WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Май июнь, 2006. Том 47, № 3 УДК 517.955 МЕТОД РИМАНА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ СО СТАРШЕЙ ЧАСТНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ В Rn А. Н. Миронов Аннотация: Предложен вариант метода Римана решения задачи Коши для линейного уравнения с переменными коэффициентами со старшей частной производной.

Ключевые слова: метод Римана, задача Коши.

Здесь предлагается вариант метода Римана решения задачи Коши для уравнения со старшей частной производной общего вида q1 L(u) aq q2...qn(x1, x2,..., xn)ux xq2 1...xqn n 1 2 0qimi, i=1,n = f(x1, x2,..., xn), am m2...mn 1, (1) 1 порядок уравнения (1) равен m = m1 + m2 + · · · + mn. Уравнение (1) можно переписать в виде (D + M)u = f(x1, x2,..., xn), 1 2 n где D = m/xl xl... xl, l1 + l2 + · · · + ln = m, M линейный дифферен1 2 n циальный оператор с переменными коэффициентами, содержащий лишь производные, получаемые из D отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования.

Метод Римана хорошо известен в теории уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными [1, с. 62–67; 2, с. 250–258; 3, с. 446–457].

Для других частных случаев (1) различные варианты метода Римана предлагались в работах [4–14].

1. Считаем, что коэффициенты (1) удовлетворяют включениям aq q2...qn 1 1 C(q,q2,...,qn), f C в замыкании рассматриваемой области E (областью всюду будем называть открытое связное множество). Принадлежность классу 1 C(q,q2,...,qn)(E) означает существование и непрерывность всех производных 1 2 1 n l +l2+···+ln/xl xl... xl, li = 0, qi, i = 1, n, на множестве E. Введем для 1 2 n (1) функцию Римана R = R(x1, x2,..., xn) как решение интегрального уравнения xq1 xq2 xqk n R(x1, x2,..., xn) + · · · Fq q2...qk(x1, x2,..., xn, q, q,..., q ) 1 1 2 k k=1 Qk,n q2 qk q1 R(x1, x2,..., xq, q, xq +1,..., xq, q, xq +1,..., xn) dq... dq dq = 1, 1-1 1 1 k-1 k k k 2 1 (2) © 2006 Миронов А. Н.

Метод Римана для уравнений со старшей частной производной где вторая сумма берется по множеству всех упорядоченных наборов индексов Qk,n = {(q1, q2,..., qk) | 1 q1 < q2 < · · · < qk n}, k mq1 -1 mq2 -1 mqk - (mqi -pqi ) i=Fq q2...qk(x1, x2,..., xn, q, q,..., q ) = · · · (-1) 1 1 2 k pq1 =0 pq2 =0 pqk = ap p2...pn(x1, x2,..., xq, q, xq +1,..., xq, q, xq +1,..., xn) 1 1-1 1 k-k k k qj (xq - q )m -pj-j j, (mq - pj - 1)! j j=причем если i = qj, то pi = 0. Здесь xi, i [i, i], i = 1, n. Пусть = [1, 1] [2, 2] · · · [n, n] E. Известно, что решение (2) существует и единственно в классе C( ) [11, с. 46]. Как обычно (см., например, [1, с. 63]), считаем R функцией как от переменных (x1, x2,..., xn), так и от параметров (1, 2,..., n), т. е. R = R(x1, x2,..., xn; 1, 2,..., n). Из (2) следует, что R(x1,..., xn; x1,..., xn) 1.

Рассмотрим конструкции Al l2...ln(x1, x2,..., xn; 1, 2,..., n) l1 l2 ln n si i== · · · (-1) (am R)xl1-s1, (3) 1-s1,m2-s2,...,mn-sn xl2-s2...xln-sn n 1 s1=0 s2=0 sn=0 li mi, i = 1, n.

