WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Июль август, 2005. Том 46, № 4 УДК 512.554 n–ЛИЕВЫ СТРУКТУРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ ВРОНСКИАНАМИ А. С. Джумадильдаев Аннотация: Изучены (k + 1)-лиевы, k-левокоммутативные и гомотопические (k + 1)-лиевы структуры относительно умножения, порожденного вронскианами. Доказано, что вронскианы порождают нетривиальные структуры n-лиевых алгебр только в случаях малых характеристик.

Ключевые слова: n-лиева алгебра, гомотопическая алгебра, модулярные алгебры Ли, вронскиан, якобиан.

Пусть U ассоциативная коммутативная алгебра с перестановочными дифференцированиями 1,..., n. Следующий определитель на U называется якобианом:

1u1 · · · 1un...

...

Jacn(u1,..., un) =.

...

nu1 · · · nun В [1, 2] доказано, что (U, Jacn) как n-арная алгебра является n-лиевой, т. е.

якобиан удовлетворяет правилу Лейбница Jacn(u1,..., un-1, Jacn(un,..., u2n-1)) 2n-1 = (-1)i+n Jacn(Jacn(u1,..., un-1, ui), un,..., i,..., u2n-1), i=n где i означает, что элемент ui опущен.

Существует не менее замечательный определитель вронскиан. Он определен на некоторой ассоциативной коммутативной алгебре U с дифференцированием по правилу u0 u1 · · · uk u0 u1 · · · uk 0,1,...,k V (u0,..., uk) =.

....

....

....

ku0 ku1 · · · kuk Цель работы изучить алгебру U как n-арную алгебру относительно умножения, порожденного вронскианом.

k Пусть A и M векторные пространства и T (A, M) = Hom(Ak, M) пространство полилинейных отображений A · · · A M с k аргументами.

0 k Положим T (A, M) = M и T (A, M) = 0, если k < 0. Положим T (A, M) = k T (A, M).

k © 2005 Джумадильдаев А. С.

760 А. С. Джумадильдаев Пусть kA k-я внешняя степень A и Ck(A, M) = Hom(kA, M) подk пространство T M). Положим C0(A, M) = M и Ck(A, M) = 0, если k < 0, (A, и C(A, M) = Ck(A, M).

k Пусть A алгебра с сигнатурой [3]. Это означает, что есть множество полилинейных отображений A · · · A A. Элемент назовем n-арным n n умножением, если T (A, A). Положим || = n, если T (A, A). Если необходимо обратить внимание на сигнатуру, то вместо A будем писать (A, ).

Если состоит из одного элемента, то положим A = (A, ).

Пусть (A, ) n-арная алгебра с векторным пространством A над полем K характеристики p 0 и полилинейное отображение с n аргументами A · · · A A. Напомним, что линейное отображение D : A A называется дифференцированием A, если n D((a1,..., an)) = (a1,..., ai-1, D(ai), ai+1,..., an) i=для любых a1,..., an A. Пусть La...an-1 : A A линейное отображение, определенное по правилу La,...,an-1a = (a1,..., an-1, a).

Пусть Der A алгебра всех дифференцирований алгебры (A, ). Алгебра (A, ) называется n-лиевой [1], если кососимметрична и La,...,an-1 Der A для любых a1,..., an-1 A. Иногда n-лиевы алгебры называются алгебрами Намбу Тахтаджяна, хотя такие алгебры впервые были определены В. Т. Филипповым.

Пусть Symk группа перестановок и sign четность перестановки Symk. Обозначим через Symk,l подмножество (k, l)-тасующих перестановок, т. е.

перестановок Symk+l таких, что (1) < · · · < (k), (k + 1) < · · · < (k + l).

Обычно под множеством, на котором действуют перестановки из Symk, понимают стандартное множество {1,..., k}, но мы будем использовать некоторые нестандартные множества порядка k (типа {2, 3,..., k + 1} в определении Ql, секция 2). Какого типа множество мы используем, будет понятно из контекста.

Алгебра (A, ) с n-арным умножением называется (n - 1)-левокоммутативной, если sign (a(1),..., a(n-1), (a(n),..., a(2n-2), a2n-1)) = Sym2n-для любых a1,..., a2n-2, a2n-1 A.

Алгебру (A, ) называем гомотопически n-лиевой [4], если Cn(A, A) и sign (a(1),..., a(n-1), (a(n),..., a(2n-2), a(2n-1))) = Symn-1,n для любых a1,..., a2n-2, a2n-1 A. В [5] такие алгебры называются n-алгебрами Ли.

