WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

i-b Определение 4. Двойная вариация отображения f : Ia M определяется правилом (Витали [41] при M = R) m n b V2 f, Ia = sup md(f, Iij), (,) i=1 j=b где супремум берется по всем разбиениям (, ) прямоугольника Ia указанного выше вида. Полной вариацией (в модификации Харди и Краузе, см. [42] при M = R) отображения f называется величина b b1 b2 b T Vd f, Ia = Va (f(·, a2)) + Va (f(a1, ·)) + V2 f, Ia, (7) 1 а класс всех отображений конечной полной вариации называется пространством отображений ограниченной вариации (в смысле Витали, Харди и Кра b узе) и обозначается через BV2 Ia; M.

Отметим, что понятие полной вариации (7) эффективно применялось для b доказательства поточечного принципа выбора Хелли в пространстве BVn Ia; M в работах [43, § III.6.5; 44, теорема 3.2] (при n = 2, M = R), [45, теорема 4] (при n N, M = R) и [31, теорема 2] (для n = 2 и метрической полугруппы M).

Основные свойства двойной вариации V2(·, ·) это аддитивность по втоb рому аргументу: для любого, как выше, разбиения (, ) прямоугольника Ia, порождающего подпрямоугольники {Iij}m,n, имеем i,j=m n b V2 f, Ia = V2(f, Iij); (8) i=1 j=и (секвенциальная) полунепрерывность снизу по первому аргументу: если поb b следовательность отображений fk : Ia M сходится поточечно на Ia в метрике b d к отображению f : Ia M, то справедливо неравенство b b V2 f, Ia lim inf V2 fk, Ia. (9) k Учитывая аддитивность по второму аргументу и полунепрерывность снизу по b первому аргументу жордановой вариации Va (·, ·) (см., например, [28, § 2]), найдем, что свойство (9) имеет место, если в нем заменить V2(·, ·) на T Vd(·, ·).

b Если f BV2 Ia; M, то f(·, s) BV1([a1, b1]; M) для всех s [a2, b2], и аналогично f(t, ·) BV1([a2, b2]; M) для всех t [a1, b1] и имеют место неравенства [25, 31] y1 y1 y1,s Vx (f(·, s)) Vx (f(·, a2)) + V2 f, Ix,a2, x1, y1 [a1, b1], x1 y1, (10) 1 1 y2 y2 t,yVx (f(t, ·)) Vx (f(a1, ·)) + V2 f, Ia,x2, x2, y2 [a2, b2], x2 y2. (11) 2 2 b x b Для f BV2 Ia; M функция f (x) = T Vd f, Ia, x Ia, называется функb цией полной вариации f на Ia и обладает следующими свойствами [25, 31]:

y b d(f(y), f(x)) T Vd f, Ix f (y) - f (x), x, y Ia, x y; (12) b b b b V2 f, Ia = V2 f, Ia и T V f, Ia = T Vd f, Ia ;

704 В. В. Чистяков b функция f : Ia R является вполне монотонной, (13) т. е. f (·, a2) неубывающая на отрезке [a1, b1], f (a1, ·) неубывающая на [a2, b2] b и для всех точек x, y Ia, x y, имеем f (x1, x2) + f (y1, y2) - f (x1, y2) f (y1, x2) 0.

В случае, когда (M, d, +) есть метрическая полугруппа (или абстрактный выпуклый конус), структура метрической полугруппы (или абстрактного вы b пуклого конуса) на BV2 Ia; M определяется следующим образом [32, § 8.3].

b Определение 5. Пусть f, g BV2 Ia; M. Операция сложения + (умно b жения на неотрицательное число ) в BV2 Ia; M вводится поточечно: (f + b g)(x) = f(x) + g(x) (соответственно (f)(x) = f(x)), x Ia, а инвариантная b относительно сдвигов метрика d2 на BV2 Ia; M определяется согласно правилу b d2(f, g) = d(f(a), g(a)) + T Wd f, g, Ia, где совместная полная вариация отображений f и g есть b b1 b2 b T Wd f, g, Ia = Wa (f(·, a2), g(·, a2)) + Wa (f(a1, ·), g(a1, ·)) + W2 f, g, Ia.

1 Здесь первое слагаемое справа есть величина (5), вычисленная в метрике d для отображений t f(t, a2) и t g(t, a2) на отрезке [a1, b1], и аналогичный смысл b имеет второе слагаемое, а совместная двойная вариация W2 f, g, Ia отображений f и g определяется в обозначениях (6) правилом m n b W2 f, g, Ia = sup md2(f, g, Iij), (,) i=1 j=где супремум берется по всем разбиениям = {ti}m и = {sj}n отрезков i=0 j=[a1, b1] и [a2, b2] соответственно (m, n N) и значение совместной смешанной y y b разности md2 f, g, Ix на подпрямоугольнике Ix = [x1, y1] [x2, y2] Ia есть y1,ymd2 f, g, Ix,x2 = d(f(x1, x2) + f(y1, y2) + g(x1, y2) + g(y1, x2), g(x1, x2) + g(y1, y2) + f(x1, y2) + f(y1, x2)).

b Корректность определения операций в BV2 Ia; M проверяется с учетом (2) непосредственно:

b b b b b T Vd f + g, Ia T Vd f, Ia + T Vd g, Ia T Vd f, Ia = T Vd f, Ia.

