WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Сибирский математический журнал Июль август, 2002. Том 43, № 4 УДК 512.54 АКСИОМАТИЧЕСКИЙ РАНГ КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ УПОРЯДОЧИВАЕМЫХ ГРУПП БЕСКОНЕЧЕН В. В. Блудов Аннотация: Доказана бесконечность аксиоматических рангов квазимногообразия упорядочиваемых групп и квазимногообразия групп без -кручения.

Ключевые слова: аксиоматический ранг, квазимногообразие, упорядочиваемая группа 1. Введение Вопрос о конечности аксиоматического ранга квазимногообразия упорядочиваемых групп был поставлен в работе [1, вопрос 22] в 1988 г. Ранее А. И. Будкин установил бесконечность аксиоматических рангов квазимногообразий правоупорядочиваемых и локально индикабельных групп [2] (см. также [3]). Напомним, что аксиоматический ранг квазимногообразия q конечен, если q может быть задано системой квазитождеств от ограниченного в совокупности числа переменных, и бесконечен в противном случае.

В работе доказывается бесконечность аксиоматических рангов квазимногообразия групп без -кручения и квазимногообразия упорядочиваемых групп (теорема 2.3). Для этой цели строится серия конечно-порожденных неупорядочиваемых групп G(n), у которых всякая подгруппа, порожденная менее чем n элементами, является упорядочиваемой группой (пример 2.1).

Автор благодарен Н. Я. Медведеву, обратившему наше внимание на этот вопрос.

В основном мы используем стандартные обозначения теории групп и теории упорядоченных групп (см. книги [1, 3, 4–6]). Напомним только, что элемент g группы G называется -периодическим, если для некоторого конечного набора 1 элементов h1,..., hn G выполняется равенство g1+h ···+hn = 1. Группа G, не имеющая нетривиальных -периодических элементов, называется группой без -кручения. Из этого определения непосредственно следует, что класс групп без -кручения является квазимногообразием, поскольку он аксиоматизируем, замкнут относительно декартовых произведений и подсистем и содержит единичную группу [7].

Хорошо известно, что всякая упорядочиваемая группа есть группа без кручения (см., например, [3, 5]). Для метабелевых групп верно и обратное Утверждение 1.1 (А. И. Кокорин [5, 8]). Всякая метабелева группа без -кручения упорядочиваема.

© 2002 Блудов В. В.

780 В. В. Блудов 2. Основной результат Основная часть доказательства бесконечности аксиоматических рангов рассматриваемых в работе квазимногообразий опирается на построенную ниже в примере 2.1 серию метабелевых групп G(n) от n порождающих и таких, что G(n) обладает -кручением, а всякая подгруппа группы G(n) от менее чем n порождающих является группой без -кручения.

Пример 2.1. В качестве G(1) можно взять любую циклическую группу конечного порядка. Пусть n > 1. Введем обозначения:

A = A(x1,..., xn) свободная абелева группа с базисом x1,..., xn, B = b бесконечная циклическая группа, C = B A ограниченное сплетение этих групп (см. [4, 6]).

Подгруппу A в дальнейшем отождествляем с верхней группой сплетения, а подгруппу B с подгруппой B1 нижней группы сплетения. Через N обозначим нормальную подгруппу группы C, порожденную элементом b1+x +···+xn.

В фактор-группе C = C/N зафиксируем элементы g1 = x1 gi = xi, i = b, 2,..., n, и через G(n) обозначим подгруппу группы C, порожденную элементами g1,..., gn. Покажем, что G(n) искомая группа. Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 2.2. Если a1,..., as попарно различные элементы подгруппы A и b a1+···+sas N, то либо ранг подгруппы a1,..., as равен n, либо все коэффициенты 1,..., s равны нулю.

