WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Сибирский математический журнал Май июнь, 2005. Том 46, № 3 УДК 517.98 АБСТРАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СУПЕРПОЗИЦИИ НА ОТОБРАЖЕНИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ ДВУХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. I В. В. Чистяков b Аннотация: Определяется и изучается метрическая полугруппа BV2 Ia; M отображений двух вещественных переменных ограниченной полной вариации в смысb ле Витали, Харди и Краузе на прямоугольнике Ia со значениями в метрической полугруппе или абстрактном выпуклом конусе M. Приводится полное описание непрерывных по Липшицу операторов суперпозиции Немыцкого, действующих из b b BV2 Ia; M в такую же полугруппу BV2 Ia; N, и, как следствие, характеризуются многозначные операторы суперпозиции. Устанавливается связь отображений b из BV2 Ia; M с отображениями ограниченной повторной вариации и исследуется повторный оператор суперпозиции на отображениях ограниченной повторной вариации. Результаты настоящей работы развивают и обобщают недавние результаты Матковского и Мища (1984 г.), Завадзкой (1990 г.) и автора (2002, 2003 гг.) на случай (многозначных) операторов суперпозиции на отображениях двух вещественных переменных.

Ключевые слова: отображения двух переменных, полная вариация, метрическая полугруппа, оператор суперпозиции Немыцкого, многозначный оператор, свойство типа банаховости алгебры, условие Липшица.

§ 1. Введение Пусть I, M и N некоторые непустые множества. Обозначим через MI семейство всех отображений, действующих из I в M. Для заданного отображения h : I N M оператор H : NI MI, определенный правилом:

(H g)(x) = h(x, g(x)) для x I и g NI, называется оператором суперпозиции (Немыцкого) с генератором h.

Оператор суперпозиции является классическим простейшим нелинейным оператором, действующим между функциональными пространствами, и исследованию его свойств посвящена обширная литература. Этот оператор достаточно хорошо изучен в классах измеримых и непрерывных функций, идеальных пространствах, пространствах Лебега, Орлича, Г ельдера, Соболева (см. работы [1–6] и ссылки в них). Как выясняется, хорошие свойства генератора h не обязательно переносятся на оператор H. Таково, например, поведение оператора суперпозиции в пространствах Лебега: гладкость и даже аналитичность генератора еще не означают гладкость соответствующего оператора суперпозиции (эти и другие эффекты отражены в [4]).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 03–01–00473).

© 2005 Чистяков В. В.

Абстрактные операторы суперпозиции Хотя действие оператора суперпозиции в большинстве классических функциональных пространств полностью описано, тем не менее о нем мало что известно в пространствах BV функций ограниченной вариации даже одной действительной переменной на отрезке I = [a, b] R при N = M = R [4, § 6.5; 7].

В этом случае более подробно изучен важный класс операторов суперпозиции, удовлетворяющих условию Липшица, и однозначных [8], и многозначных ([9], когда M есть семейство компактных выпуклых подмножеств нормированного пространства). В случае одной переменной липшицевы операторы суперпозиции в классах функций и отображений ограниченной обобщенной вариации и классах липшицевых функций и отображений охарактеризованы в работах [10– 23]. Для вещественных функций ограниченной вариации двух переменных (в смысле Витали, Харди и Краузе) липшицевы операторы суперпозиции полностью описаны в [24, 25].

Первый результат о характеризации липшицевых операторов суперпозиции принадлежит Матковскому [10]. Пусть I = [a, b], M = N = R и B(I) RI некоторое банахово функциональное пространство с нормой ·. Нас интересуют такие условия на генератор h : I R R, при которых соответствующий ему оператор суперпозиции H : B(I) B(I) является липшицевым:

существует постоянная L > 0 такая, что H g1 - H g2 L g1 - g2 для всех g1, g2 B(I). Напомним, что (при L < 1) такой оператор H тесно связан с решением g B(I) функционального уравнения H g = g при помощи теоремы Банаха о сжимающих отображениях. В работе [10] показано, что если B(I) = Lip(I) есть пространство липшицевых функций на I с обычной липшицевой нормой, то H удовлетворяет условию Липшица тогда и только тогда, когда h(x, u) = f(x)u + h0(x) для всех x I и u R, где f и h0 некоторые функции из Lip(I). Заметим, что такого рода представление для генератора h не имеет места в пространстве B(I) = C(I) непрерывных на I функций с обычной sup-нормой и в пространстве B(I) = Lp(I) суммируемых по Лебегу со степенью p 1 функций на I со стандартной нормой (например, h(x, u) = cos u, x I, u R).

