WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Как показывают теоремы 1.1 и 1.2, обратное неверно.

3. Доказательства теорем 1.1 и 1.Пусть Zn = { = (1,..., n) : i Z} и Zn = { Zn : i 0, i = + 1,..., n}. Для Zn положим n || = i.

i=Пусть U ассоциативная коммутативная алгебра с дифференцированием. Пусть Ck(U, U) и g Cl(U, U). Определим f g, f g Ck+l(U, U) и билинейные отображения k+l-Q(f, g), Qalt(f, g) Ck+l-1(U, U), Qshort(f, g) T (U, U) следующим образом:

f g(u1,..., uk+l) = f(u1,..., uk)g(uk+1,..., uk+l), f g(u1,..., uk+l) = sign (f g)(u(1),..., u(k+l)), Symk+l f g(u1,..., uk+l-1) = f(u1,..., uk-1, g(uk,..., uk+l-1)), Q(f, g) = f(u1,..., uk-1, g(uk,..., uk+l-1)) l - g(uk,..., uk+i-2, f(u1,..., uk-1, uk+i-1), uk+i,..., uk+l-1), i=n-Лиевы структуры, порожденные вронскианами Qalt(f, g)(u1,..., uk+l-1) = sign (f g)(u(1),..., u(k+l-1)), Symk-1,l Qshort(f, g)(u1,..., uk+l-1) = sign (f g)(u(1),..., u(k+l-2), uk+l-1).

Symk-1,l-Заметим, что определения Q как билинейных отображений согласуются с определениями Q как квадратичных отображений в предыдущем разделе:

Q(f, f) = Q(f), Qalt(f, f) = Qalt(f), Qshort(f, f) = Qshort(f).

Так как (C(U, U), ) ассоциативно, (C(U, U), ) также ассоциативно.

Пусть k 1 k Cloc,s(U) = {i · · · i : 0 i1 < · · · < ik, i1 + · · · + ik = s} и k k Cloc(U) = Cloc,s(U).

s k Заметим, что V Cloc,||(U) для любых Zn. Положим || = s, если + k Cloc,s(U).

k k-Пусть T (A, A). Определим i(a) T (A, A) через i(a)(a1,..., ak-1) = (a, a1,..., ak-1).

Предложение 3.1. Если k-лиева, то i(a) является (k - 1)-лиевой для любого a A.

Доказательство. См. [1].

Предложение 3.1 может быть изменено следующим образом.

Лемма 3.2. Если k-лиева, то для (k - l)-лиева умножения l := i(a1)i(a2) · · · i(al) имеют место соотношения Q(i, j) = 0, i j.

k Лемма 3.3. Cloc,s(U) = 0, если s < k(k - 1)/2.

k 1 k Доказательство. Если 0 = i · · · i Cloc,s(U), то s = i1 + · · · + ik 0 + 1 + 2 + · · · + (k - 1) = (k - 1)k/2.

Лемма 3.4 (см. [10]). Для любых Zk и Zl + + k+l-Qalt(V, V ) Cloc,||+||(U).

0,1,...,k 0,1...,l Следствие 3.5. Qalt(V, V ) = 0 для любых k, l > 0.

0,1,...,k Доказательство. Заметим, что |V | = k(k + 1)/2. Следовательно, 0,1,...,k 0,1,...,l k+l+Qalt(V, V ) Cloc,(k +l2+k+l)/2(U).

Очевидно, что (k2 + l2 + k + l)/2 < (k + l + 1)(k + l)/2. Поэтому по лемме 3.k+l+0,1,...,k 0,1,...,l Cloc,(k +l2+k+l)/2(U) = 0. Итак, Qalt(V, V ) = 0.

768 А. С. Джумадильдаев 0,1,...,k 0,1,...,k Лемма 3.6. Qshort(V, V ) = 0, если k > 2. Если k = 2, то 0,1,2 0,1,2 0,1,2,Qshort(V, V ) = 2V id.