Дальнейшая проверка корректности определения 5 опирается на основные свой b ства полуметрики T Wd ·, ·, Ia, которые отражены в следующей лемме.

b Лемма 2. Если (M, d, +) метрическая полугруппа и f, g BV2 Ia; M, то y b (a) |d(f(y), g(y)) - d(f(x), g(x))| T Wd f, g, Ix для всех x, y Ia, x y;

T b b b b b (b) Vd f, Ia - T Vd g, Ia T Wd f, g, Ia T Vd f, Ia + T Vd g, Ia ;

b (c) если {fk}, {gk} BV2 Ia; M и d(fk(x), f(x)) 0, d(gk(x), g(x)) 0 при b b b k для всех x Ia, то T Wd f, g, Ia lim inf T Wd fk, gk, Ia.

k Абстрактные операторы суперпозиции Доказательство. (a) Трижды применяя неравенство (1) и учитывая инb вариантность d относительно сдвигов, для любых x, y Ia, x y, найдем, что |d(f(y1, y2), g(y1, y2)) - d(f(x1, x2), g(x1, x2))| d(f(y1, y2) + g(x1, x2), g(y1, y2) + f(x1, x2)) d(f(y1, y2) + g(x1, x2) + f(y1, x2) + g(y1, y2), g(y1, y2) + f(x1, x2) + f(y1, y2) + g(y1, x2)) + d(f(y1, x2) + g(y1, y2), f(y1, y2) + g(y1, x2)) d(f(y1, x2) + g(x1, x2), g(y1, x2) + f(x1, x2)) + d f(x1, y2) + g(x1, x2), g(x1, y2) + f(x1, x2)) + d g(x1, x2) + g(y1, y2) + f(x1, y2) + f(y1, x2), f(x1, x2) + f(y1, y2) + g(x1, y2) + g(y1, x2)) y1 y2 y y Wx (f(·, x2), g(·, x2)) + Wx (f(x1, ·), g(x1, ·)) + W2 f, g, Ix = T Wd f, g, Ix.

1 (b) Вначале заметим, что b b b b b V2 f, Ia) - V2 g, Ia) W2 f, g, Ia V2 f, Ia + V2 g, Ia. (14) y b Действительно, для любого подпрямоугольника Ix Ia имеем y y y md f, Ix md g, Ix + md2 f, g, Ix, (15) поскольку в силу неравенства (1) y md f, Ix = d(f(x1, x2) + f(y1, y2), f(x1, y2) + f(y1, x2)) d(g(x1, x2) + g(y1, y2), g(x1, y2) + g(y1, x2)) + d(f(x1, x2) + f(y1, y2) + g(x1, y2) + g(y1, x2), y y g(x1, x2) + g(y1, y2) + f(x1, y2) + f(y1, x2)) = md g, Ix + md2 f, g, Ix и аналогично ввиду неравенства (2) y y y md2 f, g, Ix md f, Ix + md g, Ix. (16) Из (15) и (16) вытекают неравенства (14). В силу (7), леммы 1(c) и (14) получаем b b b1 b T Vd f, Ia - T Vd g, Ia Va (f(·, a2)) - Va (g(·, a2)) 1 b2 b Va V2 f, b b + (f(a1, ·)) - Va (g(a1, ·)) + Ia - V2 g, Ia 2 b1 b2 b b Wa (f(·, a2), g(·, a2)) + Wa (f(a1, ·), g(a1, ·)) + W2 f, g, Ia = T Wd f, g, Ia 1 b1 b1 b2 b2 b b Va (f(·, a2)) + Va (g(·, a2)) + Va (f(a1, ·)) + Va (g(a1, ·)) + V2 f, Ia + V2 g, Ia 1 1 2 b b = T Vd f, Ia + T Vd g, Ia.

