WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

§ 5. Послойно тривиальные отображения Рассмотрим проекцию p prM : M N M произведения метрических пространств на первый сомножитель. Пусть образ p(X) подмножества X M N (не обязательно замкнутого ) содержится в Y M. Тогда через : X Y обозначим ограничение p на X. От отображения не требуется, вообще говоря, ни сюръективности, ни даже всюду плотности (X) в Y.

Введем ряд новых понятий. Будем говорить, что вложение A B подмножеств A и B произведения M N является послойно стягиваемым внутри проекции p, если существуют отображение g : p(A) B, p g = Idp(A), а также гомотопия Ht : A B такие, что (1) p Ht = p для всех t I (условие послойности гомотопии Ht);

(2) H0 = IdA;

(3) H1 = g p (условие факторизуемости H1 через проекцию p).

Фиксируем в этом параграфе совокупность X окрестностей множества X таких, что (4) образ p(U ) содержит Y для всех U X;

(5) для любой окрестности U X и для любой точки y Y существует окрестность O O(y) M, обладающая следующим свойством: O prN (O• X) U (здесь и далее через C•, где C M, обозначается произведение CN = p-1(C)).

Пусть U, V X и V U. Будем говорить, что отображение : X Y является послойно U V -стягиваемым внутри проекции p, если существует • • окрестность W V множества Y такая, что вложение W V W U послойно стягиваемо внутри проекции p. Говорят, что отображение : X Y является послойно тривиальным внутри проекции p, если для любой окрестности U X существует меньшая окрестность V X, V U, для которой отображение : X Y послойно U V -стягиваемо внутри проекции p; локально послойно тривиально внутри проекции p, если для любой окрестности U X существуют окрестность V X, V U, и семейство = {O(y) | y Y } от крытых в M множеств, покрывающих Y, такие, что p(V ) и O(y)• V O(y)• U послойно стягиваемо внутри p для всех y Y.

Предложение 5.1. Пусть имеется последовательность окрестностей V V2 V3... из X, а пространство Y содержится в объединении W = Wi i=открытых подмножеств пространства M. Если выполнены следующие условия:

(6) p(Vi+1) Wi для всех i 1;

(7) вложение Wi•Vi+1 Wi•Vi является послойно стягиваемым внутри p для всех i 1, Метод аппроксимативного продолжения то V Wi• Vi+1 X и проекция послойно V1V -стягиваема внутри p.

i=Доказательство. В силу [13] существует открытая в M счетная система n Wi, покрывающая Y, для которой ClW Wi Wi. Ясно, что ClW F En, i=n n n где F = Wi, а En = Wi.

i=1 i=По предположению (7) существуют отображения gi : Wi Vi и гомотопии Gi : (Wi• Vi+1) I Wi• Vi такие, что (9) p (Gi)t = p для всех t I;

(10) (Gi)0 = Id;

(11) (Gi)1 = gi p.

План дальнейшего доказательства предложения заключается в построении таких отображений hn : En V1 и гомотопий Hn : ((En)• Vn+1) I V1, n 1, что (12) p (Hn)t = p для всех t I;

(13) (Hn)0 = Id;

(14) (Hn)1 = hn p;

n n (15) Hn+1 ((F )• Vn+2) = Hn ((F )• Vn+2).

n n Тем самым hn+1 F будет совпадать с hn F, а формулами:

n () h(y) = hn(y), где y принадлежит окрестности F = F = Wi i=1 i=n множества Y в M, а номер n таков, что y F, () H(x, t) = Hn(x, t), где x V (F )•, а номер n таков, что x n (F )• Vn+1, будут корректно определены непрерывное отображение h : F V1 и непре рывная гомотопия H : V (F )• V1. Тем самым будет установлено, что проекция послойно V1V -стягиваема.

В качестве h1 и H1 примем g1 и G1. Пусть h1,..., hn и H1,..., Hn, удовлетворяющие (12)–(15), уже построены. Тогда в метрическом пространстве C En Wn+1 = En+1 рассмотрим замкнутые множества A Wn+1 \ En n n и ClC B, где B (En \ Wn+1) F. Так как ClW (F ) En, то A и ClC B не пересекаются и поэтому существует функция Урысона : C [0, 2] такая, что -1(0) окрестность B, -1(2) окрестность A. Тогда функции (c) = 2 - max(1, (c)) и (c) = min(1, (c)) отображают C в отрезок [0, 1] и обладают следующими свойствами:

(16) -1(1) -1(1) = C, т. е. (x) = 1 или (x) = 1 для любой точки x C;

(17) -1(0) совпадает с -1(0) и является окрестностью B, а -1(0) совпадает с -1(2) и является окрестностью A.

