - 1| < }, k 1, a, b 1 - µa+b(z)H(z) (µa+b(z)H(z))k Q1(z, k) = a1(z) + 1(z, k), (5) (1 - z) hb(z) 1 - µa+b(z)H(z) Q2(z, k) = a2(z)(µa+b(z)H(z))kha(z) + 2(z, k), (6) (1 - z) где vz(1) uz(1) -1 -a1(z) = H2 (z), a2(z) = H1 (z), vz(h2(z)) uz(h1(z)) (7) | i(z, k)| = Mk-1(z)O(e-(a+b)), i = 1, 2, M(z) = |µa+b(z)H(z)|(1 + |h2(z) - h1(z)|)2.

Доказательство теоремы 2. Нашей ближайшей целью является получение асимптотического представления оператора ((BA)ke)(z, ). Для этого мы воспользуемся следующими леммами [4].

Лемма 1. Пусть g() аналитична в кольце 1 - 1 < || < 1 и непрерывна, включая границу. Тогда при некотором > 0 и любом < - ln(1 - 1) найдется такая константа C > 0, что uz()ha(z)g(h1(z)) Ag(z, ) = + ( - h1(z))(z, ), || 1, z L, auz(h1(z)) -a- где (z, ) = kk(z), |k(z)| Cek равномерно по z L, k -a - 1.

k=Заметим, что если коэффициенты в разложении Лорана функции g() зависят от z и равномерно ограничены по z L, то, как следует из доказательства этой леммы в [4], константа C возникает в результате применения неравенств |k(z)| C() sup |g()|ek C() sup sup |g()|ek Cek.

||=1-1 zL ||=1-Этим мы воспользуемся в последующем.

Лемма 2. Пусть g() аналитична в кольце 1 < || < 1 + 1 и непрерывна, включая границу. Тогда при некотором > 0 и любом < ln(1 + 1) найдется такая константа C > 0, что bvz()g(h2(z)) Bg(z, ) = + ( - h2(z))(z, ), || 1, z L, hb(z)vz(h2(z)) где (z, ) = kk(z), |k(z)| Ce-k равномерно по z L, k b.

k=b Аналогично замечанию к лемме 1 имеем |k(z)| C() sup |g()|e-k C() sup sup |g()|e-k Ce-k.

||=1+1 zL ||=1+Асимптотические разложения Применяя по очереди леммы 1 и 2 к соответствующим функциям, получаем bvz() ((BA)ke)(z, ) = µak+(k-1)b(z)H1(z)Hk-1(z) hb(z)vz(h2(z)) k + µ(a+b)(k-i)(z)Hk-i(z)(h2(z) - h1(z))i(z, h2(z)) i= k- + µ(a+b)(k-i)-b(z)Hk-i-1(z)H1(z)(h1(z) - h2(z))i(z, h1(z)) i=+ ( - h2(z))k(z, ), k 1.

Функции i(z, ), i(z, ) имеют вид -a- i(z, ) = ij(z)j, i(z, ) = ij(z)j, j=- j=b где для i = 1,..., k |ij(z)| C() sup |(BA)i-1e(z, )|ej, j -a - 1, ||=1-|ij(z)| C() sup |A(BA)i-1e(z, )|e-j, j b.

||=1+Подставляя в (1) найденные выражения для ((BA)ke)(z, 1), ((BA)k+1e)(z, 1), получим (5), где k 1(z, k) = µ(a+b)(k-i)(z)Hk-i(z)(h2(z) - h1(z))i(z, h2(z)) i=k- + µ(a+b)(k-i)-b(z)Hk-i-1(z)H1(z)(h1(z) - h2(z))i(z, h1(z))) i= (h2(z) - h1(z)) (h2(z) - h1(z)) - k+1(z, h2(z)) + H1(z)µa(z) k(z, h1(z)) 1 - µa+b(z)H(z) 1 - µa+b(z)H(z) vz(1) (1 - h2(z)) + (k(z, 1) - k+1(z, 1)).

vz(h2(z))hb(z) - µa+b(z)H(z) Как и ранее, буквой C с возможными индексами будут обозначаться константы.

Оценим | 1(z, k)|. Заметим, что |i(z, h2(z))| C0 sup |(BA)i-1e(z, )|e-a, ||=1-|i(z, h1(z))| C0 sup |A(BA)i-1e(z, )|e-b ||=1+и, следовательно, нужно оценить сверху sup |(BA)i-1e(z, )|, sup |A(BA)i-1e(z, )|.

||=1-1 ||=1+Для этого нам потребуются две леммы.

828 В. И. Лотов, Н. Г. Орлова Лемма 3. Пусть f() = fkk при || = 1, где |fk| <, и k=- k=пусть функция f аналитична при 1 - 1 < || < 1 и непрерывна на границе.

Обозначим g(z, ) = Af(z, ). Тогда для достаточно больших a при z L справедливо неравенство max(|g(z, h2(z))|, sup |g(z, )|) K1(z) max(|f(h1(z))|, sup |f()|), ||=1+1 ||=1-где K1(z) = |H1(z)µa(z)| + |h2(z) - h1(z)|C()e-a.

Доказательство леммы 3. Если max(|g(z, h2(z))|, sup |g(z, )|) = |g(z, h2(z))|, ||=1+то |g(z, h2(z))| |H1(z)µa(z)||f(h1(z))| + |h2(z) - h1(z)||(z, h2(z))| |H1(z)µa(z)||f(h1(z))| + |h2(z) - h1(z)|C()e-a sup |f()| ||=1- (|H1(z)µa(z)| + |h2(z) - h1(z)|C()e-a) max(|f(h1(z))|, sup |f()|) ||=1-= K1(z) max(|f(h1(z))|, sup |f()|).

||=1-Если max(|g(z, h2(z))|, sup |g(z, )|) = sup |g(z, )|, ||=1+1 ||=1+то uz()ha(z) sup |g(z, )| sup |f(h1(z))| uz(h1(z))a ||=1+1 ||=1++ sup | - h1(z)| sup |(z, )| ||=1+1 ||=1+ uz()ha(z) sup |f(h1(z))| + sup | - h1(z)|C()e-a sup |f()| uz(h1(z))a ||=1+1 ||=1+1 ||=1- uz()ha(z) sup + sup | - h1(z)|C()e-a uz(h1(z))a ||=1+||=1+ max(|f(h1(z))|, sup |f()|) ||=1- uz()ha(z) sup + sup | - h1(z)|C() e-a uz(h1(z)) ||=1+1 ||=1+ max(|f(h1(z))|, sup |f()|) ||=1- Ce-a max(|f(h1(z))|, sup |f()|) K1(z) max(|f(h1(z))|, sup |f()|).

||=1-1 ||=1-Последнее неравенство выполняется для достаточно больших a. Доказательство леммы 3 закончено.

Лемма 4. Пусть f() = fkk при || = 1, где |fk| <, и k=- k=пусть функция f аналитична при 1 < || < 1 + 1 и непрерывна на границе.

Асимптотические разложения Обозначим g(z, ) = Bf(z, ). Тогда для достаточно больших b при z L справедливо неравенство max(|g(z, h1(z))|, sup |g(z, )|) K2(z) max(|f(h2(z))|, sup |f()|), ||=1-1 ||=1+где K2(z) = |H2(z)µb(z)| + |h2(z) - h1(z)|C()e-b.

Доказательство леммы 4. Используя рассуждения, аналогичные приведенным в лемме 3, получаем следующие неравенства:

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.