WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

i j Абстрактные операторы суперпозиции Тогда, применяя неравенство треугольника и (2), с учетом (6) получим md(f-, Iij) = d(f-(ti-1, sj-1) + f-(ti, sj), f-(ti-1, sj) + f-(ti, sj-1)) d(f(t, s ) + f(t, s ), f(t, s ) + f(t, s )) i-1 j-1 i j i-1 j i j-+ d(f-(ti-1, sj-1), f(t, s )) + d(f-(ti, sj), f(t, s )) i-1 j-1 i j + d(f-(ti-1, sj), f(t, s )) + d(f-(ti, sj-1), f(t, s )) md(f, Iij) + /(mn), i-1 j i j- где Iij = [t, t ] [s, s ], i = 1,..., m, j = 1,..., n. Суммируя по этим i i-1 i j-1 j b и j, беря супремум по всем разбиениям Ia и учитывая произвольность > 0, b b найдем, что V2 f-, Ia V2 f, Ia.

bЧтобы показать, что Va (f-(·, a2)) <, возьмем a1 = t0 < t1 < · · · < tm-1 < tm = b1 и > 0. По определению f- найдем t (ti-1, ti), i = 1,..., m, i t (a1, t ) и s0 (a2, b2) такие, что 0 d(f-(ti, a2), f(t, s0)) /(2m), i = 0, 1,..., m.

i В силу неравенства треугольника для i = 1,..., m имеем d(f-(ti, a2), f-(ti-1, a2)) d(f(t, s0), f(t, s0)) + d(f-(ti, a2), f(t, s0)) i i-1 i + d(f-(ti-1, a2), f(t, s0)) d(f(t, s0), f(t, s0)) + (/m).

i-1 i i-Суммируя по i и применяя неравенство (10), найдем, что m b1 b1 b1,sd(f-(ti, a2), f-(ti-1, a2)) Va (f(·, s0)) + Va (f(·, a2)) + V2 f, Ia,a2 +, 1 1 i= b1 b1 b откуда Va (f-(·, a2)) Va (f(·, a2))+V2 f, Ia. С учетом (11) следующая оценка 1 b2 b2 b получается аналогично: Va (f-(a1, ·)) Va (f(a1, ·)) + V2 f, Ia.

2 Частные случаи следующей леммы для операторов T с компактными выпуклыми значениями устанавливались также в [46, теорема 2; 47, теорема 5.6].

Лемма 6 [17, теорема 1 и следствие 2]. Пусть (N, +) коммутативная полугруппа с нулем и делением на 2 и (M, d, +, ·) полный абстрактный выпуклый конус. Тогда отображение T : N M удовлетворяет функциональному уравнению Иенсена:

u + v 2T = T u + T v в M для всех u, v N, тогда и только тогда, когда существуют единственное аддитивное отображение A : N M и постоянная h0 M такие, что T u = Au + h0 для всех u N.

Основным результатом настоящего раздела является следующая Теорема 1. Пусть (N,, +, ·) и (M, d, +, ·) два абстрактных выпуклых b конуса, причем M полный, и отображение h : IaN M является генератором b b b оператора суперпозиции H при I = Ia. Если H Lip BV2 Ia; N ; BV2 Ia; M, b b то h(x, ·) Lip(N; M) для всех x Ia и найдутся два отображения f : Ia b b L(N; M) и h0 : Ia M такие, что f(·)u, h0 BV- Ia; M при всех u N и b имеет место представление h-(x, u) = f(x)u + h0(x) для всех x Ia и u N, где f(·)u действует по правилу x f(x)u, а h-(·, u) есть левая-левая регуляризация отображения h(·, u) при каждом фиксированном u N.

Доказательство. Из условия липшицевости оператора H и определеb b ния 5 метрик 2 и d2 на BV2 Ia; N и BV2 Ia; M соответственно вытекает 710 В. В. Чистяков b неравенство d2(H g1, H g2) L(H )2(g1, g2) для всех g1, g2 BV2 Ia; N, которое в более развернутом виде выглядит следующим образом:

bd((H g1)(a), (H g2)(a)) + Wa ((H g1)(·, a2), (H g2)(·, a2)) b2 b + Wa ((H g1)(a1, ·), (H g2)(a1, ·)) + W2 H g1, H g2, Ia b L(H ) (g1(a), g2(a)) + Wa (g1(·, a2), g2(·, a2)) b2 b + Wa (g1(a1, ·), g2(a1, ·)) + W2 g1, g2, Ia. (18) b 1. Вначале покажем, что h(x, ·) Lip(N; M) для всех x Ia. (Отметим, что рассуждения в этом шаге пригодны для любой метрической полугруппы M.) b Для точки x = (x1, x2) Ia возможны следующие четыре случая:

(i) a1 < x1 b1 и a2 < x2 b2;

(ii) a1 < x1 b1 и x2 = a2;

(iii) x1 = a1 и a2 < x2 b2;

(iv) x1 = a1 и x2 = a2.