Определим отображение Hn+1 : ((En+1)• Vn+2) I V1 формулой Hn(x, t), если x B• Vn+2, t I;

Gn+1(x, t), если x A• Vn+2, t I;

Hn+1(x, t) = Hn(Gn+1(x, (p(x)) · t), (p(x)) · t), где x (En Wn+1)• Vn+2, t I.

Так как в точке p(x) Wn+1 \ En = A функция (p(x)) равна 0, а (Hn)0 = Id, то Hn+1 корректно определенная непрерывная гомотопия.

Очевидно, что (Hn+1)0 = Id. Из послойности гомотопий Hn и Gn+1 следует послойность гомотопии Hn+1 : (Hn+1)t p = p для всех t I. Поскольку (Hn)752 С. М. Агеев, Д. Реповш и (Gn+1)1 переводят все точки, лежащие в одном слое, в одну точку, а из (16) следует (p(x)) = 1 или (p(x)) = 1, то (Hn+1)1 тоже переводит все точки, n лежащие в одном слое, в одну точку. Если p(x) F (т. е. (p(x)) = 0), то легко видеть, что (p(x)) = 0, а (p(x)) = 1. Следовательно, Hn+1(x, t) = Hn(x, t), т. е. выполнено свойство (15).

Рассмотрим отображение hn+1 : En+1 V1, определенное формулой hn(y), если y -1(0);

hn+1(y) = Hn(Gn+1(gn+1(y), (y)), (y)), если y Wn+1.

Ясно, что в точках y -1(0) Wn+1 отображение задано корректно. Осталось установить непрерывность hn+1 и совпадение (Hn+1)1 с hn+1p, что не составляет особого труда. Также легко доказывается, что окрестность V удовлетворяет условиям (4) и (5), т. е. V X.

Теперь приведем ряд условий на пространство X, гарантирующих для проекции графика свойства локально послойной тривиальности и послойной тривиальности (предложения 5.2–5.4).

Предложение 5.2. Пусть Z A - X LC частичное отображение, а G {(a, (a)) | a A} Z X график. Тогда проекция : G A графика G на A является локально послойно тривиальной внутри проекции p : Z X Z.

Доказательство. Легко проверить, что семейство G совпадает с сово купностью всех окрестностей графика G в Z X. Это будет использоваться также в 5.3–5.5.

Пусть U G замкнутая окрестность в Z X. Для доказательства предложения нам необходимо будет найти такую окрестность V G, G V U, в Z X, что (a) Для любой точки a0 A существует окрестность O = O(a0) Z, для которой вложение O• V O• U послойно стягиваемо, где O• O X.

Прежде всего рассмотрим многозначное отображение : A R+, (a) = {r > 0 | N(a; r) N((a); r) U } R+. Легко видеть, что полунепрерывное снизу выпуклозначное отображение и, следовательно, по теореме Даукера [13, 5.5.20] существует непрерывная селекция r : A (0, ). Еще одно многозначное отображение : A R+, (a) = {r(a) t > 0 | N((a); t) стягивается по Cl(N((a); r(a))) в точку} R+ является полунепрерывным снизу выпуклозначным и по теореме Даукера имеет непрерывную селекцию t : A (0, ), при этом t(a) r(a).

Воспользуемся непрерывностью и уменьшим окрестность N(a; r(a)) до окрестности W (a) так, чтобы (b) N((a ); t(a )/2) N((a); t(a)) для любой точки a W (a) A.

В силу паракомпактности A существует семейство = {W (a) W (a) | a A} окрестностей точек из A, звездно вписанное в {W (a) | a A},. Сопоставим каждой точке a A точку za A так, что St (a) W (b) W (za).

aW (b) Из предложения 2.1 следует, что n n n (c) W (ai) = влечет W (ai) W (za ).

i i=1 i=1 i=Метод аппроксимативного продолжения Наконец, искомая окрестность V G определяется как V W (a) N((a); t(a)/2).

aA Ясно, что G V U. Для проверки (a) рассмотрим произвольную точку a0 A, ее окрестность O = W (a0) и покажем, что вложение O• V O• U допускает послойное стягивание.