(c) Пусть = {ti}m и = {sj}n суть разбиения [a1, b1] и [a2, b2] соответi=0 j=ственно и Iij порожденные прямоугольники (6). Из определения W2 следует, что m n b md2(fk, gk, Iij) W2 fk, gk, Ia, k N.

i=1 j=Взяв нижний предел при k и учтя поточечную сходимость fk к f и gk к g и свойство (3), найдем, что m n b md2(f, g, Iij) lim inf W2 fk, gk, Ia, k i=1 j=706 В. В. Чистяков b b откуда W2 f, g, Ia lim inf W2 fk, gk, Ia. Принимая во внимание лемму 1(e), k получим утверждение (c): следует воспользоваться неравенством lim inf(k + k) lim inf k + lim inf k для действительных последовательностей {k} и {k}, где правая часть не представляет собой выражений вида ±. (Отметим, кроме того, что величина W2(·, ·) обладает свойством аддитивности вида (8).) Лемма 3. Если (M, d, (полная) метрическая полугруппа (абстракт +) b ный выпуклый конус), то BV2 Ia; M, d2, + также является (соответственно полной) метрической полугруппой (абстрактным выпуклым конусом).

b Доказательство. Пусть f, g BV2 Ia; M. Ясно, что если f = g, то d2(f, g) = 0, а если d2(f, g) = 0, то в силу леммы 2(a) b d(f(x), g(x)) = d(f(a), g(a)) = 0, x Ia, x = a, т. е. f = g. Симметричность d2, неравенство треугольника для d2 и инвариантность d2 относительно сдвигов вытекают из соответствующих свойств метрики d.

b Установим полноту. Пусть {fk} BV2 Ia; M последовательность Коши, т. е. d2(fk, fj) 0 при k, j. Тогда из леммы 2(a) находим, что {fk(x)} b последовательность Коши в M при всех x Ia, поэтому существует такое отобb b ражение f : Ia M, что d(fk(x), f(x)) 0 при k для всех x Ia. В силу леммы 2(c) b b T Wd fk, f, Ia lim inf T Wd fk, fj, Ia lim d2(fk, fj), k N.

j j b Поскольку {fk} последовательность Коши в BV2 Ia; M, то b lim sup T Wd fk, f, Ia lim lim d2(fk, fj) = 0, k j k b откуда d2(fk, f) 0 при k. Осталось заметить, что f BV2 Ia; M : по b лемме 2(b) T Vd fk, Ia последовательность Коши в R, поэтому она ограничена и сходится, а в силу (9) для T Vd(·, ·) находим, что b b T Vd f, Ia lim T Vd fk, Ia <.

k Пусть (N, ) метрическое пространство и (M, d, +) метрическая полугруппа (или абстрактный выпуклый конус). Как обычно, оператор T : N M называем липшицевым, если конечна его (наименьшая) константа Липшица:

L(T ) = sup{d(T u, T v)/(u, v) | u, v N, u = v}, а множество всех таких операторов обозначаем через Lip(N; M). Это множество замкнуто относительно поточечной операции сложения (умножения на число R+), ибо L(T + S) L(T ) + L(S) (L(T ) = L(T )) для T, S Lip(N; M) в силу (2). Для фиксированного u0 N инвариантная относительно сдвигов метрика dL на Lip(N; M) определяется правилом (см., например, [16]) dL(T, S) = d(T u0, Su0) + d (T, S), T, S Lip(N; M), (17) где d (T, S) = sup{d(T u + Sv, Su + T v)/(u, v) | u, v N, u = v}.

В следующей лемме даны свойства инвариантной относительно сдвигов полуметрики d.

Абстрактные операторы суперпозиции Лемма 4. Для T, S Lip(N; M) имеют место соотношения:

(a) |d(T u, Su) - d(T v, Sv)| d(T u + Sv, Su + T v) d (T, S)(u, v) для u, v N;

(b) |L(T ) - L(S)| d (T, S) L(T ) + L(S);

(c) если {Tk, Sk} Lip(N; M), d(Tku, T u) 0 и d(Sku, Su) 0 при k для всех u N, то d (T, S) lim inf d (Tk, Sk).

k Таким образом, (Lip(N; M), dL, +) метрическая полугруппа (абстрактный выпуклый конус), являющаяся полной, если метрическая полугруппа (X, d, +) полная.

Пусть (N,, +) и (M, d, +) две метрические полугруппы. Оператор T :

N M называется аддитивным, если он удовлетворяет уравнению Коши:

T (u+v) = T u+T v для всех u, v N. Обозначим через L(N; M) множество всех липшицевых аддитивных операторов из N в M. Если дополнительно N и M содержат нули (обозначаемые одним символом 0) и T L(N; M), то T (0) = 0, ибо T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0) и d(0, T (0)) = d(T (0), T (0) + T (0)) = 0. В этом случае dL = d (см. (17) при u0 = 0) является метрикой на L(N; M) и справедливы равенства L(T ) = dL(T, 0) = |T |d.

L Если (N,, +, ·) и (M, d, +, ·) два абстрактных выпуклых конуса, то всякий аддитивный непрерывный оператор T : N M для всех R+ и u N обладает также свойством T (u) = T u. Действительно, пусть {k} есть последовательность положительных рациональных чисел, сходящаяся к при k.