Алгебра (A, ) называется гомотопической алгеброй Ли [4], если состоит из элементов 1, 2,... таких, что k Ck(A, A) и sign i(a(1),..., a(i-1), j(a(i),..., a(i+j-1))) = Symi-1,j n-Лиевы структуры, порожденные вронскианами для любых a1,..., ai+j-1 A и i, j = 1, 2,....

В разд. 2 мы доказываем, что любая n-лиева алгебра является (n - 1)левокоммутативной и любая (n - 1)-левокоммутативная алгебра будет гомотопической n-лиевой. Примеры вронскиановых алгебр показывают, что утверждение, обратное этому, неверно.

1. Формулировка основного результата Пусть U ассоциативная коммутативная алгебра с дифференцированием i1,...,ik k. Пусть V = i · · · i является обобщенным вронскианом, т. е.

1 i u1 · · · i uk...

i1,...,ik...

V (u1,..., uk) =.

...

k k i u1 · · · i uk 0,1,2,...,k Например, V это стандартный вронскиан.

Теорема 1.1. Пусть U некоторая ассоциативная коммутативная алгебра над полем K характеристики p 0 с дифференцированием. Тогда 0,1,...,k (i) Для любого k > 0 алгебра (U, V ) гомотопическая (k + 1)-лиева.

0,1,...,i Более того, (U, {0, i+1V, i = 1, 2,... }) гомотопическая алгебра Ли для любого i K, 1 = 0.

0,1,...,k (ii) Алгебра (U, V ), k > 0, является k-левокоммутативной, если и только если k = 2.

0,1,...,k (iii) Алгебра (U, V ) является (k + 1)-лиевой, если и только если выполняется одно из следующих условий:

k = 1 и p любое простое число или 0;

k = 2 и p = 2;

k = 3 и p = 3;

k = 4 и p = 2.

По теореме 1.1 вронскианы как n-лиевые умножения для n > 2 возникают только в случаях малых характеристик p = 2, 3. В [1] установлен следующий результат: если A n-лиевая алгебра с умножением, то A является (n - 1)лиевой с умножением i(a) для любого a A. Здесь под i(a) понимается (n - 1)-умножение, определяемое по правилу i(a)(a1,..., an-1) = (a, a1,..., an-1).

0,1,...,k Используя эту конструкцию из (k + 1)-лиевых алгебр V, можно получить другие n-лиевы алгебры с n k.

Теорема 1.2. Пусть n 2 и p = char K 0. Следующие обобщенные вронскианы являются n-лиевыми умножениями:

n = 2r-2l,2r p = 2, V, 0 l r;

2l i,2l+1-i p = 2, V, 0 < l;

i=2·3r,3r+p = 3, V, 0 r;

n = 1,2,p = 2, V ;

2,3,p = 2, V ;

762 А. С. Джумадильдаев 2l 0,i,2l+1-i p = 2, V, 0 < l;

i=1,2,p = 3, V ;

n = 1,2,3,p = 2, V ;

0,1,2,p = 3, V ;

n = 0,1,2,3,p = 2, V.

0,1,...,k Над полем характеристики 0 вронскиан V может служить как nлиево умножение только в случае алгебры Ли, n = 2, k = 1.

Заметим, что всякая 3-лиева алгебра над полем характеристики 3 образует тройную систему Ли. Имеется стандартный способ сопоставить тройной системе Ли алгебру Ли [6]. Поэтому всякой 3-лиевой алгебре характеристики можно сопоставить алгебру Ли. Простые алгебры Ли, соответствующие нашим 3-лиевым алгебрам в характеристике 3, будут исключительными простыми алгебрами Кузнецова и Ермолаева [7]. Серии простых n-лиевых алгебр для любой характеристики p построены в [8]. Наши n-лиевы алгебры, порожденные вронскианами, являются исключительными в том смысле, что их нельзя определить для характеристик p > 3.

Вычисления базируются на двух идеях. Первая идея (полиномиальный прием) означает следующее. Допустим, что некоторое утверждение X об ассоциативной коммутативной алгебре с единицей U с перестановочными дифференцированиями D = 1,..., n получено с использованием линейных свойств U; ассоциативности, коммутативности и свойств единицы U; правила Лейбница для дифференцирований 1,..., n; свойства коммутативности дифференцирований [i, j] = 0, i, j = 1, 2,..., n. Тогда это утверждение истинно для любой ассоциативной коммутативной алгебры с единицей и перестановочными дифференцированиями.

