WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

§ 3. Аппроксимативный критерий продолжимости отображений В произведении X J метрического пространства X и полуоткрытого интервала J = [0, 1) рассмотрим открытое покрытие, примыкающее к верхнему основанию X {1}. Последнее означает, что для любой точки a X {1} и любой ее окрестности U = U(a) в X [0, 1] существует такая окрестность V = V (a), что звезда множества V относительно покрытия содержится в U.

Сразу же отметим, что одна из возможностей образовывать такое примыкающее покрытие связана с последовательностью открытых покрытий i cov X, i 1, удовлетворяющих условиям:

(1) n n n-1 для всех n > 1;

(2) для любой точки x X последовательность множеств {n(x)} сходится к этой точке.

Такие последовательности будем называть измельчающимися. Если теперь фиксировать открытое покрытие = {n} интервалами n кратности 2, для которого 0 1, n n+1 = для всех n 1 (очевидно, что при этом diam n 0 при n ), то открытое покрытие = {n n | n = 1, 2,... } на произведении X J будет примыкающим к X {1}.

Следующая теорема позволяет сводить задачу точного продолжения частичных отображений к менее обременительной задаче приближенного продолжения.

Теорема 3.1 (аппроксимативный критерий продолжимости частичного отображения). Пусть открытое покрытие cov X [0, 1) примыкает к верхнему f основанию X{1}. Тогда частичное отображение Z A - X имеет глобальное (окрестностное) продолжение в том и только в том случае, когда частичное fId отображение Z J A J - X J имеет -продолжение на Z J (на -окрестность A J).

Из теоремы 3.1 получаем следствие.

Теорема 3.2. Если произведение X J является аппроксимативным абсолютным (окрестностным) экстензором, то X A[N]E.

Доказательство теоремы 3.1. Лишь достаточность представляет собой нетривиальную часть теоремы. Поэтому остается построить продолжение проf извольного частичного отображения Z A - X. По условию для частичного Метод аппроксимативного продолжения g отображения Z J A J - X J, где g = f IdJ, существует такое отоб ражение g : Z J X J (отображение g : U X J соответственно), что (g, g AJ).

Утверждение 3.3. Отображение d : A [0, 1] X [0, 1], заданное формулой d AJ = g AJ, d A{1} = f {1}, непрерывно.

Доказательство. Достаточно проверить непрерывность d в точке a {1}. Для этого зафиксируем произвольную окрестность V [t, 1] точки b = (f(a), 1) и найдем другую ее окрестность V1 [r, 1], t < r < 1, такую, что St(V1 [r, 1]; ) V [t, 1]. Так как отображение f : A X непрерывно, существует такая окрестность O(a) V1 точки a, что f(O(a)) V1. Используя условие -близости g = f IdJ и g AJ, легко получаем, что d(O(a) [r, 1]) St(V1 [r, 1]; ) V [t, 1].

Следующий несложный факт приведем без доказательства.

Утверждение 3.4. Пусть отображение : F W T задано на объединении замкнутого множества F и открытого множества W пространства S и его ограничения F и W на F и W непрерывны. Тогда существует такое замкнутое множество F, F1 F, пространства S, что F непрерывно и F W Int F1.

Если положить S Z I, T X I, F A I Z {0}, W Z J (F A I, W U соответственно) и = d g, то будет существовать такое замкнутое множество H, H Z I, что A I Z J H A I Z {0} (A I U H A I соответственно), а также A [0, 1) Z {0} Int H (A [0, 1) Int H соответственно), а ограничение на H непрерывно. Теперь воспользуемся утверждением, доказательство которого несложно и также приводится без доказательства.

Утверждение 3.5. Существуют последовательность окрестностей V V2 · · · Vi Cl(Vi+1), Vi = A, а также монотонно возрастающая последовательность чисел 0 = r0 < r1 < r2 <..., lim ri = 1, для которых Vi [0, ri] H.

Пусть i : Z [ri-2, ri-1], i 2, непрерывные функции со свойствами i Bd Vi ri-1, i Bd Vi-1 ri-2. Тогда функция : Z [0, 1], Z\V = 0, V \Vi = i при i 2, A Id, непрерывна и (v, (v)) H, v Z ((v, (v)) i- H, v V1 соответственно). Искомое продолжение f частичного отображения f задается формулой f(v) = (v, (v)), v Z (v V1 соответственно).

