WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Будем продолжать этот процесс, т. е. заменять интегралы по областям Dq...qp суммами интегралов по их составляющим, а затем представлять подынтегральные выражения интегралов по областям Dq...qpqp+1 в дивергентном виде (что возможно в силу тождеств (4)). При этом, как указано выше, будут появляться одинаковые интегралы. Например, при фиксированном множестве {qi | 1 i k} будет k! интегралов от одного выражения по областям Dh...hk, где (h1,..., hk) всевозможные перестановки (q1,..., qk). С учетом знаков все эти k! интегралов равны между собой.

Итак, слагаемые в Bq q2 при lq = lq = · · · = lq = 0 тождественно равны 1 3 4 n нулю на Dq q2 в силу (4), поэтому Bq q2 на Dq q2 можно записать в дивергентном 1 1 виде:

Bq q2i Bq q2 =.

xi iQ\{q1,q2} Тогда I2 = 2! (q1,..., qn) Bq q2dxq · · · dxq 1 3 n Q2,n Dq1q = 3! (q1,..., qn) Bq q2q3dxq · · · dxq 1 4 n Q3,n Dq1q2q + 2! (q1,..., qn) Bq q2q3dxq · · · dxq.

1 4 n Q2,2 n Sq1qДальнейший ход преобразований ясен из предыдущего. Для завершения процесса получения окончательной формулы надо выяснить, каким будет последний шаг. Ясно, что последним шагом надо взять одномерные интегралы. Очевидно, In-2 = (n - 1)! (q1,..., qn) Bq...qn-1dxq 1 n Qn-1,n Dq1...qn- + (n - 2)! (q1,..., qn) Bq...qn-1dxq, 1 n Qn-2,2 n Sq1...qn- Bq...qn In-1 = (n - 1)! (q1,..., qn) dxq n xq n Qn-1,n Dq1...qn- = (n - 1)!nB1...n(M) - (n - 1)! B1...n Sq q2...qn-Qn-1,n n pi i== (-1) (Ap p2...pnu )(M) xm1-p1-1xm2-p2-1...xmn-pn-n 1 pi

xm1-p1-1xm2-p2-1...xmn-pn-1 q2...qn-n 1 n Qn-1,1 pi

Окончательно получаем u (M) xm1-1xm2-1...xmn-n 1 n pi i== (-1) (Ap p2...pnu ) Sq xm1-p1-1xm2-p2-1...xmn-pn-1 q2...qn-n 1 n Qn-1,1 pi

Пусть для определенности 1 S23...n = x1, 2,..., n, S13...n = 1, x1, 3,..., n, 1..., S12...n-1 = 1, 2,..., n-1, x1, x1 < i, i = 1, n.

n i Дополним область D до области H = x1 < xi < i, i = 1, n. Доопределим i функцию u(x1,..., xn), положив u(x1,..., xn) 0 в H \D. Считая теперь точку M переменной точкой области H, проинтегрируем (23) (m1 - 1) раз по первой переменной в пределах от x1 до 1, (m2 - 1) раз по второй переменной от x1 до 2 и т. д. Воспользовавшись известными из (15) значениями функции u и ее производных на S, получим решение задачи Коши.

Из приведенных рассуждений следует Теорема 2. Пусть S0 поверхность класса Cm-1, aq q2...qn C(q,q2,...,qn)(D0), f C(D0), k Cm-k(S0).

Тогда если решение задачи Коши для уравнения (1) с граничными условиями (15) существует, то оно единственно и его можно вычислить, используя формулу (23).

Метод Римана для уравнений со старшей частной производной Рассмотрим применение предложенной схемы построения решения задачи Коши на примере уравнения L(u) uxxy + a20uxx + a11uxy + a10ux + a01uy + a00u = f.

Тождество (6) принимает вид RL(u) (Rux)xy - (A10u)xy - (A01ux)x + (A11u)x + (A20u)y, (24) A10 = Rx - a11R, A01 = Ry - a20R, A11 = Rxy - (a20R)x - (a11R)y + a10R, A20 = Rxx - (a11R)x + a01R, где R зависит от (x, y,, ), а коэффициенты уравнения от (x, y). Запишем (24) в дивергентной форме B1 BRL(u) +, (25) x y 1 1 1 B1 = (Rux)y - (A10u)y - A01ux + A11u, B2 = (Rux)x - (A10u)x + A20u.

2 2 2 В нашем случае D0 треугольная область плоскости (x, y), ограниченная характеристиками x = x0, y = y0 и отрезком кривой S: y = (x), точка M имеет координаты (, ). Для определенности полагаем x0 > 0, y0 > 0, (x) < 0, y1 = (), = (x1).

Интегрируем (25) по области D:

Rfdxdy = B2|y=dx + B1|x=dy + B1dy - B2 dx.

D x1 ySУчитывая тождества (4), после очевидных преобразований получим частный случай формулы (22):

1 1 ux(, ) = Rux(x1,,, ) + Rux(, y1,, ) - A10u(x1,,, ) 2 2 - A10u(, y1,, ) - B1dy - B2 dx + Rf dxdy.

S1 D Другие примеры применения изложенного метода для уравнений в двумерном и трехмерном пространствах имеются в [14].

ЛИТЕРАТУРА 1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.

2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

3. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

4. Фаге М. К. Задача Коши для уравнения Бианки // Мат. сб. 1958. Т. 45, № 3. С. 281–322.

5. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, № 3. С. 547–552.

6. Жегалов В. И., Севастьянов В. А. Задача Гурса в четырехмерном пространстве // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 10. С. 1429–1430.

7. Севастьянов В. А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1997. № 5. С. 69–73.

8. Севастьянов В. А. Об одном случае задачи Коши // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 12. С. 1706–1707.

594 А. Н. Миронов 9. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1999. № 10. С. 73–76.

10. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Задача Гурса для одного трехмерного уравнения со старшей производной // Изв. вузов. Математика. 2001. № 11. С. 77–81.

11. Жегалов В. И., Миронов А. Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. Казань: Казанск. мат. об-во, 2001.

12. Жегалов В. И., Миронов А. Н. О задачах Коши для двух уравнений в частных производных // Изв. вузов. Математика. 2002. № 5. С. 23–30.

13. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном уравнении в частных производных четвертого порядка с тремя независимыми переменными // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 1.

С. 93–97.

14. Миронов А. Н. О методе Римана решения задачи Коши // Изв. вузов. Математика. 2005.

№ 2. С. 34–44.

15. Зорич В. А. Математический анализ. М.: Наука, 1984. Т. 2.

16. Зорич В. А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т. 1.

Статья поступила 17 июня 2004 г., окончательный вариант 17 апреля 2005 г.

Миронов Алексей Николаевич Елабужский гос. педагогический университет, ул. Казанская, 89, г. Елабуга 423600, Республика Татарстан lbmironova@yandex.ru

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.