В частности, в качестве U можем взять алгебру многочленов K[x1,..., xn] и i = /xi или алгебру многочленов разделенных степеней (в случае p > 0):

n i i On(m) = x = x( ) : 0 i < pm, m = (m1,..., mn), i= n i + i xx = x+, i i=со специальными дифференцированиями i i : x x-, i = (0,..., 0,, 0,..., 0), i = 1,..., n.

i Вторая идея относится к D-инвариантным многочленам [9]. Пусть D = {1, k..., n} система коммутативных дифференцирований и T (U, U). Будем называть D-инвариантным, если k (u1,..., uk) = (u1,..., ui-1, ui, ui+1,..., uk) i=n-Лиевы структуры, порожденные вронскианами для любых u1,..., uk U и D. Другими словами, является D-инвариантным, если любой D дифференцирование для. Заметим, что U является D-градуированным:

U = Us, UsUl Us+l, U0 = 1, siUs Us-1, UD = {u U : iu = 0 i = 1,..., n} = U0.

k Для градуированного D-инвариантного полилинейного отображения T (U, U) k обозначим через полилинейную форму T (U, U0), определенную на однородных базисных элементах e1,..., ek U как (e1,..., ek) = (e1,..., ek), если (e1,..., ek) U0, и (e1,..., ek) = 0, если (e1,..., ek) Us. Назовем опорой и k-кортеж базисных однородs>ных элементов (e1,..., ek) таких, что (e1,..., ek) = 0, опорной цепью. Пусть множество опорных цепей. Тогда [9] может быть восстановлен при помощи единственным образом. Именно, 1 k (u1) (uk) 1 k (u1,..., uk) =... (x,..., x ).

1! k! {,,...,k } Таким образом, для того чтобы найти D-полилинейную форму, достаточно вычислить ее опору. Мы используем этот метод в вычислении Q, Qshort, Qlong и Qalt. В нашем случае n = 1 и восстанавливающая формула выглядит более просто:

1 k i u1 i uk = i,...,ik..., i1! ik! i1,...,ik 1 k где i,...,ik = (xi,..., xi ) K. В случае разделенных многочленов xi слеiu дует заменить на x(i) и на iu.

i! 2. Связь между n-лиевыми, (n - 1)-левокоммутативными и гомотопическими n-лиевыми структурами Определим квадратичные отображения 2k-Q, Qshort, Qlong, Qalt : Ck(A, A) T (A, A) следующим образом:

Q(a1,..., a2k-1) = (a1,..., ak-1, (ak,..., a2k-1)) k- - (ak,..., ak+i-1, (a1,..., ak-1, ak+i), ak+i+1,..., a2k-1), i=Qlong(a1,..., a2k-1) = sign (a(1),..., a(k-2), a(k-1), (a(k),..., a(2k-1))), Symk-1,k,(k-1)=2k-764 А. С. Джумадильдаев Qshort(a1,..., a2k-1) = sign (a(1),..., a(k-1), (a(k),..., a(2k-2), a2k-1)), Symk-1,k,(2k-1)=2k-Qalt(a1,..., a2k-1) = sign (a(1),..., a(k-1), (a(k),..., a(2k-2), a(2k-1))).

Symk-1,k Эти определения делят элементы {a1,..., a2k-1} на два типа. Назовем элементы (k - 1) элементного подмножества {a1,..., ak-1} короткими, а элементы k элементного подмножества {ak,..., a2k-1} длинными.

2k-Если Ck(A, A), то Q T (A, A) кососимметричен по всем коротким аргументам и по всем длинным аргументам, т. е. по первым k - 1 аргу2k-ментам и по последним k аргументам. Легко видеть, что Qshort T (A, A) кососимметричен по всем коротким и по всем длинным, за исключением од2k-ного, аргументам, если Ck(A, A). Аналогично Qlong T (A, A) кососимметричен по всем коротким и по всем длинным, за исключением одного, аргументам, если Ck(A, A). Заметим, что Qalt C2k-1(A, A).

Предложение 2.1. Предположим, что Ck(A, A) и выполняется одно из следующих условий:

p = 0, k > 2;

p > 0, k 0, 1(mod p), k 1(mod 2);

p > 0, k -1, 2(mod p), k 0(mod 2).

Тогда справедливы следующие утверждения:

(i) если Q = 0, то Qshort = 0 и Qlong = 0.

