WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

DL(T, S) = sup D(T u + Sv, Su + T v)/(u, v).

u,vN,u =v Отсюда вытекает, что теорема 1 остается справедливой, если в ней положить (M, d, +) = (cbc(Y ), D, +), (Y, | · |) банахово пространство, и L(N; M) заменить на L(N; cbc(Y )). При этом если N является линейным пространством, то b b оператор f(x)(·) при любом x Ia однозначен (так что f : Ia L(N; Y )); это следует из того, что если u N, то (-u) N, а потому в силу +-аддитивности оператора f(x)(·) находим, что f(x)(u) + f(x)(-u) = f(x)(u + (-u)) = f(x)(0) = {0}.

Кроме того, если N вещественное, то L(N; Y ) можно трактовать как обычное пространство всех линейных ограниченных операторов из N в Y.

Замечание 6. Аналог теоремы 1 справедлив и для отображений и опеb раторов суперпозиции одной переменной, если в ней положить Ia = [a, b] R, всюду заменить BV2 на BV1 (см. также замечание 2) и считать, что h-(x, u) = lim h(y, u) при a < x b и h-(a, u) = lim h-(x, u) в M для всех u N и yx-0 xa+ b b BV- Ia; M есть подмножество BV1 Ia; M, состоящее из отображений, непрерывных слева на (a, b]. Следуя доказательству теоремы 1, укажем лишь основ b ные ходы доказательства в этом случае. Для g1, g2 BV1 Ia; N условие Липшица для H выглядит так:

b b d((H g1)(a), (H g2)(a)) + Wa(H g1, H g2) L(H ) (g1(a), g2(a)) + Wa(g1, g2).

В частности, если m N и a 1 < 1 < 2 < 2 < · · · < m < m b, то m d(h(i, g1(i)) + h(i, g2(i)), h(i, g2(i)) + h(i, g1(i))) L(H )1(g1, g2).

i=При m = 1 и 1 = a отсюда вытекает, что d(h(x, u1), h(x, u2)) 2L(H )(u1, u2), x [a, b], u1, u2 N, если для a < x b положить 1 = x и gk(y) = a,x(y)uk, а для x = a положить 1 = b и gk(y) = (1 - a,b(y))uk, y [a, b], k = 1, 2. Если теперь a < x b, a < 1 и m < x, то, полагая 1 1 gk(y) = m(y)u1 + (1 - m(y))u2 + uk, y [a, b], k = 1, 2, 2 2 найдем, что m u1 + u2 u1 + u2 (u1, u2) d h(i, u1) + h(i, u2), h i, + h i, L(H ), 2 2 i=716 В. В. Чистяков откуда при 1 x - 0 стандартным способом получаем, что u1 + u2 u1 + u2 (u1, u2) d h-(x, u1) + h-(x, u2), h- x, + h- x, L(H ).

2 2 2m Оставшаяся часть доказательства такая же, как в теореме 1.

Представленный в этом замечании результат обобщает результаты работ [8, 9] (в многозначном случае следует положить (M, d, +) = (cbc(Y ), D, +)).

На случай функций из BV1([a, b]; M) и операторов суперпозиции одной переменной с соответствующими изменениями переносятся замечания 1–5.

ЛИТЕРАТУРА 1. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

2. Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.:

Физматгиз, 1958.

3. Красносельский М. А., Покровский А. В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983.

4. Appell J., Zabrejko P. P. Nonlinear Superposition Operators. Cambridge: Cambridge Univ.

Press, 1990.

5. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Соболева // Докл. РАН. 2002. Т. 386, № 6. С. 730–734.

6. Водопьянов С. К., Ухлов А. Д. Операторы суперпозиции в пространствах Соболева // Известия вузов. Математика. 2002. № 10. С. 11–33.

7. Josephy M. Composing functions of bounded variation // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. V. 83,.

N 2. P. 354–356.

8. Matkowski J., Mi J. On a characterization of Lipschitzian operators of substitution in the space BV a, b // Math. Nachr. 1984. V. 117. P. 155–159.

.

9. Zawadzka G. On Lipschitzian operators of substitution in the space of set-valued functions of bounded variation // Rad. Mat. 1990. V. 6. P. 279–293.

.

10. Matkowski J. Functional equations and Nemytskii operators // Funkcial. Ekvac. 1982. V. 25,.

N 2. P. 127–132.

11. Matkowski J. On Nemytskii operator // Math. Japon. 1988. V. 33, N 1. P. 81–86.

.

12. Matkowski J. Lipschitzian composition operators in some function spaces // Nonlinear Anal.

.

1997. V. 30, N 2. P. 719–726.

13. Merentes N. On a characterization of Lipschitzian operators of substitution in the space of bounded Riesz -variation // Ann. Univ. Sci. Budapest. Etvs Sect. Math. 1991. V. 34.

.

P. 139–144.

14. Merentes N., Nikodem K. On Nemytskii operator and set-valued functions of bounded p-variation // Rad. Mat. 1992. V. 8, N 1. P. 139–145.

.

15. Merentes N., Rivas S. On characterization of the Lipschitzian composition operator between spaces of functions of bounded p-variation // Czechoslovak Math. J. 1995. V. 45, N 4.

.

P. 627–637.

16. Smajdor A., Smajdor W. Jensen equation and Nemytskii operator for set-valued functions // Rad. Mat. 1989. V. 5. P. 311–320.

.

17. Smajdor W. Note on Jensen and Pexider functional equations // Demonstratio Math. 1999.

.