Всего имеется (m1 +1)(m2 +1)... (mn +1) конструкций вида (3) (как и коэффициентов уравнения (1)), причем Am m2...mn = 0 сопряженное к (1) уравнение L(R) = 0, а A00...0 R.

Из уравнения (2) вытекают тождества Al l2...ln(x1, x2,..., xq, q, xq +1,..., xq, q, xq +1,..., xn; 1, 2,..., n) 1 1-1 1 k-k k (4) при lq mq,..., lq mq, lr = mr, r = qi, i = 1, k. Покажем это.

1 1-k k-Дифференцируем (2) l1 раз по x1, l2 раз по x2, и т. д., ln раз по xn, после чего полагаем xq = q, xq = q,..., xq = q, где lq mq, lq mq,..., 1 1 2 2 k k 1 1-2 2-lq mq, а lr = mr при r = qi, i = 1, k. Тогда k k-n m1-1 m2-1 mn- mi-pi i=v + · · · (-1) xl1 xl2...xln n 1 p1=m1-l1 p2=m2-l2 pn=mn-ln (ap p2...pnv)xl1+p1-m1 = 0. (5) xl2+p2-m2...xln+pn-mn n 1 Ясно, что (5) есть равенство Al l2...ln(x1, x2,..., xq, q, xq +1,..., xq, q, xq +1,..., xn; 1, 2,..., n) = 1 1-1 1 k-k k (достаточно положить s1 = m1 - p1, s2 = m2 - p2,..., sn = mn - pn).

2. Центральную роль в дальнейшем изложении играет тождество n pi i=RL(u) (-1) (Ap p2...pnu )xl1, xm1-l1-p1 xm2-l2-p2...xmn-ln-pn xl2...xln n n 1 2 1 pimi, pi< mi, 0li1,i=1,n (6) 586 А. Н. Миронов где pi, mi, li целые неотрицательные числа, справедливое для любой функции класса C(m,...,mn). В сумме (6) каждое слагаемое встречается лишь один раз и определяется конструкцией Ap p2...pn (точнее, набором (p1, p2,..., pn)). Формула (6) строится по следующему правилу. Возьмем набор (p1, p2,..., pn), затем определим набор (l1, l2,..., ln) так, чтобы p1 + l1 m1, p2 + l2 m2,..., pn + ln mn, при этом берутся наибольшие значения l1, l2,..., ln (т. е. li = 1, если pi < mi, li = 0, если pi = mi). Эти наборы (p1, p2,..., pn), (l1, l2,..., ln) однозначно определяют слагаемое из (6).

Чтобы доказать тождество (6), достаточно показать, что его правая часть после раскрытия скобок, приведения подобных и добавления и вычитания выражения Ra00...0u дает n mi+i=RL(u) + (-1) uL(R), (7) в результате из (6) получаем тождество, поскольку R является решением сопряженного уравнения (см. (4) при li = mi, i = 1, n). Для этого рассмотрим те слагаемые (6), в которых встречается коэффициент ar r2...rn. Если мы покажем, что из ar r2...rn после приведения подобных в (6) получим n (2mi-ri)+i=r1 rRar r2...rnux xr2 + (-1) (ar r2...rnR)x xr2 u, (8) 1...xrn 1...xrn n n 1 2 1 то докажем требуемое все слагаемые вида (8) и приведут к n mi+i=RL(u) + (-1) uL(R).

Коэффициент ar r2...rn встречается в конструкциях Ap p2...pn, в которых 1 m1 - p1 r1, m2 - p2 r2,..., mn - pn rn.