0,1,...,k 0,1,...,k Доказательство. Заметим, что Qshort(V, V ) является линей1 2k 2k+ной комбинацией коцепей формы (i · · · i ) i такой, что i1 + · · · + i2k + i2k+1 = k2 + k и 0 i1 < i2 < · · · < i2k. Имеем i1 + · · · + i2k 0 + 1 + 2 + · · · + (2k - 1) = (2k - 1)k. Следовательно, k2 + k = i1 + · · · + i2k+1 > (2k - 1)k.

Неравенство невозможно, если k > 2.

Рассмотрим случай k = 2. Имеем 0,1,2 0,1,2 0,1,2,Qshort(V, V ) = V 0 (5) для некоторого K. Получая эту формулу, мы использовали только ассоциативность, коммутативность, свойства линейности U и правило Лейбница для дифференцирований. Следовательно, (5) справедливо для любой ассоциативной коммутативной алгебры U с дифференцированием, и не зависит от U и. В частности, мы можем взять U = K[x] и = /x. Имеем 0,1,2 0,1,2 0,1,2,Qshort(V, V )(1, x, x2, x3, 1) = V 0(1, x, x2, x3, 1).

Далее, 0,1,2 0,1,Qshort(V, V )(1, x, x2, x3, 1) 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,= V (1, x, V (x2, x3, 1)) - V (1, x2, V (x, x3, 1)) 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,+ V (1, x3, V (x, x2, 1)) + V (x, x2, V (1, x3, 1)) 0,1,2 0,1,2 0,1,2 0,1,- V (x, x3, V (x, x2, 1)) + V (x2, x3, V (1, x, 1)) 0,1,2 0,1,2 0,1,= 2(V (1, x2, x3)) - V (1, x2, 6x) + V (1, x3, 2x0) 0,1,2 0,1,2 0,1,+ V (x, x2, 0) - V (x, x3, 2x0) + V (x2, x3, 0) = и 0,1,2,V 0(1, x, x2, x3, 1) = 12.

Итак, = 2.

Лемма 3.7. Пусть Ck(A, A), X линейная оболочка множества {a1,..., ak-1} и Y линейная оболочка множества {b1,..., bk}. Тогда Q(a1,..., ak-1, b1,..., bk) = 0, если X Y.

Доказательство. Пусть X Y и dim Y = l k.

Так как кососимметричен, если l < k, то (b1,..., bk) = для любых b1,..., bk Y и (a1,..., ak-1, bi) = для любых a1,..., ak-1 X Y, bi Y. Следовательно, в этом случае Q(a1,..., ak-1, b1,..., bk) = 0.

n-Лиевы структуры, порожденные вронскианами Теперь предположим, что dim Y = k. Если dim X < k - 1, то аналогичные рассуждения показывают, что (ei,..., ei, c) = 1 k-для любых c A. Итак, в этом случае лемма верна.

Осталось рассмотреть случай dim X = k - 1, dim Y = k.

Пусть {e1,..., ek} базис Y такой, что {e1,..., ek-1} базис X. Поскольку Q полилинеен по аргументам a1,..., ak-1, b1,..., bk, для доказательства леммы достаточно установить, что Q(e1,..., ek-1, e1,..., ek) = 0.

Так как кососимметричен, то (e1,..., ek-1, ei) = для всех i k - 1. Итак, k (e1,..., ei-1, (e1,..., ek-1, ei), ei+1,..., ek) i== (e1,..., ek-1, (e1,..., ek-1, ek)).

Другими словами, Q(e1,..., ek-1, e1,..., ek) = 0. Лемма полностью доказана.

0,1,2,Лемма 3.8. V является 4-лиевым умножением, если p = 3.

Доказательство. Имеем 0,1,2,3 0,1,2,|V | = 6 |QV | = 12.

Выпишем множество всех (3, 4)-разбиений 12:

3,4(12) = {({0, 1, 2}, {0, 1, 2, 6}), ({0, 1, 2}, {0, 1, 3, 5}), {0, 1, 2}, {0, 2, 3, 4}), ({0, 1, 3}, {0, 1, 2, 5}), ({0, 1, 3}, {0, 1, 3, 4}), ({0, 1, 4}, {0, 1, 2, 4}), ({0, 1, 5}, {0, 1, 2, 3}), ({0, 2, 3}, {0, 1, 2, 4}), ({0, 2, 4}, {0, 1, 2, 3}), ({1, 2, 3}, {0, 1, 2, 3})}.