В заключение параграфа приведем еще несколько несложных фактов о взаимоотношении классов ANE и A-ANE, которые, однако, в работе не используются и поэтому приводятся без доказательства. Теорему 3.2 иногда целесообразно трансформировать в следующее утверждение.

Теорема 3.6. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы X A[N]E, является следующее.

(3) Существуют A-A[N]E-пространство P и отображения : X J P, : P X J, для которых (, IdXJ) (здесь через cov X [0, 1) обозначено открытое покрытие, примыкающее к верхнему основанию X {1}).

746 С. М. Агеев, Д. Реповш Какие необходимые условия надо наложить на аппроксимативный абсолютный экстензор X, чтобы заведомо гарантировать включение X AE Следующая теорема показывает, что для этого достаточно требовать от X локальной эквисвязности.

Теорема 3.7. Если X A-A[N]E LEC, то X абсолютный (окрестностный) экстензор.

§ 4. Применения аппроксимативного критерия продолжимости отображений Почти все критерии абсолютных экстензоров и ретрактов могут быть достаточно просто выведены из теорем 3.1 и 3.2. Поэтому их естественно назвать основными критериями для ANE-пространств.

С учетом этих теорем задача точного продолжения отображений для широкого класса пространств решается ее сведением к задаче аппроксимативного продолжения отображений. В свою очередь, -продолжение : Z X ча стичного отображения Z A - X ищется, как правило, в виде композиции канонического отображения : X N, порожденного некоторым покрытием cov Z, и непрерывного отображения µ : N Z. Какие достаточные условия на отображения µ гарантируют -близость композиции µ к отображению Чтобы ответить на этот вопрос напомним некоторые факты, восходящие к Майклу [13].

Определение 4.1. Пусть заданы отображение : A X метрических пространств, а также покрытия = {Va} cov A,, cov X. Будем говорить, что отображение µ : N X из нерва N в X удовлетворяет (, )-условию относительно, если (1) отображение µ является -реализацией;

(2) µ( V ) N((a); ) для всех V и a V.

µ Теорема 4.2. Композиция A - N - X любого канонического отоб ражения с отображением µ, удовлетворяющим (, )-условию относительно отображения : A X, является ( )-близкой к отображению.

Доказательство. Пусть a A, a Vi и (a) = i Vi. Так как отображение µ является -реализацией, то {µ (a), µ Vi | i} U. Из условия (2) следует, что {(a), µ Vi | i} W. Отсюда получается искомая близость отображений dist(µ (a), (a)).

В оставшейся части параграфа приведем ряд теорем, из которых с помощью теоремы 3.2 вытекают как теорема 1.3, так и теоремы Хавера и Торунчика.

Теорема 4.3. Пусть для метрического счетномерного пространства X выполнено одно из двух условий:

(3) X LC;

или (4) X имеет открытую базу из слабо гомотопически тривиальных множеств, т. е. iX = 0 для всех i 0.

Тогда X A-ANE.

Доказательство. Мы установим несколько более сильный факт: если в f случае (3) или (4) в частичном отображении Z A - X одно из двух про странств A или f(A) счетномерно, то для любого покрытия cov X суще ствует окрестностное -продолжение f : U X отображения f.

Метод аппроксимативного продолжения Случай локальной стягиваемости X. Для любого натурального числа i 0 и для любой точки x X возможен выбор таких окрестностей Vi(x) x,i Ui(x) Vi-1 и стягиваний F : Vi(x) I Ui(x) окрестности Vi(x) по окрестности Ui(x) в точку x, что покрытие {U0(x) | x X} будет вписано в, а покрытие {Ui(x) | x X} будет звездно вписано в покрытие {Vi-1(x) | x X} x,i для всех i 1. Для определенности будем считать, что F V (x){0}= Id, i x,i F V (x){1}= x.

i Так как A или f(A) счетномерны, то в сил 2.7 существуют открытые в Z семейства и i, i 2, для которых = i покрывает A, кр.i = 1, а также i=f(i A) {Vi(x) | x X}. Не теряя общности, можно считать, что нервы и A изоморфны, т. е.

k k Wi = (Wi A) = i=1 i= для Wi. Нашей целью будет продолжение отображения f на тело семейства, являющееся окрестностью A.