Пусть z O. Из явных формул для V и O вытекает, что (d) (z X) V = {z} N((a); t(a)/2);

z (e) (z X) U {z} N((za ); r(za )), где z = { | W (a) {z}}.

z Так как W (a0) {z} для всех z O, то индекс 0, соответствующий W (a0), принадлежит z. Если мы покажем, что N((a); t(a)/2) zO zO z стягивается в точку по множеству N((za ); r(za )), то тем самым (z zO z X) V будет стягиваться в точку по (z X) U (причем стягивание не зависит от z) и, следовательно, вложение O•V O•U будет послойно стягиваемым.

Обратим внимание на то, что в силу (c) справедливо включение a W (za ), а из (b) следует, что zO z N((a); t(a)/2) N((za ); t(za )).

0 zO z Поскольку t : A (0, ) селекция, то N((za ); t(za )) стягивается по 0 N((za ); r(za )) в точку и тем самым требуемое свойство (a) установлено.

0 Предложение 5.3. Пусть вложение X X является LEC, X ANE, а Z A - X частичное отображение. Тогда проекция : G A графика отображения на подпространство A является послойно тривиальной внутри проекции p : Z X Z.

Доказательство. Пусть замкнутая окрестность O X X и отображение : O I X взяты из определения LEC-вложения. Кроме того, зафиксируем замкнутую окрестность U G в Z X. Так как X ANE, то отображение допускает такое продолжение : W X на некоторую замкну тую окрестность W A, что G U.

Рассмотрим многозначное отображение : W R+, (w) = {r > 0 | N(w; r) NX((w); r) U и NX ((w); r) NX((w); r) O}. Очевидно, что полунепрерывное снизу выпуклозначное отображение и, следовательно, по теореме Даукера существует непрерывная селекция r : W (0, ).

Еще одно многозначное отображение : W R+, (w) = {r(w) t > 0 | (NX ((w); ) NX((w); t) I) NX((w); r(w)) для некоторого } также является полунепрерывным снизу выпуклозначным отображением и по теореме Даукера имеет непрерывную селекцию t : W (0, ), при этом t(w) r(w).

В качестве искомой окрестности V G возьмем V w NX((w); t(w)).

wInt W Ясно, что G V U. Послойное стягивание V по U устроено так: если w Int W, то Ft(w, x) w((w), x, t) wNX((w), r(w)) U (wX), где 754 С. М. Агеев, Д. Реповш x N((w), t(w)), 0 t 1. Ясно, что Ft гомотопия, соединяющая F1 = IdV с отображением F0, которое факторизуется через проекцию p: F0 = p.

Следующее утверждение является усилением предложения 5.3 и доказывается аналогично ему.

Предложение 5.4. Пусть вложение X X локально эквисвязно, а пространство X представлено в виде объединения счетного числа подпространств Fi, i 1, причем так, что любое частичное отображение Z A - Fi имеет окрестностное продолжение : U X. Тогда для любого i 1 проекция : G A графика любого частичного отображения Z A - Fi на подпро странство A является послойно тривиальной внутри проекции p : Z X Z.

В заключение параграфа приведем усиление предложения 1.7, позволяющее состыковывать послойно тривиальные отображения с A-ANE-пространствами.

Предложение 5.5. Пусть X замкнутое подмножество нормированного пространства Z. Если проекция : G X графика G Z X частичного IdX отображения Z X ---- X послойно тривиальна внутри проекции p prZ : Z X Z, то X A-ANE.

Доказательство. Покажем, что для произвольного покрытия = {W | } cov X существует такое отображение : W X, где W окрестность A в Z, что dist(, X). Если это будет сделано, то X A-ANE в силу леммы, легко получающейся из определения A-ANE и того факта, что Z AE.

Лемма 5.6. Если для любого покрытия cov X частичное отображение IdX Z X ---- X имеет окрестностное -продолжение, то X A-ANE.

Рассмотрим покрытие = {W} cov X, звездно вписанное в :. В силу предложения 2.1 существует отображение индексных множеств = (), для которого справедливо свойство 2.1(1). Кроме того, рассмотрим открытую систему = {S} в Z, покрывающую X и такую, что {(S X)}. Пусть (S X) W=() W=().