Итак, 0,1,2,QV = (,)V V, (6) (,) 3,4(12) где = {i1, i2, i3}, = {i4, i5, i6, i7}, 0 i1 < i2 < i3, 0 i4 < i5 < i6 < i7, i1 + · · · + i7 = 12. В получении формулы (6) используется только правило Лейбница. Следовательно, эта формула универсальна, т. е. коэффициенты, не зависят от U и от дифференцирования. В частности, в качестве U l и можно взять Q[x], = /x. Чтобы найти,, можно взять al = xi, 0,1,2,l = 1,..., 7, и вычислить QV в k[x]. Имеем 0,1,2,, = QV.

i1!... i7! По лемме 3.0,1,2,QV (1, x, x2, 1, x, x2, x6) = 0, 0,1,2,QV (1, x, x3, 1, x, x3, x4) = 0, 770 А. С. Джумадильдаев 0,1,2,QV (1, x, x4, 1, x, x2, x4) = 0.

Итак, если (, ) {({0, 1, 2}, {0, 1, 2, 6}), ({0, 1, 3}, {0, 1, 3, 4}), ({0, 1, 4}, {0, 1, 2, 4})}, то, = 0.

Далее, 1 x2 x3 x 0 2x 3x2 4x 0,1,2,V (1, x2, x3, x4) = = 48x3, 0 2 6x 12x 0 0 6 24x 1 x x2 x 0 1 2x 4x 0,1,2,V (1, x, x2, x4) = = 48x.

0 0 2 12x 0 0 0 24x Итак 0,1,2,QV (1, x, x2, 1, x2, x3, x4) 0,1,2,3 0,1,2,= V (1, x, x2, V (1, x2, x3, x4)) - 0 - 0,1,2,3 0,1,2,- V (1, x2, x3, V (1, x, x2, x4)) 0,1,2,3 0,1,2,= 48V (1, x, x2, x3) - 48V (1, x2, x3, x) = и {0,1,2},{0,2,3,4} = 0.

Имеем 1 x x3 x 0 1 3x2 5x 0,1,2,V (1, x, x3, x5) = = 240x3, 0 0 6x 20x 0 0 6 60x 1 x x2 x 0 1 2x 5x 0,1,2,V (1, x, x2, x5) = = 120x2.

0 0 2 20x 0 0 0 60xСледовательно, 0,1,2,QV (1, x, x2, 1, x, x3, x5) 0,1,2,3 0,1,2,3 0,1,2,3 0,1,2,= V (1, x, x2, V (1, x, x3, x5))-0-0-V (1, x, x3, V (1, x, x2, x5)) 0,1,2,3 0,1,2,= 240V (1, x, x2, x3) - 120V (1, x, x3, x2) 0,1,2,= 360V (1, x, x2, x3) = и {0,1,2},{0,1,3,5} = = 3.

0!1!2!0!1!3!5! Аналогичные вычисления показывают, что {0,1,3},{0,1,2,5} = -3, {0,1,5},{0,1,2,3} = 3, {0,2,3},{0,1,2,4} = {0,2,4},{0,1,2,3} = 0.

Таким образом, мы установили, что 0,1,2,3 0,1,2 0,1,3,5 0,1,3 0,1,2,5 0,1,5 0,1,2,QV = 3V V - 3V V + 3V V.

0,1,2,В частности, QV = 0, если p = 3.

n-Лиевы структуры, порожденные вронскианами 1,2,Следствие 3.9. Если p = 3, то V является 3-лиевым умножением и 2,V 2-лиевым умножением.

Доказательство cледует из леммы 3.8, предложения 3.1 и из следующих формул:

0,1,2,3 1,2,3 1,2,3 2,i(1)V = V, i(x)V = V.

0,1,2,3,Лемма 3.10. V 5-лиево умножение, если p = 2.

Доказательство аналогично доказательству леммы 3.8, поэтому мы опускаем подробности вычислений. Имеем 0,1,2,3,4 0,1,2,|V | = 10 |QV | = 20.