В каждой такой конструкции ar r2...rn встречается только один раз. Ввиду (3) s1 = m1 - r1, s2 = m2 - r2,..., sn = mn - rn, следовательно, в соответствующей конструкции Ap p2...pn коэффициент ar r2...rn 1 присутствует в слагаемом n (mi-ri) i=(-1) (ar r2...rnR)xp1+r1-m1. (9) xp2+r2-m2...xpn+rn-mn n 1 Все такие слагаемые одного знака (поскольку mi, ri фиксированные величины). Таким образом, суммируя все слагаемые (9) в правой части (6), получаем n (mi-ri+pi) i=(-1) ((ar r2...rnR)xp1+r1-mxp2+r2-m2...xpn+rn-mn n 1 mi-ripi, 0li1,i=1,n u )xl1. (10) xm1-l1-p1 xm2-l2-p2...xmn-ln-pn xl2...xln n n 1 2 1 Отметим, что сумма порядков всех производных по xi в каждом из слагаемых суммы (10) дает ri.

Для доказательства того, что из (10) вытекает (8), используем следующее утверждение.

Метод Римана для уравнений со старшей частной производной Теорема 1. Имеет место тождество n (mi-ri+pi) i=(-1) (v xp1+r1-m1 xp2+r2-m2...xpn+rn-mn n 1 mi-ripi, 0li1,i=1,n u )xlxm1-l1-p1 xm2-l2-p2...xmn-ln-pn xl2...xln n n 1 2 1 n (2mi-ri)+i=r1 r= vux xr2 + (-1) uvx xr2, (11)...xrn...xrn n n 1 2 1 где сумма в левой части строится по тому же правилу, что и сумма (6), n, ri, mi фиксированные целые неотрицательные числа, u, v функции класса C(r,r2,...,rn).

Доказательство проведем методом математической индукции. Базис индукции: при m1 = 1,..., mn = 1, r1 = 1, r2 = 0,..., rn = формула (11) представляет собой очевидное равенство (vu)x = vx u + vux.

1 1 Пусть при фиксированных mi, ri, i = 1, n, тождество (11) выполняется. Добавим еще одно дифференцирование по переменной xn, т. е. от набора (r1, r2,..., rn-1, rn) перейдем к набору (r1, r2,..., rn-1, rn + 1). Имеем n (mi-ri+pi)-i=S = (-1) (v pn-1+rn-1-mn-xp1+r1-m1...xn-1 xpn+rn-mn+n mi-ripi,i=1,n-1, mn-rnpn+1,0lj u mn-1-ln-1-pn-1 )x ln-xm1-l1-p1...xn-1 xmn-ln-pn l1...xn-1 xln n n 1 n n (mi-ri)-1 pi i=1 i== (-1) (-1) ((vx )xp1+r1-mn xp2+r2-m2...xpn+rn-mn n 1 mi-ripi, i=1,n,0lj u )xlxm1-l1-p1 xm2-l2-p2...xmn-ln-pn xl2...xln n n 1 2 1 n n- (mi-ri)-1 pi+mn-rn-i=1 i=+ (-1) (-1) mi-ripi,i=1,n-1, mn-rn-1=pn,0lj (v pn-1+rn-1-mn-xp1+r1-m1 xp2+r2-m2...xn-1 u mn-1-ln-1-pn-1 )x xl2 ln-1. (12) xm1-l1-p1 xm2-l2-p2...xn-1 xrn l1...xn-1 xn n 1 2 1 В правой части (12) первая сумма содержит внутри скобок все производные v по xn, а вторая не содержит внутри скобок производных v по xn. Применяя предположение индукции к первой сумме, получаем n (2mi-ri)+i=rn-r1 rn--vx ux xr2 xrn - (-1) uv. (13) n...xn-1 n xr1 xr2...xn-1 xrn+n 1 2 1 588 А. Н. Миронов Вторая сумма дает (также используем предположение индукции) n n- (mi-ri)-1 pi+mn-rn-i=1 i=(-1) (-1) mi-ripi,i=1,n-1, mn-rn-1=pn,0lj (v pn-1+rn-1-mn-xp1+r1-m1 xp2+r2-m2...xn-1 u mn-1-ln-1-pn-1 )x xl2 ln-xm1-l1-p1 xm2-l2-p2...xn-1 xrn l1...xn-1 xn n 1 2 1 n- (2mi-ri)+i=rn rn-r1 rn-= (vux xr2 xrn + (-1) ux v )x...xn-1 n n xr1 xr2...xn-1 n 1 2 1 n ri i=rn-1 rn rn-r1 rn-+ (-1) (v ux )x = vx ux xr2 xrn + vux xr2 xrn+1.