Так как отображение : G X послойно тривиально внутри p : ZX Z, то для окрестности U S W() G графика G существуют • окрестности W, Z W X, и V, G V U, такие, что p(V ) W и W V • послойно стягивается по W U. Следовательно, существует отображение :

W X, для которого (x, (x)) U при всех x X. Покажем, что и является искомым отображением.

Для x0 X обозначим { | x0 S}. Легко видеть, x• U = что x0 W() = x0 W(). Так как x0 = (x0) (S A) W(), то из свойства 2.1(1) следует, что x• U x0 W(()). Так как (x0, (x0)) U, имеем (x0) W(()). Таким образом, (x0) и (x0) содержатся в элементе W(( )) покрытия, где 0 есть тот элемент, для которого (x0) W( ).

Метод аппроксимативного продолжения § 6. Доказательство теоремы 1.Теорема 6.1. Пусть пространство Y представлено в виде счетного объ единения Y2i-1 D своих замкнутых подпространств Y2i-1 и счетномерного i=подпространства D. Если (a) ограничение 2i-1 : X2i-1 Y2i-1 проекции : X Y на X2i-1 = -1(Y2i-1) является послойно тривиальным внутри проекции p : M N M для любого i 1;

(b) проекция является локально послойно тривиальной внутри p в случае D =, то проекция послойно тривиальна внутри p.

Доказательство. Пусть X (X ) совокупность окрестностей X (Xi) i в M N, удовлетворяющих (4), (5) из § 5. Зафиксируем V1 X. Так как проекция 1 послойно тривиальна внутри p, существует V2 X такая, что послойно V1V2 -стягиваемая проекция. Так как X1 замкнуто в Y, то несложно построить V2 X, такую, что 1 послойно V1V2-стягиваема в p : M N M.

Поскольку проекция локально послойно тривиальна внутри p, то существуют открытое в M семейство 1 = {O1(y) | y }, покрывающее Y, и окрест Y ность V3 V2, V3 X, такие, что p(V3) 1 и вложение (O1(y))• V(O1(y))•V2 является послойно стягиваемым внутри проекции p для всех y Y.

Аналогично для i 4 и j 2 строятся окрестности Vi X, Vi Vi-1, и семейства j = {Oj(y) | y Y } открытых в M множеств, покрывающих Y, таких, что 1) j j-1;

2) j является послойно V2j-1V2j-стягиваемой проекцией внутри p;

3) p(V2j+1) j, и вложение (Oj(y))• V2j+1 (Oj(y))• V2j послойно стягиваемо внутри проекции p для всех y Y.

Так как D счетномерно, в силу предложения 2. D D2j(), j=1 j где {D2j() | j} семейство открытых в M множеств кратности 1, вписанное в j. Обозначим W2j = D2j() для j 1.

j Рассмотрим также окрестность W2j-1, для которой p(V2j) W2j-1 Y2j-1, а вложение (W2j-1)• V2j (W2j-1)• V2j-1 является послойно стягиваемым • внутри проекции p. Ясно, что p(Vj+1) Wj для всех j 1 и вложение Wj • Vj+1 Wj Vj послойно стягиваемо внутри p. Тем самым выполнены условия • (6) и (7) из предложения 5.1. Следовательно, V Wj Vj+1 X и j=является послойно V1V -стягиваемой внутри p. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 1.6. Так как класс пространств X, удовлетворяющих условию теоремы 1.6, выдерживает умножение на [0, 1), в силу теоремы 1.2 достаточно доказать, что X A-ANE.

756 С. М. Агеев, Д. Реповш IdX Пусть Z X ---- X, G Z X, : G X и p : Z X Z взяты из предложения 5.5. Покажем, что послойно тривиальная проекция внутри p, тогда 5.5 влечет X A-ANE. (Существование замкнутого вложения X в линейное нормированное пространство Z следует из [10].) Так как X LC, в силу предложения 5.2 является локально послойно тривиальной проекцией внутри p. Кроме того, из предложения 5.4 следует, что - -1 : (Xi) Xi, i 1, (Xi) является послойно тривиальной проекцией внутри p. Так как X = D Xi, i=выполнены все условия теоремы 6.1 и, следовательно, является послойно тривиальной проекцией внутри p.

ЛИТЕРАТУРА 1. Hu S.-T. Theory of Retracts. Detroit: Wayne State Univ. Press, 1965.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.