Из аддитивности T вытекает, что T (ku) = kT u, а из непрерывности T что d T (u), T (ku)) 0 при k. В силу (4) d(T (ku), T u) = d(kT u, T u) = |k - |d(T u, 0), а потому d(T (u), T u) d(T (u), T (ku)) + d(T (ku), T u) 0 при k.

§ 3. Липшицевы операторы суперпозиции. Необходимое условие Центральным результатом этого раздела является теорема 1, дающая необходимое условие липшицевости оператора суперпозиции H который действу, b ет между абстрактными выпуклыми конусами BV2 Ia; M. Для его формулировки нам потребуется понятие левой-левой регуляризации отображения из b BV2 Ia; M и две вспомогательные леммы (леммы 5 и 6).

Если (M, d, +) полная метрическая полугруппа, то для отображения f b b BV2 Ia; M определим его левую-левую регуляризацию f- : Ia M правилом [25] lim f(y1, y2), если a1 < x1 b1 и a2 < x2 b2, (y1,y2)(x1-0,x2-0) lim f(y1, y2), если a1 < x1 b1 и x2 = a2, (y1,y2)(x1-0,a2+0) f-(x1, x2) = lim f(y1, y2), если x1 = a1 и a2 < x2 b2, (y1,y2)(a1+0,x2-0) lim f(y1, y2), если x1 = a1 и x2 = a2.

(y1,y2)(a1+0,a2+0) Следует отметить, что условие (y1, y2) (x1 - 0, x2 - 0) (короткая запись:

b y x - 0) понимается как (y1, y2) Ia, y1 < x1, y2 < x2 и (y1, y2) (x1, x2) в 708 В. В. Чистяков R2, и аналогично для других трех пределов, а сами пределы вычисляются в метрическом пространстве M. Существование всех этих пределов будет доказано ниже в лемме 5.

b Отображение f : Ia M называется непрерывным слева-слева, если lim f(y1, y2) = f(x1, x2) для всех x1 (a1, b1] и x2 (a2, b2].

(y1,y2)(x1-0,x2-0) b b Обозначим через BV- Ia; M подпространство в BV2 Ia; M тех отображений, которые непрерывны слева-слева на (a1, b1] (a2, b2].

b Лемма 5. Если (M, d, +) полная метрическая полугруппа и f BV2 Ia;

b M, то f- BV- Ia; M, причем b b b b V2 f-, Ia V2 f, Ia и T Vd f-, Ia 3T Vd f, Ia.

Доказательство. 1. Покажем, что отображение f- определено корректно. Используя свойство (13), из [43, § III.5.3] получаем существование левой- b левой регуляризации f : Ia R для функции f. Установим существование предела f-(x) M, например, в точке x = (x1, x2), где xi (ai, bi], i = 1, b (оставшиеся три возможности рассматриваются аналогично). Пусть y, y Ia и y < x, y < x. Если y y или y y, то в силу (12) - d(f(y ), f(y )) |f (y ) - f (y )| |f (x) - f (x)| = 0 при y, y x.

Если же y1 < y1 и y2 < y2, то, снова пользуясь (12), получим d(f(y ), f(y )) d(f(y1, y2), f(y1, y2 )) + d(f(y1, y2 ), f(y1, y2 )) f (y1, y2 ) - f (y1, y2) + f (y1, y2 ) - f (y1, y2 ) - - - f (x) - f (x) + f (x) - f (x) = 0 при y, y x.

Подобным же образом разбирается случай, когда y1 < y1 и y2 < y2. Таким образом, d(f(y ), f(y )) 0 при y, y x, и остается привлечь критерий Коши существования предела f(y) при y x - 0 в полном пространстве M.

b 2. Покажем, что f- непрерывно слева во всех точках x Ia, a < x b.

В силу [43, § III.5.4] все точки разрыва вполне монотонной функции f лежат на не более чем счетном множестве линий, параллельных координатным осям.

Тогда из оценки (12) вытекает, что этим же свойством обладают точки разрыва b отображения f. Поэтому найдется последовательность {yk} Ia точек непрерывности f таких, что yk < x для всех k N и yk x в R2 при k. Отсюда следует, что lim f-(y) = lim f-(yk) = lim f(yk) = lim f(y) = f-(x) в M.

yx-0 k k yx- b 3. Докажем, что f- лежит в BV2 Ia; M. Пусть a1 = t0 < t1 < · · · < tm-1 < tm = b1, a2 = s0 < s1 < · · · < sn-1 < sn = b2 и > 0 задано. По определению f- существуют точки t (ti-1, ti), i = 1,..., m, s (sj-1, sj), j = 1,..., n, i j t (a1, t ) и s (a2, s ) такие, что 0 1 0 d(f-(ti, sj), f(t, s )) /(4mn), i = 0, 1,..., m, j = 0, 1,..., n.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.