Определим функции, Lip(R; [0, 1]), где, R, <, правилом 0, если t,,(t) = (t - )/( - ), если t, (19) 1, если t.

Пусть u1, u2 N произвольные элементы.

b Случай (i). Определим два отображения g1, g2 BV2 Ia; N правилами gk(y1, y2) = (a,x1(y1) + a,x2(y2))uk, yk [ak, bk], k = 1, 2, 1 и заметим, что gk(a) = 0, k = 1, 2, в силу (4) b1 bWa (g1(·, a2), g2(·, a2)) = Va (a,x1)(u1, u2) = (u1, u2)/1 b2 b и аналогично Wa (g1(a1, ·), g2(a1, ·)) = (u1, u2)/2, а также W2 g1, g2, Ia = 0, поэтому в правой части (18) 2(g1, g2) = (u1, u2). Принимая во внимание, что (H gk)(a1, a2) = h(a1, a2, gk(a1, a2)) = h(a1, a2, 0), k = 1, 2, привлекая неравенство (1) и учитывая инвариантность d относительно сдвигов, ввиду (18) получим, что d(h(x, u1), h(x, u2)) = d((H g1)(x1, x2), (H g2)(x1, x2)) d((H g1)(x1, a2) + (H g2)(a1, a2), (H g2)(x1, a2) + (H g1)(a1, a2)) + d((H g1)(a1, x2) + (H g2)(a1, a2), (H g2)(a1, x2) + (H g1)(a1, a2)) + d((H g1)(a1, a2) + (H g1)(x1, x2) + (H g2)(a1, x2) + (H g2)(x1, a2), (H g2)(a1, a2) + (H g2)(x1, x2) + (H g1)(a1, x2) + (H g1)(x1, a2)) b1 b Wa ((H g1)(·, a2), (H g2)(·, a2)) + Wa ((H g1)(a1, ·), (H g2)(a1, ·)) 1 b + W2 H g1, H g2, Ia = d2(H g1, H g2) L(H )2(g1, g2) = L(H )(u1, u2), и приходим к нужному утверждению в этом случае.

Случаи (ii), (iii). В случае (ii) положим gk(y1, y2) = a,x1(y1)uk для всех byk [ak, bk] и k = 1, 2. Тогда gk(a) = 0, k = 1, 2, Wa (g1(·, a2), g2(·, a2)) = Абстрактные операторы суперпозиции b2 b (u1, u2), Wa (g1(a1, ·), g2(a1, ·)) = 0 и W2 g1, g2, Ia = 0, поэтому 2(g1, g2) = (u1, u2). Поскольку gk(x1, a2) = uk, k = 1, 2, из (18) находим, что d(h(x1, a2, u1), h(x1, a2, u2)) = d((H g1)(x1, a2), (H g2)(x1, a2)) = d((H g1)(x1, a2) + (H g2)(a1, a2), (H g2)(x1, a2) + (H g1)(a1, a2)) b Wa ((H g1)(·, a2), (H g2)(·, a2)) = d2(H g1, H g2) L(H )(u1, u2).

В случае (iii) полагаем gk(y1, y2) = a,x2(y2)uk для всех yk [ak, bk] и k = 1, 2 и рассуждаем аналогично.