V. 32, N 2. P. 363–376.

18. Чистяков В. В. Липшицевы операторы Немыцкого на пространствах Орлича Винера // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: Казанск. мат. об-во,.

1999. С. 243–244.

19. Чистяков В. В. Отображения обобщенной вариации и операторы суперпозиции // Современная математика и ее приложения. Тематич. обзоры. М.: ВИНИТИ, 2000. Т. 79.

С. 67–82. (Итоги науки и техники.) 20. Chistyakov V. V. Generalized variation of mappings and applications // Real Anal. Exchange.

1999–2000. V. 25, N 1. P. 61–64.

21. Chistyakov V. V. Lipschitzian superposition operators between spaces of functions of bounded generalized variation with weight // J. Appl. Anal. 2000. V. 6, N 2. P. 173–186.

.

22. Chistyakov V. V. On mappings of finite generalized variation and nonlinear operators // Real Analysis Exchange 24th Summer Symp. Denton, Texas, USA, 2000. P. 39–43.

Абстрактные операторы суперпозиции 23. Chistyakov V. V. Generalized variation of mappings with applications to composition operators and multifunctions // Positivity. 2001. V. 5, N 4. P. 323–358.

24. Чистяков В. В. Алгебра функций двух переменных ограниченной вариации и липшицевы операторы суперпозиции // Тр. XII Байкальской междунар. конф. Методы оптимизации и их прил. Иркутск, 2001. Т. 6. С. 53–58.

25. Chistyakov V. V. Superposition operators in the algebra of functions of two variables with finite total variation // Monatsh. Math. 2002. V. 137, N 2. P. 99–114.

.

26. Matkowski J. On Lipschitzian solutions of a functional equation // Ann. Polon. Math. 1973.

.

V. 28. P. 135–139.

27. Шварц Л. Анализ. М.: Мир, 1972. Т. 1.

28. Чистяков В. В. К теории многозначных отображений ограниченной вариации одной вещественной переменной // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 5. С. 153–176.

.

29. Picone M. Sulla variazione totale di una funzione metrica // Rend. Sem. Mat. Fis. Milano.

1960. V. 30. P. 59–92.

30. Ambrosio L. Metric space valued functions of bounded variation // Ann. Scuola Norm. Sup.

Pisa Cl. Sci. (4). 1990. V. 17, N 3. P. 439–478.

31. Balcerzak M., Belov S. A., Chistyakov V. V. On Helly’s principle for metric semigroup valued BV-mappings of two real variables // Bull. Austral. Math. Soc. 2002. V. 66, N 2. P. 245–257.

.

32. Чистяков В. В. Обобщенные вариации в многозначном анализе: Дис.... д-ра физ.-мат.

наук. Новосибирск: Ин-т математики СО РАН, 2002.

33. Чистяков В. В. Метрические полугруппы и конусы отображений конечной вариации нескольких переменных и многозначные операторы суперпозиции // Докл. РАН. 2003.

Т. 393, № 6. С. 757–761.

34. Чистяков В. В. Операторы суперпозиции на BV-отображениях двух переменных // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань: Изд-во Казанск. мат. об-ва, 2003. Т. 19. С. 229–230.

35. Шилов Г. Е., Гуревич Б. Л. Интеграл, мера и производная. М.: Наука, 1967.

36. Пинскер А. Г. Пространство выпуклых множеств локально выпуклого пространства // Тр. Ленингр. инж.-эконом. ин-та им. П. Тольятти. 1966. Вып. 63. С. 13–17.

37. Hrmander L. Sur la fonction d’appui des ensembles convexes dans un espace localement convexe // Ark. Mat. 1954. Bd 3. N 12. S. 181–186.

38. Rdstrm H. An embedding theorem for spaces of convex sets // Proc. Amer. Math. Soc.

.

1952. V. 3, N 1. P. 165–169.

39. De Blasi F. S. On the differentiability of multifunctions // Pacific J. Math. 1976. V. 66, N 1.

.

P. 67–81.

40. Castaing C., Valadier M. Convex analysis and measurable multifunctions. Berlin: Springer-Verl., 1977. (Lecture Notes in Math.; 580).

41. Vitali G. Sulle funzione integrali // Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. 1904/1905.

V. 40. P. 1021–1034; and Opere sull’analisi reale, Cremonese. 1984. P. 205–220.

42. Clarkson J. A., Adams C. R. On definitions of bounded variation for functions of two variables // Trans. Amer. Math. Soc. 1933. V. 4. P. 824–854.

.

43. Hildebrandt T. H. Introduction to the Theory of Integration. New York; London: Acad. Press, 1963.

44. Idczak D., Walczak S. On Helly’s theorem for functions of several variables and its applications to variational problems // Optimization. 1994. V. 30. P. 331–343.

45. Леонов А. С. Замечания о полной вариации функций нескольких переменных и многомерном аналоге принципа выбора Хелли // Мат. заметки. 1998. Т. 63, № 1. С. 69–80.

46. Fifer Z. Set-valued Jensen functional equation // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 1986.

.

V. 31, N 4. P. 297–302.

47. Nikodem K. K-convex and K-concave set-valued functions. Zeszyty Nauk. Politech. dz.

Mat. V. 559. d: Rozprawy Naukowe 114, 1989.

Статья поступила 13 марта 2004 г.

Чистяков Вячеслав Васильевич Гос. университет Высшая школа экономики, кафедра математики, ул. Большая Печерская, 25, Нижний Новгород czeslaw@mail.ru

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.