Для этого рассмотрим нерв N = N и каноническое отображение :

N. Искомое отображение f будет построено в виде композиции и некоторого отображения g : N X. Прежде чем переходить к определению отображения g, отметим в качестве важного обстоятельства то, что на множестве вершин любого симплекса этого нерва имеется естественный линейный порядок. Если = W0,..., Wk, Wi n, представляет собой k-мерный симплекс, i k то Wi =, а все числа ni различны (это важное обстоятельство следует i=из однократности систем n ). Поэтому возможно линейно упорядочить верi шины симплекса таким образом, чтобы номера ni систем i образовывали возрастающую последовательность n0 < n1 < · · · < nk.

Для W i имеем f(W A) S {Vi(x)}, а поскольку St(S; {Ui(x)}) Vi-1(xW ) для некоторой точки xW, то (5) St(f(W A); {Ui(x)}) Vi-1(xW ).

Определим g0 : N(0) X формулой g0( W ) = xW. Далее будем последовательно продолжать отображение g0 до отображений gi : Ni X, i = 1,..., k-1, заданных на i-остове нерва, каждый раз требуя выполнения условия:

(6) для любого симплекса k-1 = W0,..., Wk-1, k > 1, имеет место включение f(W0 A) gk-1(k-1) Un (xW ).

0-Построим отображение gk : N(k) X, gk N = gk-1, если уже построено (k-1) отображение gk-1 : N(k-1) X, удовлетворяющее (6).

Лемма 4.4. Если k = W0, W1,..., Wk k-мерный симплекс N, то gk-1(k-1) Vn (xW ), где k-1 = W1,..., Wk грань k.

0-Доказательство леммы. В силу (6) имеем f(W1 A) gk-1(k-1) k Un (xW ). Так как Wi A = и, следовательно, f(W0 A)f(W1 A) =, 1-i=то f(W1 A) gk-1(k-1) St(f(W0 A); {Un (x)}).

1-В силу (5) имеем St(f(W0 A); Un (x)) Vn (xW ). Поскольку n1-1-n1 - 1, то Vn (xW ) Vn (xW ) Vn (xW ) и, значит, gk-1(k-1) 1-0 0-0 0-Vn (xW ).

0-748 С. М. Агеев, Д. Реповш Теперь отображение gk может быть корректно определено формулой k xW0,n0-gk(t · W0 + (1 - t) · v) = F (gk-1(v), t), где v W1,..., Wk.

xW0,n0-Из включения Im F Un (xW ) несложно вывести следующий 0-факт.

Лемма 4.5. f(W0 A) gk(k) Un (xW ).

0-Лемма 4.6. gk = gk-1.

k Доказательство леммы 4.6. Пусть u = t · W0 + (1 - t) · v k. Если t = 0, то u = v W1,..., Wk и gk(u) = gk-1(v) = gk-1(u). Если t > 0, то v W1,..., Wk. Непосредственно из формулы для gk следуют равенxW0,n0-1 xW0,n0-ства gk(u) = F (gk-1(v), t) и gk-1(u) = F (gk-2(v), t). Так как равенство gk-1 W,...,Wk = gk-2 уже установлено, то gk-2(v) = gk-1(v), что и завершает доказательство леммы.

Покажем, что искомым -продолжением f : X является f = g, и тем самым завершим доказательство (3). В самом деле, если a A, a k k Wi и (a) = i · Wi, то в силу условия (6), примененного к симплексу i=1 i= W0,..., Wk, имеем f(W0 A) g((a)) Un (xW ) Vn (xW ), 0-0 0- т. е. f(a) и f(a) являются -близкими (так как n0 2, а {Vn (x)} при 0-n0 - 1 1).

Случай, когда X имеет открытую базу из слабо гомотопически тривиальных множеств. Для любого числа i 0 и для любой точки x X возможен выбор таких окрестностей Vi(x), что (a) все гомотопические группы m(Vi(x)) являются нулевыми;

(b) покрытие {V0(x) | x X} вписано в ;

(c) покрытие {Vi(x) | x X} звездно вписано в покрытие {Vi-1(x) | x X} для всех i 1.