Случай (iv). Полагая gk(y1, y2) = (2 - a,b1(y1) - a,b2(y2))uk, yk [ak, bk], k = 1, 2, 1 имеем gk(a) = uk, k = 1, 2, b1 bWa (g1(·, a2), g2(·, a2)) = Wa (g1(a1, ·), g2(a1, ·)) = (u1, u2)/1 b и W2 g1, g2, Ia = 0, а потому 2(g1, g2) = 2(u1, u2). Принимая во внимание, что (H gk)(b1, b2) = h(b1, b2, 0), k = 1, 2, в силу (18) получим d(h(a1, a2, u1), h(a1, a2, u2)) = d((H g1)(a1, a2), (H g2)(a1, a2)) d((H g1)(b1, a2) + (H g2)(a1, a2), (H g2)(b1, a2) + (H g1)(a1, a2)) + d((H g1)(a1, b2) + (H g2)(a1, a2), (H g2)(a1, b2) + (H g1)(a1, a2)) + d((H g1)(a1, a2) + (H g1)(b1, b2) + (H g2)(a1, b2) + (H g2)(b1, a2), (H g2)(a1, a2) + (H g2)(b1, b2) + (H g1)(a1, b2) + (H g1)(b1, a2)) b1 b Wa ((H g1)(·, a2), (H g2)(·, a2)) + Wa ((H g1)(a1, ·), (H g2)(a1, ·)) 1 b + W2 H g1, H g2, Ia d2(H g1, H g2) 2L(H )(u1, u2), что завершает доказательство первого утверждения.

2. Установим теперь представление для h-(x, u). Пусть вначале x = (x1, x2) b Ia, где x1 (a1, b1] и x2 (a2, b2]. Пусть также m N, a1 < 1 < 1 < 2 < 2 < · · · < m < m < x1 и a2 < 1 < 1 < 2 < 2 < · · · < m < m < x2. Из неравенства (18) и определения 5 вытекает, в частности, что m d((H g1)(i, a2) + (H g2)(i, a2), (H g2)(i, a2) + (H g1)(i, a2)) i=m + d((H g1)(a1, i) + (H g2)(a1, i), (H g2)(a1, i) + (H g1)(a1, i)) i= b + W2 H g1, H g2, Ia L(H )2(g1, g2). (20) Пусть m : [a1, b1] [0, 1] и m : [a2, b2] [0, 1] две непрерывные по Липшицу функции, определенные следующим образом:

0, если a1 t 1,,i(t), если i t i, i = 1,..., m, i m(t) = (21) -,i+1(t), если i t i+1, i = 1,..., m - 1, i 1, если m t b1, 712 В. В. Чистяков 0, если a2 s 1,,i(s), если i s i, i = 1,..., m, i m(s) = -,i+1(s), если i s i+1, i = 1,..., m - 1, i 1, если m s b2, где функции, определены в (19). Для произвольных u1, u2 N, y1 [a1, b1], y2 [a2, b2] и k = 1, 2 положим 1 1 gk(y1, y2) = (m(y1) + m(y2))u1 + (2 - m(y1) - m(y2))u2 + uk.

4 4 b Поскольку (g1(y), g2(y)) = (u1, u2)/2 для всех y Ia, то 2(g1, g2) = (u1, u2)/2.

Для всех i = 1,..., m имеет место неравенство d((H g1)(i, i) + (H g2)(i, i), (H g2)(i, i) + (H g1)(i, i)) d((H g1)(i, a2) + (H g2)(i, a2), (H g2)(i, a2) + (H g1)(i, a2)) + d((H g1)(a1, i) + (H g2)(a1, i), (H g2)(a1, i) + (H g1)(a1, i)) + d((H g1)(i, a2) + (H g1)(i, i) + (H g2)(i, i) + (H g2)(i, a2), (H g2)(i, a2) + (H g2)(i, i) + (H g1)(i, i) + (H g1)(i, a2)) + d((H g1)(a1, i) + (H g1)(i, i) + (H g2)(a1, i) + (H g2)(i, i), (H g2)(a1, i) + (H g2)(i, i) + (H g1)(a1, i) + (H g1)(i, i)), поэтому, суммируя по i = 1,..., m, в силу (20) найдем, что m d((H g1)(i, i) + (H g2)(i, i), (H g2)(i, i) + (H g1)(i, i)) i= d2(H g1, H g2) L(H )(u1, u2)/2.

