WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Следствие 3.3. Пусть G группа, имеющая нормальную подгруппу N такую, что G/N сверхразрешима. Предположим, что существует множество F подгрупп в G, обладающее следующим свойством: для каждой минимальной подгруппы M любой силовской подгруппы в F (N) обобщенная фиттингова подгруппа в N без c-добавления в G множество F содержит добавление к M в G. Тогда F является G-накрывающей системой подгрупп для класса сверхразрешимых групп.

Доказательство. Для произвольной максимальной подгруппы P1 любой силовской подгруппы в F (N) если P1 c-добавляема в G, то P1 c-добавляема в F (N) по лемме 2.1(1); если P1 имеет сверхразрешимое добавление в G, скажем H, то F (N) = F (N) G = F (N) (P1H) = P1(F (N) H), тем самым F (N) H сверхразрешимое добавление к P1 в F (N). Отсюда F (N) удовлетворяет условиям теоремы 3.1. Значит, F (N) сверхразрешима.

Тогда F (N) = F (N) по лемме 2.2. Если все максимальные подгруппы произ вольной силовской подгруппы в F (N) c-добавляемы в G, то G сверхразрешима согласно [3, теорема 1.1]. Поэтому допустим, что существует максимальная подгруппа P2 силовской p-подгруппы в F (N) = F (N) для некоторого простого p (N) такая, что P2 имеет сверхразрешимое добавление в G, пусть K. Отсюда G = P2K = Op(N)K. Следовательно, G/Op(N) сверхразрешима, так что G разрешима. Применяя теорему 3.2, получим, что G сверхразрешима.

Теорема 3.4. Пусть G группа и GU сверхразрешимый корадикал G. Предположим, что существует множество F подгрупп в G, обладающих следующим свойством: для каждой циклической подгруппы L в GU простого порядка или порядка 4, не c-добавляемой в G, множество F содержит добавление к L в G. Тогда F является G-накрывающей системой подгрупп для класса сверхразрешимых групп.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна, и пусть G контрпример минимального порядка. Пусть H подгруппа в G и x циклическая подгруппа в HU простого порядка или порядка 4. Так как HU GU, то x либо c-добавляема в G, либо имеет сверхразрешимое добавление в G согласно предположению. Если x c-добавляема в G, то x c-добавляема в H по лемме 2.1(1); если x имеет сверхразрешимое добавление в G, скажем K, то H K сверхразрешимое добавление к x в H. Тем самым мы доказали, что предположения относительно G наследуются всеми подгруппами в G. Ввиду минимальности выбора G группа G не сверхразрешима, но все собственные подгруппы в G сверхразрешимы. Согласно [14] G имеет нормальную силовскую p-подгруппу P, обладающую следующими свойствами.

G-накрывающие системы подгрупп (1) (i) P наименьшая нормальная подгруппа в G со сверхразрешимой фактор-группой;

(ii) P/ (P ) главный фактор в G;

(iii) exp(P ) = p, когда p нечетно, и exp(P ) не более 4 при p = 2; кроме того, P = (P ) = P (G), и либо P элементарная абелева, либо P = Z(P ).

(2) GU = P. Легко вытекает из (1)(i).

(3) Окончательное противоречие.

Пусть теперь x P \ (P ). Тогда x либо c-добавляема в G, либо имеет сверхразрешимое добавление в G по предположению. Допустим, что x cдобавляема в G и K c-добавление к x в G. Тогда G = x K и x K = x G.

Отсюда P = x (P K). Заметим, что x2 (P ), тем самым x2 (K P ) максимальная подгруппа в P, так что x нормализует x2 (K P ). Поскольку [x2, K] (P ) x2 (K P ), получаем, что x2 (K P ) нормальная подгруппа в G. Отсюда x2 (K P ) (P ) или x2 (K P ) = P ввиду (1)(ii). Если x2 (K P ) (P ), то P = x. Если x2 (K P ) = P, то P = K P, т. е. P K. Итак, x = x K = x G нормальна в G, и вновь P = x. Следовательно, P/ (P ) должна быть циклической группой.

Так как (G/ (P ))/(P/ (P )) G/P сверхразрешима, G/ (P ) сверхразреши= ма. Поэтому G сверхразрешима; противоречие. Предположим, что x имеет сверхразрешимое добавление в G, пусть K. Тогда G = x K и P = x (P K).

Рассуждая, как и выше, мы можем доказать, что x2 (K P ) нормальна в G и x2 (K P ) = P или x2 (K P ) (P ). Если x2 (K P ) = P, то P K и, значит, G = K сверхразрешима; противоречие. Если x2 (K P ) (P ), то P = x, и вновь P/ (P ) циклическая группа и (G/ (P ))/(P/ (P )) G/P = сверхразрешима, так что G сверхразрешима; окончательное противоречие.