0,1,2,Следовательно, QV линейная комбинация V V, где (, ) 4,5(20), и 4,5(20) = {({0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 3, 8}), ({0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 4, 7}), ({0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 5, 6}), ({0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 4, 6}), ({0, 1, 2, 3}, {0, 2, 3, 4, 5}), ({0, 1, 2, 4}, {0, 1, 2, 3, 7}), ({0, 1, 2, 4}, {0, 1, 2, 4, 6}), ({0, 1, 2, 4}, {0, 1, 3, 4, 5}), ({0, 1, 2, 5}, {0, 1, 2, 3, 6}), ({0, 1, 2, 5}, {0, 1, 2, 4, 5}), ({0, 1, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 6}), ({0, 1, 3, 4}, {0, 1, 2, 4, 5}), ({0, 1, 2, 6}, {0, 1, 2, 3, 5}), ({0, 1, 3, 5}, {0, 1, 2, 3, 5}), ({0, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 5}), ({0, 1, 2, 7}, {0, 1, 2, 3, 4}), ({0, 1, 3, 6}, {0, 1, 2, 3, 4}), ({0, 1, 4, 5}, {0, 1, 2, 3, 4}), ({0, 2, 3, 5}, {0, 1, 2, 3, 4}), ({1, 2, 3, 4}, {0, 1, 2, 3, 4})}.

Итак, существует, Z такой, что 0,1,2,3,QV = (,)V V.

(,) 4,5(20) Вычисления, подобные вычислениям в доказательстве леммы 3.8, показывают, что 0,1,2,3,4 0,1,2,7 0,1,2,3,4 0,1,3,6 0,1,2,3,4 0,1,4,5 0,1,2,3,QV = 4V V + 2V V - 2V V 0,2,3,5 0,1,2,3,4 0,1,2,6 0,1,2,3,5 0,2,3,4 0,1,2,3,+ 2V V + 2V V - 2V V 0,1,2,5 0,1,2,3,6 0,1,3,4 0,1,2,3,6 0,1,2,4 0,1,2,3,- 2V V - 2V V - 4V V 0,1,3,4 0,1,2,4,5 0,1,2,3 0,1,2,4,7 0,1,2,3 0,1,2,5,+ 2V V + 4V V + 2V V 0,1,2,4 0,1,3,4,5 0,1,2,3 0,1,3,4,6 0,1,2,3 0,2,3,4,- 2V V + 2V V + 2V V.

0,1,2,3,В частности, если p = 2, то QV = 0.

1,2,3,4 2,3,Следствие 3.11. Пусть p = 2. Тогда V 4-лиево умножение, V 3,3-лиево умножение и V 2-лиево умножение.

Доказательство следует из леммы 3.10, предложения 3.1 и из следующих формул:

1,2,3,4 0,1,2,3,4 2,3,4 1,2,3,4 3,4 2,3,V = i(1)V, V = i(x)V, V = i(x2)V /2.

1,2,3,4 2,3,4 3,4 1,2,3 2,Замечание. Явные выражения для QV, QV, QV, QV, QV 0,1,2,3,4 0,1,2,над Z легко вытекают из вычислений QV и QV. Например, 1,2,3,4 1,2,7 1,2,3,4 1,3,6 1,2,3,4 1,4,5 1,2,3,QV = 4V V + 2V V - 2V V 2,3,5 1,2,3,4 1,2,6 1,2,3,5 2,3,4 1,2,3,+ 2V V + 2V V - 2V V 1,2,5 1,2,3,6 1,3,4 1,2,3,6 1,2,4 1,2,3,- 2V V - 2V V - 4V V 1,3,4 1,2,4,5 1,2,3 1,2,4,7 1,2,3 1,2,5,+ 2V V + 4V V + 2V V 1,2,4 1,3,4,5 1,2,3 1,3,4,6 1,2,3 2,3,4,- 2V V + 2V V + 2V V и 1,2,3 1,2 1,3,5 1,3 1,2,5 1,5 1,2,QV = 3V V - 3V V + 3V V.