Так как g1(i, i) = u1, g2(i, i) = (u1 + u2)/2, g1(i, i) = (u1 + u2)/2 и g2(i, i) = u2, последнее неравенство можно переписать в виде m u1 + u2 u1 + u d h(i, i, u1) + h(i, i, u2), h i, i, + h i, i, 2 i=(u1, u2) L(H ). (22) b b Учитывая, что оператор H отображает BV2 Ia; N в BV2 Ia; M и что посто b янные отображения переменных лежат в BV2 Ia; N, найдем, что h(·, u) = двух b H (u) BV2 Ia; M для всех u N. Тогда по лемме 5 левая-левая регуляриb зация по первым двум переменным h-(·, u) принадлежит BV- Ia; M для всех u N. Переходя к пределу при (1, 1) (x1 - 0, x2 - 0) в неравенстве (22) и принимая во внимание полноту M, определение левой-левой регуляризации h-(·, u) отображения x h(x, u) и непрерывность операции сложения + в M, получим u1 + u2 u1 + ud h-(x1, x2, u1) + h-(x1, x2, u2), h- x1, x2, + h- x1, x2, 2 (u1, u2) L(H ).

2m Абстрактные операторы суперпозиции Отсюда при m вытекает справедливое для всех u1, u2 N равенство u1 + u2 u1 + ud h-(x, u1) + h-(x, u2), h- x, + h- x, = 0. (23) 2 Так как d метрика на M и M выпуклый конус, отсюда следует, что u1 + u2 u1 + u2 u1 + uh-(x, u1) + h-(x, u2) = h- x, + h- x, = 2h- x,.

2 2 Таким образом, оператор h-(x, ·) : N M удовлетворяет следующему функциональному уравнению Иенсена:

u1 + u2h- x, = h-(x, u1) + h-(x, u2), u1, u2 N. (24) Пусть теперь a1 < x1 b1 и x2 = a2. Если m N, a1 < 1 < 1 < · · · < m < m < x1 и a2 < 1 < 1 < · · · < m < m < b2, то приведенные выше рассуждения дают оценку (22). Переходя в ней к пределу при (1, m) (x1 0, a2 + 0), получим равенства (23) и, значит, (24). Аналогично рассматриваются случаи, когда x1 = a1 и a2 < x2 b2 или x1 = a1 и x2 = a2.

b Следовательно, уравнение Иенсена (24) имеет место для всех x Ia.

b По лемме 6 для любого x Ia найдутся аддитивный оператор f(x)(·) : N M и постоянная h0(x) M такие, что h-(x, u) = f(x)u + h0(x), u N. (25) b Поскольку f(x)(0) = 0, из (25) вытекает, h-(x, 0) = h0(x) для всех x Ia, но, что b как отмечено ранее, h(·, BV2 Ia; M, поэтому благодаря лемме 5 находим, 0) b что h0 = h-(·, 0) BV- Ia; M. В шаге 1 было показано, что b d(h(x, u1), h(x, u2)) 2L(H )(u1, u2), x Ia, u1, u2 N, поэтому взяв левую-левую регуляризацию, найдем, что это же неравенство справедливо для h- вместо h. В силу (25) получаем, что d(f(x)u1, f(x)u2) = d(f(x)u1 + h0(x), f(x)u2 + h0(x)) = d(h-(x, u1), h-(x, u2)) 2L(H )(u1, u2), u1, u2 N, b так что f(x) L(N; M), а значит, f : Ia L(N; M).

b Осталось показать, что если u N, то f(·)u BV- Ia; M. Поскольку b отображение h(·, u) лежит в BV2 Ia; M, по лемме 5 отображения h0 и h-(·, u) b лежат в BV- Ia; M. В приводимых ниже неравенствах несколько раз испольb зуются (1) и (25). Если x, y Ia и x y, то y md(f(·)u, Ix) = d(f(x1, x2)u + f(y1, y2)u, f(x1, y2)u + f(y1, x2)u) d(h-(x1, x2, u) + h-(y1, y2, u), h-(x1, y2, u) + h-(y1, x2, u)) y y +d(h0(x1, x2)+h0(y1, y2), h0(x1, y2)+h0(y1, x2)) = md h-(·, u), Ix +md h0, Ix, откуда вытекает, что b b b V2 f(·)u, Ia V2 h-(·, u), Ia + V2 h0, Ia.

Аналогично если t, s [a1, b1], то d(f(t, a2)u, f(s, a2)u) d(h-(t, a2, u), h-(s, a2, u)) + d(h0(t, a2), h0(s, a2)), 714 В. В. Чистяков откуда b1 b1 bVa (f(·, a2)u) Va (h-(·, a2, u)) + Va (h0(·, a2)), 1 1 bи подобная оценка имеет место для Va (f(a1, ·)u). Таким образом, b b b T Vd f(·)u, Ia T Vd h-(·, u), Ia + T Vd h0, Ia.

