WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

j je Из неравенств (29) и (30) следует, что при любом x U и любом j, 0 < j < (j en), выполняется bj j qj Ae C5 p,a,;Q [j]1, (31) h q,U (x) jen 622 А. М. Наджафов где b = (b1,..., bn), bj любое число, удовлетворяющее неравенствам (24), а константа C5 не зависит от,, x.

Последнее неравенство равносильно неравенству Ae C p,a,;Q, h q,b,,U и, следовательно, пpи 1 1 2 имеем Ae C p,a,, ;Q.

h q,b,,2;U Теорема 1. Пусть открытое множество G Rn удовлетворяет условию гибкого рога, 1 p q ; = c, где = max ljj; = (1,..., n), j c 1jn l целые (j en); 1 1 2 ; j > 0 (j en); f Sp,a,, W (G).

Тогда l l lD : Sp,a,, W (G) Lq,b,, (G), D : Sp,a,, W (G) Sq,b,, W (G) 1 1 и справедливы неравенства e e,j Df q,G C1 hs Dl f p,a,, ;G, (32) j een jen Df q,b,, ;G C2 f Sl (p q < ), (33) 2 W (G) p,a,,где j при j e, se,j = 1 -j - (1 - jaj) - при j e.

pj qj Если j - lj > 0 (j en), то se,j-lj e e,j Df S W (G) C3 hs hj Dl f p,a,, ;G, (34) lj q een je je Df S W (G) C4 f Sl (p q < ), (35) lW (G) p,a,,q,b,,причем 0 < h min(1, h0), C1–C4 константы, не зависящие от f, а C1 и Cне зависят также от h.

В частности, если j,0 > 0 (j en), то Df непрерывна на G и s0 e e,j sup |Df| C1 hj Dl f p,a,, ;G, xG een jen где j,0 при j e, s0 = e,j -j - (1 - jaj) при j e.

pj Доказательство. Поскольку = c, c > 0, мы можем считать, что f l Sp,a,, W (G), и всюду в неравенствах (32)–(35) и в выражениях для j, se,j пpи j en заменить на. Именно такие неравенства мы и будем доказывать (чем больше, тем больше ).

В условиях теоремы существует обобщенная производная Df. Действительно, пусть j > 0 и поэтому lj - j > 0 (j en); так как p q, 0 a 1 и l l 1, f Sp,a,, W (G) SpW (G), то на G существует Df, принадлежащая Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева Морри Lp(G). Тогда для почти каждой точки x G справедливо интегральное тождество (9) с теми же ядрами. Отсюда на основании неравенства Минковского имеем Ae Df q,G C.

h q,G een e () С помощью неравенства (12) при U = G, = Me, = Dl f, получим неpавенство (32).

Для доказательства неравенства (34) в тождестве (9) вместо возьмем (+l1) e j 1e + lj. Снова с учетом неравенства (12) при U = G, = Me, = Dl f, получим 1 -j-(1-jaj)( - ) 1e pj qj j-lj e D+l f q,G C1 hj hj Dl f p,a,, ;G, een je je следовательно, se,j-lj e e,j Df S W (G) C2 hs hj Dl f p,a,, ;G.

lj q een je je Аналогичным образом на основании неравенств (22) и (23) устанавливаются оценки (33) и (35).

Пусть теперь j,0 > 0 (j en). Покажем, что Df непрерывна на G.

На основании тождества (9) с учетом неравенства (32) при q =, j = j,0 > (j en) имеем e j, Ae Df - Dfh,G C h Dl f p,a,, ;G, h j,G je een, een, e = e = lim Df - Dfh,G = 0.

hj0, je Так как Dfh непрерывна на G, сходимость в L(G) совпадает в данном случае с равномерной сходимостью и, следовательно, Df непрерывна на G.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть область G, векторы p, q,, и параметры 1, 2 удоl влетворяют условиям теоремы 1 и f Sp,a,, W (G).