Этот результат Матковского можно интерпретировать двояко. С одной стороны, он показывает, что множество липшицевых операторов на пространстве Lip(I) весьма бедно (генераторы h таких операторов необходимо линейны по второй переменной). С другой стороны, упомянутое выше функциональное уравнение H g = g нельзя решить в пространстве Lip(I) при помощи теоремы Банаха, если генератор h нелинейно зависит от второго аргумента u R (и следует привлечь более мощную теорему о неподвижной точке, например теорему Шаудера и т. п., см. [26]). Практически такая же ситуация имеет место и для пространства B(I) = BV(I) функций на I ограниченной вариации по Жордану (см. [8] и замечание 6 в конце § 3).

Целью настоящей работы является исчерпывающее описание абстрактных липшицевых операторов суперпозиции Немыцкого, действующих в пространствах отображений ограниченной вариации нескольких вещественных переменных со значениями в метрических полугруппах и абстрактных выпуклых конусах, а также, как следствие, описание генераторов многозначных операторов суперпозиции (в том или ином контексте отображения ограниченной вариации со значениями в метрических пространствах изучались в работах [9; 14; 23; 27, гл. 4; 28] в случае одной переменной и в [22, 29–31] в случае нескольких переменных). В этой работе рассматриваются лишь отображения ограниченной вариа700 В. В. Чистяков ции двух переменных, введенные в [22, 31], поскольку принципиальное различие с одномерным случаем видно более явно. При этом наши результаты расширяют результаты работ [24, 25] и [32, § 8.3]; в краткой форме они опубликованы в [33] и докладывались в [34]. Значительно более громоздкий общий случай отображений BV произвольного конечного числа переменных и операторов суперпозиции на них будет опубликован в отдельной работе.

Настоящая работа состоит из пяти параграфов и разбита на две части. К первой части относятся § 1–3. В § 2 вводится и изучается пространство отображений ограниченной вариации типа Витали, Харди и Краузе со значениями в метрической полугруппе (или абстрактном выпуклом конусе) и показывается, что оно само образует метрическую полугруппу (или абстрактный выпуклый конус). В § 3 устанавливается необходимое условие липшицевости оператора суперпозиции (теорема 1), которое является двумерным аналогом условия из работы [8], при этом наши результаты являются новыми и для операторов суперпозиции, действующих на отображения ограниченной вариации одной переменной (см. замечание 6 в конце этой части). Ко второй части относятся § 4, 5. В § 4 приводится достаточное условие (теоремы 2 и 3), которое обобщает условие типа банаховости алгебры из [25]. В последнем § 5 предлагается другое описание пространства отображений ограниченной вариации двух переменных и исследуется повторный оператор суперпозиции Немыцкого на отображениях ограниченной повторной вариации (теорема 4).

Отметим, что наши результаты, вообще говоря, не имеют место в более широком пространстве BV из работы [30], поскольку оно не обладает свойством типа банаховости алгебры (ср. с теоремой 2 из части II). Естественность же рассмотрения нашего пространства отображений BV состоит в том, что оно существенно связано с интегральным представлением линейных непрерывных функционалов на пространстве непрерывных функций на прямоугольнике [35, гл. 2].

Автор искренне признателен А. А. Толстоногову (Иркутск, Россия) за заинтересованное обсуждение результатов этой работы и указание на ссылку [36] и W. Smajdor (Katowice, Poland) за плодотворный обмен мнениями во время моего визита в г. Катовице в апреле 2000 г.