Доказательство. Пусть ранг подгруппы a1,..., as равен r < n. Обозначим через A1 изолятор подгруппы a1,..., as. Фактор-группа A/A1 конечно порожденная абелева группа без кручения, потому свободная абелева группа. В этом случае найдется подгруппа A2 A такая, что группа A раскладывается в прямое произведение свободных абелевых групп (см. [6]):

A = A1 A2. (1) Ранг абелевой подгруппы совпадает с рангом ее изолятора, тем самым ранги подгрупп A1, A2 равны соответственно r, n - r и при этом n - r > 0. Выберем в подгруппах A1, A2 базисы y1,..., yr и yr+1,..., yn. В силу (1) элементы y1,..., yr, yr+1,..., yn образуют новый базис группы A. Cтарый базис x1,..., xn выразим через новый:

ti,1 ti,n xi = y1 · · · yn, i, j = 1,..., n, ti,j Z. (2) По условию леммы b a1+···+sas N, а подгруппа N нормальное замыкание элемента b1+x +···+xn, следовательно, найдутся различные элементы c1,..., cq B и целые числа 1,..., q такие, что 1 b a1+···+sas = b(1+x +···+xn)(1c1+···+qcq). (3) Если все 1,..., q в формуле (3) равны нулю, то b a1+···+sas = 1, а из этого (в сплетении абелевых групп без кручения) следует, что все коэффициенты 1,..., s также равны нулю. В противном случае перепишем формулу (3), заменив элементы a1,..., as, x1,..., xn, c1,..., cq их выражениями через базисные элементы y1,..., yn, затем вынесем за скобки элементы yi с отрицательными показателями и получим 1 s+1 q+b( v1+···+svs)v-1 = b(u +u1+···+un)(1w1+···+qwq)w-1, (4) Аксиоматический ранг квазимногообразия где v1,..., vs+1 одночлены от y1,..., yr с положительными коэффициентами, а остальные u0,..., un, w1,..., wq+1 одночлены от y1,..., yn также с положительными коэффициентами. Поскольку формулы (2) определяют переход от одного базиса к другому, матрица (ti,j) невырожденна и, значит, не все ti,n равны 0. Далее, в выражении 1 + x1 + · · · + xn присутствует константа 1, поэтому независимо от коэффициентов ti,n после вынесения за скобку yn с наибольшим отрицательным показателем среди одночленов u0,..., un найдутся хотя бы один, содержащий yn с ненулевым положительным показателем, и хотя бы один, не содержащий переменной yn. Тогда выражение u0 + u1 + · · · + un, рассматриваемое как многочлен от переменных y1,..., yn, явно зависит от yn и не делится на yn. Снова воспользуемся тем, что мы рассматриваем сплетение абелевых групп без кручения, и перейдем от равенства (4) к равенству многочленов с целыми коэффициентами от переменных y1,..., yn:

(1v1 + · · · + svs)wq+1 = (u0 + u1 + · · · + un)(1w1 + · · · + qwq)vs+1. (5) Как отмечено выше, многочлен u0+u1+· · ·+un не делится на yn, а одночлен vs+m не зависит от yn, поэтому если wq+1 делится на yn, то и многочлен 1w1 + · · · + m m qwq делится на yn и после сокращения слева и справа на yn получим, что слева в формуле (5) записан многочлен, не зависящий от yn, а справа многочлен, явно зависящий от yn. Полученное противоречие доказывает лемму.

Покажем, что G(n) неупорядочиваемая группа. Для этого достаточно установить наличие в группе G(n) неединичного -периодического элемента.

Покажем, что [g1, g2]1+g +···+gn = 1 и [g1, g2] = 1. Имеем x [g1, g2] = b-1x-1x-1x1x2 = b-1+.

b 1 x-1+ Если b = 1 в группе G(n), то, поднимаясь в группу C, получим, что 2 b-1+x N, а это невозможно по лемме. С другой стороны, b(-1+x )(1+x1+···+xn) x2)(1+ xn) x1+···+ N, что приводит к соотношению 1 = b(-1+ = [g1, g2]1+g +···+gn в группе G(n), и группа G(n) не упорядочиваема.