Если j > 0 (j en), то производная Df удовлетворяет на G в метрике Lq условию Г с показателем j, точнее ельдера j (t, G)Df q,G C f Sl |tj|, (36) W (G) p,a,, jen где j (j en) любое число, удовлетворяющее неравенствам:

0 j 1, если j > 1 пpи j e, 1 0 j < 1, если j = 1 при j e и 0 j 1 при j e, (37) 0 j j, если j < 1 пpи j e.

Если j,0 > 0 (j en), то j,sup | (t, G)Df| C f Sl |tj|, (38) W (G) p,a,,xG jen 624 А. М. Наджафов 1 где j,0 удовлетворяют тем же условиям, что j, но с заменой j на j,0.

Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 1, мы можем в дальнейшем заменить вектор на. Пусть t n-мерный вектор. Согласно лем ме 8.6 в [3, с. 102] существует область G G ( = (1,..., n), j = jr(x), j > 0, r(x) = dist(x, G), x G).

Предположим, что |tj| < j (j en). Тогда для любых x G отрезок, соединяющий точки x и x + t, содержится в G. Для всех точек этого отрезка справедливо тождество (9) с одними и теми же ядрами. После несложных преобразований имеем |te| |te | 1 n dvj j | (t, G)Df| C1 h-1- · · · j 2+j-lj vj een je je 0, e () Me y (ve + he x) (ve + he x),,, | (t, G)Dl f(x + y)| dy ve + he ve + he Rn he he 1 n dvj j + C2 h-2- |tj| · · · j 3+j-lj vj een je jen |te| |te | je 1 n y (ve + he, x) (+1) Me,, (ve + he, x) ve + he ve + he Rn e |Dl f(x + y + t1u1 + · · · + tnun)| dudy = C1 Ae(x, t) + C2 Ae (x, t), (39) t t,h een een где 0 < h min(1, h0). Считаем также, что |tj| < hj (j en) и, следовательно, |tj| < min(j, hj) (j en). Если x G\G, то по определению (t, G)Df(x) = 0.

На основании (39) (t, G)Df q,G = (t, G)Df q,G C1 Ae(·, t) q,G + C2 Ae (·, t) q,G. (40) t th een een С помощью неравенства (12) при U = G, j = |tj| (j en), имеем e j Ae C1 Dl f p,a,,;G |tj|, (41) t q,G je а согласно неравенству (13) при U = G, j = |tj| (j en), e j- Ae C2 Dl f p,a,,;G |tj| |tj| th q,G je je e e j j C3 Dl f p,a,,;G |tj| |tj| = C3 Dl f p,a,,;G |tj| |tj|, (42) je je je je Tеоремы вложения в пространствах типа Cоболева Морри 1 где j > j (j en) и j число, удовлетворяющее неравенствам (37).

Из неравенств (40)–(42) вытекает, что j (t, G)Df q,G C f Sl |tj|.

W (G) p,a,, je Предположим теперь, что |tj| min(j, hj) для всех j en. Тогда j (t, G)Df q,G 2 Df q,G C(, h) Df q,G |tj|.

jen Оценивая Df q,G с помощью неравенства (32), и в этом случае получаем требуемое неравенство.

Теорема доказана.

Статья обсуждена и одобpена на заседаниях семинаpа отдела математического анализа Института математики и механики НАН Азербайджана под pуководством академика А. Д. Гаджиева.

Автоp также выpажает глубокую благодаpность пpофессорам А. Д. Джабpаилову и В. С. Гулиеву за ценные замечания по работе.

ЛИТЕРАТУРА 1. Никольский С. М. Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей кратному условию Г // Сиб. мат. журн. 1963. Т. 4, № 6. С. 1342–1364.

ельдера.

2. Джабраилов А. Д. Семейства пространств функций, смешанные производные которых удовлетворяют кратному интегральному условию Г // Тр. МИАН СССР. 1972.

ельдера Т. 117. С. 139–158.

3. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

4. Наджафов А. М. Пространства с параметрами функций со смешанной производной. Деп.

АзНИИНТИ. 1987. N 680. 30 с.

Статья поступила 30 марта 2005 г.

Наджафов Алик Малик оглы Азербайджанский архитектурно-строительный университет, кафедра высшей математики, ул. А. Султанова 5, Баку AZ 1073, Азербайджан nadjafov@rambler.ru

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.