§ 2. Полугруппы и конусы отображений Определение 1. Метрической полугруппой [22] называется тройка (M, d, +), где (M, d) метрическое пространство с метрикой d, (M, +) аддитивная коммутативная полугруппа с операцией сложения + и d инвариантна относительно сдвигов: d(u + w, v + w) = d(u, v) для всех u, v, w M. Метрическая полугруппа (M, d, +) называется полной, если (M, d) полное метрическое пространство. Если M содержит элемент нуль 0 M (так что u + 0 = 0 + u = u для всех u M), то для u M полагаем |u|d = d(u, 0).

Для любых элементов u, v,, v M метрической полугруппы (M, d, +) име ем d(u, v) d(u +, v + v) + d(, v), (1) d(u +, v + v) d(u, v) + d(, v). (2) Из (2) вытекает, что если последовательности {uk} = {uk}kN, {vk}, {k} и { vk} элементов M сходятся соответственно к элементам u, v, и v из M при k, то lim d(uk + k, vk + vk) = d(u +, v + v) (3) k Абстрактные операторы суперпозиции и, в частности, операция сложения (u, v) u + v является непрерывным отображением из M M в M.

Определение 2. Четверку (M, d, +, ·) называют абстрактным выпуклым конусом, если (M, d, +) метрическая полугруппа с нулем 0 M и операция · :

R+M M умножения элементов M на неотрицательные числа, действующая по правилу (, u) u, обладает для всех u, v M и, µ R+ свойствами:

(u + v) = u + v, ( + µ)u = u + µu, (µu) = (µ)u, 1 · u = u и d(u, v) = d(u, v). Если (M, d) полно, то такой конус называется полным, а для u M, как и в определении 1, полагаем |u|d = d(u, 0).

Отметим, что в абстрактном выпуклом конусе (M, d, +, ·) имеет место равенство d(u + µv, v + µu) = | - µ|d(u, v),, µ R+, u, v M. (4) Следовательно, d(u, µv) d(u, v)+|-µ|·|v|d, а потому операция умножения на неотрицательные числа в M непрерывна.

Простейшим примером метрической полугруппы и абстрактного выпуклого конуса служит любое нормированное линейное пространство (Y, | · |) с индуцированной метрикой d(u, v) = |u - v|, u, v Y, и операциями + и · из Y. Если K Y есть выпуклый конус (т. е. u + v, u K для всех u, v K и 0), то (K, d, +, ·) есть абстрактный выпуклый конус, который будет полным в том случае, когда Y есть банахово пространство и K замкнут в Y.

Пусть (Y, | · |) есть вещественное нормированное линейное пространство.

Обозначим через cbc(Y ) семейство всех непустых замкнутых ограниченных выпуклых подмножеств Y, наделенное хаусдорфовой метрикой D, порожденной нормой в Y :

D(P, Q) = max{sup inf |p - q|, sup inf |p - q|}, P, Q cbc(Y ).

qQ pP pP qQ Для P, Q cbc(Y ) положим P + Q = {p + q | p P, q Q}, P = {p | p P }, R+, и P + Q = cl(P + Q), где cl означает замыкание в Y. Тогда в cbc(Y ) имеют место равенства [36, 37]: P + Q = cl(cl P + cl Q), (P + Q) = P + Q, (+µ)P = P +µP, (µP ) = (µ)P и D(P, Q) = D(P, Q) для всех, µ R+.

Кроме того, поскольку (см. [38, лемма 3; 39, лемма 2.2]) D(P + R, Q + R) = D(P + R, Q + R) = D(P, Q), P, Q, R cbc(Y ), то (cbc(Y ), D, +, ·) является абстрактным выпуклым конусом; этот конус является полным, если Y банахово пространство (что вытекает из свойств метрики D, см., например, [40, теоремы II-9 и II-14]). Заметим, что в силу сказанного ранее непрерывны следующие два многозначных отображения: операции +-сложения в cbc(Y ) и умножения на числа из R+. Другие необходимые для наших целей примеры метрических полугрупп и абстрактных выпуклых конусов будут приведены ниже.