772 А. С. Джумадильдаев Лемма 3.12. Пусть U = O1(m), p > 0. Тогда (i) q Der U, если и только если q = pk для некоторого k > 0;

k k (ii) p -1 p 2-лиева, если и только если p = 2 или p = 3, k = 1;

k k k (iii) p -2 p -1 p 3-лиева, если и только если p = 3, k = 1 или p = 2, k = 1, или p = 2, k = 2.

k Доказательство. Случай k = 1 рассмотрен выше. Поскольку p является дифференцированием, полиномиальный принцип показывает, что утверждение верно и в общем случае.

k k Следствие 3.13. (i) p = 3. Для любых k Z+ операция p -pk-1 p является 2-лиевой.

k k (ii) p = 2. Для любых k, l Z+, k > l, операция p -pl p является 2-лиевой.

Доказательство. (i) Для p = 3 имеем pk - pk-1 = 2pk-1, pk = 3pk-1. Так k-как F = p Der U, наше утверждение следует из леммы 3.12(ii), применяемой для F вместо.

(ii) Для p = 2 имеем pk - pl = pl(pk-l - 1), pk = pk-lpl. Следовательно, для l F = p k pk-l k pk-l-p = F, p -pl = F.

k pk-l Утверждение следует из леммы 3.12(ii), применяемой для F вместо p.

Доказательство теоремы 1.1.

(i) См. следствие 3.5.

(ii) См. лемму 3.6.

0,1,...,q (iii) Предположим, что (U, V ) является (q + 1)-лиевой. Если q = 1, то она 2-лиева для любой характеристики p.

q 0,1,...,q Допустим, что q > 1. По предложению 3.1 V = i(1)i(x) · · · i(x(q-1))V является 1-лиевой, т. е. q Der U. При q > 1 и p = 0 это невозможно.

Итак, p > 0. Возьмем U = O1(m). По лемме 3.12(i) q должно быть степенью p. Предположим, что q = pt.

t pt-1,pt 0,1,...,pt По предложению 3.1 V = i(1)i(x)... i(x(p -2))V является 2лиевой. По лемме 3.12(ii) это возможно в случаях, когда p = 2 или p = 3, t = 1.

t 2t-2,2t-1,2t 0,1,...,2t По предложению 3.1 V = i(1)i(x) · · · i(x(2 -3))V является 3-лиевой. По лемме 3.12(iii) это возможно только в случаях, когда p = 2, t = или p = 2, t = 2. Теорема 1.1 полностью доказана.

Доказательство теоремы 1.2 вытекает из следствий 3.9 и 3.11. Дока2l 0,i,2l+1-i зательство того, что V, p = 2, является 3-лиевой, можно провести i=2l i,2l+1-i аналогичным образом. По предложению 3.1 V 2-лиева при p = 2.

i=ЛИТЕРАТУРА 1. Филиппов В. Т. n-Лиевы алгебры // Сиб. мат. журн. 1985. Т. 26, № 6. С. 126–140.

.

2. Филиппов В. Т. Об n-лиевой алгебре якобианов // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 3.

.

С. 660–669.

3. Курош А. Г. Мультиоператорные кольца и алгебры // Успехи мат. наук. 1969. Т. 24, № 1.

С. 3–15.

4. Stasheff J., Lada T. Introduction to SH Lie algebras for physicists // Internat. J. Theoret.

Phys. 1993. V. 32, N 7. P. 1087–1103.

.

n-Лиевы структуры, порожденные вронскианами 5. Hanlon P., Wachs M. On Lie k-algebras // Adv. Math. 1995. V. 113. P. 206–236.

.

6. Лоос О. Симметрические пространства. М.: Наука, 1985.

7. Скрябин С. М. Новые серии простых алгебр Ли характеристики 3 // Мат. сб. 1992. Т. 183,.

№ 8. С. 3–22.

8. Пожидаев А. П. Два класса центрально простых n-лиевых алгебр // Сиб. мат. журн.

.

1999. Т. 40, № 6. С. 1313–1322.

9. Джумадильдаев А. С. Одно замечание относительно пространства инвариантных дифференциальных операторов // Вестн. МГУ. Серия математика, механика. 1982. Т. 116, № 2. С. 49–54.

10. Джумадильдаев А. С. Целочисленные и mod p-когомологии алгебры Ли W1 // Функцион.

анализ и его прил. 1988. Т. 22, № 3. С. 68–70.

.

Статья поступила 9 мая 2004 г.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.