Так же, как и в первой части этой теоремы, мы построим открытые (в Z) системы = i, кр.i = 1, f(i A) {Vi(x) | x X} и A. Не iтеряя общности, считаем, что N = N A. Точно так же линейно упорядочим вершины симплексов = W0,..., Wk, Wi n, из нерва N N i системы, требуя чтобы номера ni систем i образовывали возрастающую последовательность n0 < n1 < · · · < nk.

Искомое отображение f будет построено в виде композиции канонического отображения : N и некоторого отображения g : N X.

Для W i имеем f(W A) S {Vi(x)}, а поскольку St(S; {Vi(x)}) Vi-1(xW ) для некоторой точки xW, то (7) St(f(W A); {Vi(x)}) Vi-1(xW ).

Определим g0 : N(0) X формулой g0( W ) = xW. Будем теперь последовательно продолжать отображение g0 до отображений gi : Ni X, i = 1,..., k-1, заданных на i-остове нерва, каждый раз требуя выполнения условия:

(8) для любого симплекса k-1 = W0,..., Wk-1, Wi n, k > 1, имеет i место включение f(W0 A) gk-1(k-1) Vn (xW ).

0-Аналогично лемме 4.4 доказывается следующий факт.

Метод аппроксимативного продолжения Лемма 4.7. Если k = W0,..., Wk k-мерный симплекс N, то gk-1(k-1) Vn (xW ) 0 0-и, следовательно, gk-1(k) Vn (xW ) 0- (здесь k = k-1, k-1 = W0,..., Wi,..., Wk ).

i i Так как Vn (x) (k - 1)-связно, то существует отображение 0-gk : k Vn (xW ), gk = gk-1.

k 0-При этом мы построили отображение gk : N(k) X, являющееся продолжением gk-1, которое задано на k-мерном остове и удовлетворяет условию (8).

Итак, построено отображение g : N X, причем для любого симплекса выполняется условие (8). Покажем, что искомым -продолжением f : X является f = g. В самом деле, если a A, a Vi и (a) = ai · Vi, то в силу условия (8), примененного к симплексу W0,..., Wk, имеем f(W0 A) g((a)) Vn (xW ).

0- Так как {Vn (x)} при n0 - 1 0, отсюда следует -близость f и f.

0-Теорема 4.8. Пусть метрическое пространство X имеет открытую базу B, все конечные пересечения которой гомотопически тривиальны (и, следовательно, гомотопически тривиальны сами элементы базы). Тогда X A-ANE.

Доказательство. Очевидно, что X LCn для всех n. Из теоремы Майера Виеториса [14] легко следует Утверждение 4.9. Если Wi B, i = 1,..., n, имеют непустое пересечеn ние, то все гомотопические группы Wi тривиальны.

i=f Пусть = {U} cov X, а Z A - X произвольное частичное отобра жение. Не теряя общности, можно считать, что покрытие состоит из элементов базы B.

Покрытие = f-1() cov A подобно раздуем до системы = {V} от m крытых в Z множеств (последнее означает, что V = влечет V A i i i=m и (V A) = ). Сопоставляя каждому элементу V такой элемент i i=U, что f(V A) U, мы тем самым определяем отображение g0 :

() N(0) X, g0( V ) U на нульмерном остове нерва N(). Будем последова () тельно продолжать отображение g0 до отображений gi : Ni X, i = 1,..., k -1, заданных на i-остове нерва, каждый раз требуя выполнения условия:

(9) для любого симплекса k-1 = V0,..., Vk-1, k > 1, имеет место включение k-k- f(Vi A) gk-1(k-1) U.

(i) i=0 i=k Отметим, что из условия (9) просто следует gk-1(k) U для (i) i=любого k-мерного симплекса k = V0,..., Vk.

750 С. М. Агеев, Д. Реповш k Так как U f((Vi) A) =, то в силу утверждения 4.9 имеем (i) i=k k U C. Поэтому существует продолжение gk : k U отобра(i) (i) i=0 i=жения gk-1.

Из (9) легко вытекает, что отображение g есть 2-реализация. Из теоремы 4.2 получаем 4-близость отображения f к композиции g ( A) : A X и, следовательно, g : X является искомым 4-продолжением f. Ввиду произвольности покрытия это влечет X A-ANE.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.