Пусть (M, d) метрическое пространство и [a, b] R отрезок. Напомним, что вариация (по Жордану) отображения : [a, b] M есть величина (см., например, [27, гл. 4, § 9; 28]) m b Va () = sup d((ti), (ti-1)), i=702 В. В. Чистяков где супремум берется по всем разбиениям = {ti}m отрезка [a, b] (т. е. m N и i=a = t0 < t1 < · · · < tm-1 < tm = b). Если эта величина конечна, говорим, что есть отображение ограниченной вариации на [a, b] и пишем BV1([a, b]; M).

В том случае, когда (M, d, +) есть (полная) метрическая полугруппа (или абстрактный выпуклый конус), на множестве BV1([a, b]; M) можно ввести (см.

[9, 20, 23]) структуру (полной) метрической полугруппы (или абстрактного выпуклого конуса), определив поточечную операцию сложения (и умножения на неотрицательные числа) и инвариантную относительно сдвигов метрику d1 правилом b d1(, ) = d (a), (a)) + Wa(, ),, BV1([a, b]; M), b где полуметрика Wa(, ), называемая совместной вариацией и, есть m b Wa(, ) = sup d((ti) + (ti-1), (ti) + (ti-1)). (5) i=b Корректность этого следует из свойств величины Wa(, ) (ср. [32, леммы 2.и 2.15]).

Лемма 1. Пусть, BV1([a, b]; M). Тогда b (a) |d((t), (t)) - d((s), (s))| d((t) + (s), (t) + (s)) Wa(, ), t, s [a, b];

(b) (t)) d1(, ) для всех t [a, b];

d((t), b b b b b Va (c) () - Va () Wa(, ) Va () + Va ();

t b (d) Wa(, ) + Wtb(, ) = Wa(, ), если t [a, b];

(e) если последовательности {k} и {k} из BV1([a, b]; M) сходятся поточечно на [a, b] к отображениям и соответственно, то b b Wa(, ) lim inf Wa(k, k).

k Перейдем к рассмотрению отображений ограниченной полной вариации двух вещественных переменных.

Координатное представление точек x, y R2 будем записывать в виде x = (x1, x2), y = (y1, y2) и считать, что x y или x < y (в R2), если эти неравенства b b1,bвыполнены покоординатно. Пусть a = (a1, a2) < b = (b1, b2) в R2 и Ia = Ia,a2 = [a1, b1][a2, b2] есть основной прямоугольник на плоскости (область определения b большинства отображений). Для отображения f : Ia M и точек x1 [a1, b1] и x2 [a2, b2] определяем два отображения одной переменной f(·, x2) : [a1, b1] M и f(x1, ·) : [a2, b2] M правилами: f(·, x2)(t) = f(t, x2) для t [a1, b1] и f(x1, ·)(s) = f(x1, s) для s [a2, b2].

b Пусть (M, d, +) метрическая полугруппа и Ia основной прямоугольник.

b Определение 3. Смешанная разность (Витали) отображения f : Ia M y b b на прямоугольнике Ix = [x1, y1] [x2, y2] Ia, где x, y Ia, x y, есть [22, 31] y y1,ymd f, Ix = md f, Ix,x2 = d(f(x1, x2) + f(y1, y2), f(x1, y2) + f(y1, x2)).

b Назовем пару (, ) (сеточным) разбиением Ia, если найдутся такие m, n N, что = {ti}m разбиение [a1, b1] (см. выше) и = {sj}n разбиение i=0 j=[a2, b2]. Тогда на прямоугольниках, составляющих это разбиение, ti,sj Iij = It,sj-1 = [ti-1, ti] [sj-1, sj], i = 1,..., m, j = 1,..., n, (6) i-Абстрактные операторы суперпозиции смешанная разность md(f, Iij) вычисляется согласно равенству ti,sj md f, It,sj-1 = d(f(ti-1, sj-1) + f(ti, sj), f(ti-1, sj) + f(ti, sj-1)).

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.