(ii) если Qshort = 0 или Qlong = 0, то Qalt = 0.

Доказательство. Назовем Symk-1,k короткой перестановкой, если (k - 1) = 2k - 1. Любой короткой перестановке соответствуют (k - 2)-кортеж r () и k-кортеж r (), определенные по правилам r () = {(1),..., (k - 2)}, r () = {(k),..., (2k - 1)}.

Назовем Symk-1,k длинной перестановкой, если (2k - 1) = 2k - 1.

Любой длинной перестановке соответствуют (k - 1)-кортеж r () и (k - 1)кортеж r (), определенные как r () = {(1),..., (k - 1)}, r () = {(k),..., (2k - 2)}.

Заметим, что r () r () = {1,..., 2k - 2} для любого Symk-1,k. Другими словами, любой r () однозначно определяется с помощью r ().

Назовем элемент формы A := (a(1),..., a(k-1), (a(k),..., a(2k-1))) коротким (длинным) -элементом или просто коротким (длинным) элементом, если короткая (длинная) перестановка. Пусть Syms множество k-1,k n-Лиевы структуры, порожденные вронскианами коротких перестановок и Syml множество длинных перестановок. Очеk-1,k видно, что Symk-1,k = Syms Syml k-1,k k-1,k и Qalt = Qshort + Qlong, (1) Тождество Q = 0 для Ck(A, A) дает нам, что (a(1),..., a(k-1), (a(k),..., a(2k-1))) k- = (-1)k-i-1(a(k),..., a,..., a(2k-1), (a(1),..., a(k-1), a(k+i))).

(k+i) i=0 (2) В частности, (2) означает, что любой короткий -элемент может быть представлен как сумма k длинных элементов. Более точно, короткий элемент A есть сумма k длинных элементов A, где длинная перестановка удовлетворяет условию r () r (). Так как |r () \ r ()| = 1, существует один элемент, скажем i, такой, что r () = r () {i}. Тогда i 2k - 2 и i не равен k - элементам из r (). Таким образом, существует k - 1 возможностей выбрать i.

Другими словами, в соответствии с (2) элемент Qlong(a1,..., a2k-1) = sign (a(1),..., a(k-1), (a(k),..., a(2k-1))) Syms k-1,k может быть представлен в виде (k - 1) (a(1),..., a(k-1), (a(k),..., a(2k-1))).

Syml k-1,k Итак, из условий Ck(A, A), Q = 0 можно получить, что Qlong = (k - 1)Qshort. (3) Дадим другую интерпретацию (2). Если длинная перестановка, то A сумма k - 1 коротких элементов и одного длинного элемента A, где 1 · · · k - 1 k · · · 2k - 2 2k - =.

(k) · · · (2k - 2) (1) · · · (k - 1) 2k - Тем самым A может быть представлен как сумма коротких элементов формы A, где r () r (). Точнее, r ()\r () = {i} для некоторого i {1, 2,..., 2k2}, и i может быть равен одному из k - 2 элементов из r (). Таким образом, здесь есть k возможностей для длинной перестановки такой, что A может быть одним слагаемым из A. Заметим, что sign = (-1)k-1 sign.

Следовательно, суммирование sign A для всех Syml в соответk-1,k ствии с (2) дает нам, что Qshort = kQlong + (-1)k-1Qshort. (4) 766 А. С. Джумадильдаев Мы видим, что определитель системы линейных уравнений (3) и (4) равен 1 -k + = -k2 + k + 1 + (-1)k.

k -1 - (-1)k Значит, из условий Q = 0 и Ck(A, A) вытекают тождества Qlong + 2Qshort = 0, k -1(mod p), k 0(mod 2), p > 0, Qlong - Qshort = 0, k 2(mod p), k 0(mod 2), p > 0, Qlong + Qshort = 0, k 0(mod p), k 1(mod 2), p > 0, Qlong = 0, k 1(mod p), k 1(mod 2), p > 0, и Qlong = 0, Qshort = 0, p = 0, k > 2.

Таким образом, по (1) Qalt = 0, если p = 0, k > 2 или k 0, 1(mod p), k 1(mod 2), или k -1, 2(mod p), k 0(mod 2).

Следствие 2.2. Если алгебра (A, ) является n-лиевой, то она (n - 1)левокоммутативная. Если алгебра (A, ) (n - 1)-левокоммутативная, то она гомотопическая n-лиева.

В частности, любая n-лиева алгебра является гомотопической n-лиевой.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.