Непрерывность слева-слева отображения f(·)u следует из того, что для люb бой точки x = (x1, x2), где xk (ak, bk], k = 1, 2, при Ia y x - 0 имеем d(f(y)u, f(x)u) d(h-(y, u), h-(x, u)) + d(h0(y), h0(x)) 0.

Теорема 1 полностью доказана.

В завершение этого параграфа и первой части работы приведем некоторые замечания и дополнения к основному результату.

Замечание 1. Аналогичное теореме 1 утверждение справедливо для правой-правой, правой-левой или левой-правой регуляризаций отображения h(·, u), u N. Однако в представлении h-(x, u) = f(x)u+h0(x) нельзя, вообще говоря, заменить h- на h: соответствующий пример построен в работе [25, теорема 3].

k Замечание 2. Пусть Ik = [ak, bk] и Pk(Ik; N) NI семейство отображений, обладающих свойством: для всех u1, u2 N, m N и ak < 1 < 1 < · · · < m < m < bk отображение Ik t m(t)u1 + u2 N принадле b жит Pk(Ik; N), где k = 1, 2 и функция m имеет вид (21). Положим P Ia; N = b P1(I1; N)+P2(I2; N) и снабдим это множество метрикой 2 из BV2 Ia; N. Тогда заключение теоремы 1 остается справедливым, если липши предположение о b b цевости оператора H заменить условием H Lip P Ia; N ; BV2 Ia; M.

Замечание 3. Пусть выполнены предположения теоремы 1. Обозначим через B(N; M) множество всех ограниченных аддитивных операторов из N в M.

Из доказательства теоремы 1 видно, что справедлив следующий результат: если b b оператор суперпозиции H действует из BV2 Ia; N в BV2 Ia; M и (глобально) ограничен, т. е. найдется постоянная C 0 такая, что d2(H g1, H g2) C для b всех g1, g2 BV2 Ia; N (см. также замечание 2), то h(x, ·) B(N; M) для всех b b x Ia и существует отображение h0 BV- Ia; M такое, что h-(x, u) = h0(x) b b для всех x Ia и u N.

Действительно, найдутся отображения f : Ia b b B(N; M) и h0 BV- Ia; M, для которых h-(x, u) = f(x)u + h0(x), x Ia, b u N. Поскольку d(h(x, u1), h(x, u2)) C при x Ia и u1, u2 N, то d(f(x)u1, f(x)u2) = d(h-(x, u1), h-(x, u2)) C. Следовательно, при любых рациональном > 0 и u N имеем d(f(x)u, 0) = d(f(x)u, 0) = d(f(x)(u), f(x)(0)) C, b так что f(x)u = 0 и, значит, f(x) = 0 для всех x Ia.

Замечание 4. Пусть в теореме 1 h : N M (т. е. h не зависит от первого b аргумента Ia). Имеем: оператор суперпозиции H, порожденный h, отобра x b b жает BV2 Ia; N в BV2 Ia; M и удовлетворяет условию Липшица тогда и только тогда, когда существуют f L(N; M) и h0 M такие, что hu = fu + h0 в M для всех u N. Действительно, из теоремы 1 вытекает, что h(u) = f(x)u+h0(x), b b откуда h(0) = h0(x) для всех x Ia. Кроме того, если x, y Ia, то d(f(x)u, f(y)u) = d(f(x)u + h(0), f(y)u + h(0)) = d(h(u), h(u)) = 0, Абстрактные операторы суперпозиции поэтому f(x)u = f(y)u для всех u N и, значит, f(x) = f(y) в L(N; M).

Достаточность вытекает из теоремы 2 части II этой работы.

Замечание 5. Пусть (Y, |·|) вещественное нормированное линейное пространство. Многозначный оператор T : N cbc(Y ) из абстрактного выпуклого конуса (N,, +, ·) в cbc(Y ) называется линейным, если он является +-аддитив ным (т. е. T (u+v) = T u+T v для всех u, v N), и неотрицательно однородным (т. е. T (u) = T u для всех R+ и u N). Заметим, что если T линеен, то T (0) = {0}. Обозначим через L(N; cbc(Y )) абстрактный выпуклый конус всех линейных липшицевых многозначных операторов из N в cbc(Y ), наделенный поточечными операциями (за которыми сохраняются обозначения операций из cbc(Y )) и метрикой DL = D :

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.