n n xr1 xr2...xn-1 n...xn-1 n r1...xn-1 n 1 2 1 2 1 (14) Складывая (13) и (14), получаем, что (12) принимает вид n- (2mi-ri)+2mn-(rn+1)+i=r1 rn-1 rS = vux xr2 xrn+1 + (-1) uvx xr2.

...xn-1 n...xrn+n 1 2 1 Теорема доказана.

Чтобы убедиться в том, что (10) дает (8), достаточно положить в (11) v ar r2...rnR. Следовательно, формула (6) справедлива.

3. Общая схема дальнейших рассуждений аналогична приведенной в [11, с. 79–88]. В ориентированном системой координат (x1, x2,..., xn) пространстве Rn рассмотрим поверхность S класса Cm-1, заданную уравнениями x1 = x1(µ1, µ2,..., µn-1), x1 xn · · · µ1 µx2 = x2(µ1, µ2,..., µn-1),..................

rank = n - 1,......................... x1 xn · · · µn-1 µn- xn = xn(µ1, µ2,..., µn-1), (µ1, µ2,..., µn-1) G, где G область пространства Rn-1. Считаем, что S в каждой своей точке имеет касательную плоскость, не параллельную ни одной из координатных осей. Выберем точку P x0, x0,..., x0 так, чтобы плоскости 1 2 n x1 = x0, x2 = x0,..., xn = x0 вырезали из поверхности S ограниченный участок 1 2 n S0. Обозначим через D0 конечную область пространства Rn, ограниченную плоскостями x1 = x0, x2 = x0,..., xn = x0 и поверхностью S0. Считаем ориен1 2 n тацию области D0 положительной.

Регулярным в области D0 решением уравнения (1) назовем решение, непрерывное в D0 вместе со всеми входящими в это уравнение производными.

Задача Коши. Найти регулярное в области D0 решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям ku = k, k = 0, m - 1, (15) lk S k Cm-k(S0), а l заданное на S некасательное к этой поверхности поле направлений.

Проведем через точку M(1, 2,..., n) D0 плоскости x1 = 1, x2 = 2,..., xn = n. Получим область D D0, граница которой образована указанными Метод Римана для уравнений со старшей частной производной плоскостями и частью поверхности S0, которую обозначим через S1. Ясно, что для решения задачи Коши достаточно найти значение решения уравнения (1) в точке M. Это достигается путем интегрирования тождества (6) по области D с использованием общей формулы Стокса [15, с. 246] k Ai dx1... dxk xi i=D k = (-1)i-1Aidx1... dxi-1 dxi+1... dxk, (16) i=D где D граница D.

Рассмотрим совокупность ориентированных многообразий, обозначаемых символами S1, D и D с индексами, являющимися комбинациями из 1, 2,..., n - 1 различных цифр 1, 2,..., n (каждая из которых соответствует номеру переменной). При этом S1- и D-многообразия с индексами являются пересечениями соответственно S1 и D с соответствующими плоскостями, а Dмногообразия с индексами краями соответствующих D-многообразий [11, с. 80]. Например, S12 множество точек поверхности S1, лежащих в плоскостях x1 = 1 и x2 = 2. Ясно, что геометрически S1-многообразия содержатся в Dмногообразиях с теми же индексами, а D-многообразия в D-многообразиях с теми же индексами без последнего. Например, S2 часть D2, D312 часть D31. Ориентации D-многообразий считаем согласованными с ориентациями соответствующих D-многообразий. В результате будут определены все введенные ориентированные многообразия. Два из рассмотренных D-многообразий или S1-многообразий геометрически совпадают, если их индексы образованы одним и тем же неупорядоченным набором переменных. При этом если индексы одного из них получаются четной перестановкой индексов другого, то ориентации этих многообразий совпадают, а в случае нечетной перестановки ориентации противоположны.