Проверим, что всякая подгруппа группы G(n) с r < n порождающими не имеет -кручения. Пусть d1,..., dr порождающие некоторой подгруппы D < G(n) и r < n. Предположим, что для некоторых элементов, f1,..., fs D выполняется 1+f +···+fs = 1. (6) Вернемся в группу C. Зафиксируем некоторые представители d1,..., dr смеж ных классов d1,..., dr и через D обозначим подгруппу, порожденную элементами d1,..., dr. В этом случае при гомоморфизме C C подгруппа D отобразится на D. Поэтому из соотношения (6) следует, что для некоторых прообразов g, f1,..., fs D элементов, f1,..., fs D выполняется g1+f +···+fs N. (7) При гомоморфизме : C A включение (7) переходит в равенство (g)n = 1, а поскольку группа A не имеет кручения, элемент g принадлежит нижней группе сплетения B A и, значит, g = bm h1+···mkhk для подходящих h1,..., hk A и целых m1,..., mk. Подставим это представление элемента g в (7) и получим b(m h1+···mkhk)(1+f1+···+fs) N. Произвольный элемент из подгруппы N имеет вид b(1+x +···+xn)(1c1+···+qcq), где c1,..., cq A, 1,..., q Z. Следовательно, включение (7) эквивалентно равенству 1 b(m h1+···mkhk)(1+f1+···+fs) = b(1+x +···+xn)(1c1+···+qcq).

782 В. В. Блудов Заменим элементы h1,..., hk, f1,..., fs и c1,..., cq их представлениями через порождающие x1,..., xn, вынесем за скобки xi с отрицательными показателями и получим 1 k+1 s+1 q+b(m u1+···+uk)u-1 (v0+v1+···+vs)v-1 = b(1+x +···+xn)(1w1+···+qwq)w-1.

От этого равенства перейдем к равенству многочленов:

(m1u1 + · · · + uk)(v0 + v1 + · · · + vs)wq+= (1 + x1 + · · · + xn)(1w1 + · · · + qwq)uk+1vs+1.

Многочлен (1 + x1 + · · · + xn) неприводим как всякий многочлен первой степени, а кольцо многочленов от n переменных над Z факториально [9], поэтому хотя бы один из многочленов левой части полученного равенства делится на (1 + x1 + · · · + xn). Если это (m1u1 + · · · + uk), то b(m u1+···+uk) N, но тогда k+и g = bm h1+···mkhk = b(m u1+···+uk)u-1 N, а это влечет = 1 в группе G(n).

Если на (1+x1 +· · ·+xn) делится v0 +v1 +· · ·+vs, то bv +v1+···+vs N и, значит, s+b1+f +···+fs = b(v +v1+···+vs)v-1 N, а это противоречит лемме. Остается заметить, что wq+1, будучи одночленом, не может делиться на (1 + x1 + · · · + xn).

Таким образом, в метабелевой группе D нет -периодических элементов. Применяя утверждение 1.1, получаем также, что G(n) неупорядочиваемая группа, а всякая ее подгруппа с менее чем n порождающими упорядочиваема.

Теорема 2.3. Аксиоматические ранги квазимногообразия упорядочиваемых групп и квазимногообразия групп без -кручения бесконечны.

Доказательство. Если хотя бы одно из указанных в теореме квазимногообразий задается квазитождествами от не более чем r переменных, то группа G(r + 1), построенная в примере 2.1, должна принадлежать этому квазимногообразию; противоречие с тем, что G(r + 1) неупорядочиваема и имеет нетривиальные -периодические элементы.

ЛИТЕРАТУРА 1. Копытов В. М., Медведев Н. Я. Нерешенные вопросы теории частично упорядоченных групп // 5 Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем: Тез. сообщений.

Барнаул, 1988.

2. Будкин А. И. О квазитождествах в свободной группе // Алгебра и логика. 1976. Т. 15, № 1. С. 39–52.

3. Копытов В. М., Медведев Н. Я. Правоупорядоченные группы. Новосибирск: Научная книга, 1996.

4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1996.

5. Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.

6. Курош А. Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

7. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.

8. Кокорин А. И. К теории доупорядочиваемых групп // Алгебра и логика. 1963. Т. 2, № 6.

С. 15–20.

9. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

Статья поступила 23 ноября 2001 г.

Блудов Василий Васильевич Иркутский гос. университет, ул. К. Маркса, 1, Иркутск 664003, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, ул. Лермонтова, 134, Иркутск bludov@math.isu.ru




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.