Пусть поле направлений l задано вектором l(l1(µ1, µ2,..., µn-1),..., ln(µ1, µ2,..., µn-1)), l Cm-1(G), причем | | 1. Введем систему координат, связанную с поверхностью S:

l xi = xi(µ1, µ2,..., µn-1) + li(µ1, µ2,..., µn-1)µn, i = 1, n, µn R. (17) Поле направлений l по условию не касательно к S, следовательно, существует обратное преобразование координат µi = µi(x1, x2,..., xn) класса Cm-в окрестности поверхности S [16, с. 495].

Введем обозначения: Q = {1, 2,..., n}, Qk,r = {(q1, q2,..., qn) | {qj | 1 j n n} = {1, 2,..., n}, q1 < · · · < qk, qk+r < · · · < qn}, r = 1, 2, n pi i=(-1) Bq = (Ap...pnu m -pq1 -1 m -pq2 -lq2 mqn -pqn -lqn l )xlq2,..., 1 n xq1q1 xq2q2...xqn...xqqn q2 n lq 0lqi 1, i i=i=2,n,lq1 =1, prmr,r=1,n 590 А. Н. Миронов n pi i=(-1) Bq...qk = k n 0lqi 1, lq i j=1 i=j i=k+1,n, lqj =1,j=1,k, prmr,r=1,n (Ap...pnu m -pq1 -1 m -pq2 -1 mq -pq -1 -pqn -lqn lqk+1 l ).

mqn xq1q1 xq2q2...xqk k k...xqn xqk+1...xqqn n Конструкции Bq...qk, получающиеся перестановкой индексов, совпадают.

Запишем правую часть тождества (6) в дивергентной форме n Bi RL(u) =. (18) xi i=Пусть u регулярное решение уравнения (1). Тогда, интегрируя (18) по области D и применяя общую формулу Стокса (16) при k = n, получим 1-Rfdx1dx2... dxn = (-1)q Bq dxq · · · dxq.

1 2 n Q1,D D n Заменим интеграл по множеству D суммой интегралов по его составляющим:

1-1-(-1)q Bq dxq · · · dxq = (-1)q Bq dxq · · · dxq 1 2 n 1 2 n Q1,1 Q1,D n n Dq 1-+ (-1)q Bq dxq · · · dxq. (19) 1 2 n Q1,n SУчтем, что входящие в Bq слагаемые, соответствующие lq = lq = · · · = lq = 0, 1 2 3 n тождественно равны нулю на Dq в силу (4). Поэтому Bq на Dq можно снова 1 1 записать в дивергентном виде Bq i Bq =. (20) xi iQ\{q1} Подставив (20) в первую сумму правой части (19), применяем формулу Стокса:

1-I1 = (-1)q Bq dxq · · · dxq 1 2 n Q1,n Dq = 2! (q1,..., qn) Bq q2dxq · · · dxq 1 3 n Q2,n Dq1q + (q1,..., qn) Bq q2dxq · · · dxq, (21) 1 3 n Q1,2 n Sq 1...n где (q1,..., qn) знак перестановки. При получении (21) мы перешли q1...qn от интеграла по множеству Dq к интегралу по его границе Dq, разбив затем 1 множество Dq на составляющие. При этом учли, что Dij и Dji совпадают как множества, но имеют противоположные ориентации, т. е. в процессе вычислений появляются одинаковые интегралы (их количество равно 2) по одной Метод Римана для уравнений со старшей частной производной области с точностью до ориентации. Нетрудно заметить, что с учетом знаков эти члены оказываются равными, поэтому мы оставляем интеграл с коэффициентом 2! по D-многообразию с упорядоченным набором индексов. Знак перед ним можно записать в виде (q1,..., qn).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.