Уменьшим число минимальных подгрупп группы G в теореме 3.4, добавив некоторые ограничения.

Теорема 3.5. Пусть G разрешимая группа с нормальной подгруппой N такая, что G/N сверхразрешима. Допустим, что существует множество F подгрупп в G, обладающих следующим свойством: для каждой циклической подгруппы L в F (N) простого порядка или порядка 4, не c-добавляемой в G, множество F содержит добавление к L в G. Тогда F является G-накрывающей системой подгрупп для класса сверхразрешимых групп.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна, и пусть G контрпример минимального порядка.

Отметим сначала, что для максимальной подгруппы M в G соотношение F (N) M <· F (N) равносильно тому факту, что [G : M] простое, когда F (N) M.

Предположим, что M максимальная подгруппа в G такая, что F (N) M. Тогда существует простое p такое, что Op(N) M. Поэтому G = Op(N)M.

Рассмотрим два случая.

(i) p простое нечетное.

Пусть x1 элемент в Op(N) порядка p такой, что x1 не нормальна в G.

Согласно предположениям x1 либо c-добавляема в G, либо имеет сверхразрешимое добавление в G. Если x1 c-добавляема в G, то существует подгруппа в G, скажем M1, такая, что G = x1 M1 и x1 M1 = x1 G = 1. Если x1 имеет сверхразрешимое добавление в G, то существует сверхразрешимая подгруппа в G, пусть M1, такая, что G = x1 M1. Поскольку G сверхразрешима, G = M1.

582 Я. Ли Поэтому x1 M1, т. е. x1 M1 = 1. В обоих случаях существует подгруппа M1 группы G такая, что G = x1 M1 и x1 M1 = 1. Оказалось, что мы находимся в рамках доказательства леммы 2.8 в [2], следовательно, мы можем использовать аналогичные рассуждения и получить, что [G : M] простое.

(ii) p = 2.

Предположим, что M2 силовская 2-подгруппа в M. Тогда O2(N)Mсиловская 2-подгруппа в G. Допустим, что H минимальная подгруппа в O2(N)M2, содержащая M2. Тогда H = H (O2(N)M2) = (H O2(N))M2.

Для любых q = 2 и Mq Sq(M) ввиду того, что O2(N)Mq/O2(G) сверх разрешима, каждая циклическая подгруппа в O2(N) порядка 2 или 4 либо cдобавляема в G, либо имеет сверхразрешимое добавление в G согласно предположениям, тем самым является либо c-добавляемой в O2(N)Mq, либо имеет сверхразрешимое добавление в O2(N)Mq. По теореме 3.4 O2(N)Mq сверхразрешима. Мы попали в ситуацию доказательства леммы 2.8 из [2], и, используя соответствующие рассуждения, можно получить, что [G : M] = 2 простое.

Итак, мы доказали, что либо F (N) M, либо F (N)M <· F (N) для любой максимальной подгруппы M в G. Из леммы 2.4 вытекает, что G сверхразрешима; окончательное противоречие.

Доказательство теоремы закончено.

Следствие 3.6. Пусть G группа, имеющая нормальную подгруппу N такую, что G/N сверхразрешима. Допустим, что существует множество F подгрупп в G, обладающее следующим свойством: для каждой циклической подгруппы L в F (N) простого порядка или порядка 4, которая не является cдобавляемой в G, множество F содержит добавление к L в G. Тогда F является G-накрывающей системой подгрупп для класса сверхразрешимых групп.

Доказательство. Для произвольной циклической подгруппы L в F (N) простого порядка или порядка 4 если L c-добавляема в G, то L c-добавляема в F (N) по лемме 2.1(1); если L имеет сверхразрешимое добавление в G, скажем H, то F (N) = F (N) G = F (N) (LH) = L(F (N) H), тем самым F (N) H сверхразрешимое добавление к L в F (N). Отсюда F (N) удовлетворяет условиям теоремы 3.4. Поэтому F (N) сверхразрешима.

Тем самым F (N) = F (N) по лемме 2.2. Если все циклические подгруппы в F (N) простого порядка или порядка 4 c-добавляемы в G, то G сверхразрешима согласно [2, теорема 3.1]. Предположим, что существует циклическая подгруппа L в F (N) = F (N) простого порядка для некоторого простого p (N) (или порядка 4, когда p = 2) такая, что L имеет сверхразрешимое добавление, скажем K. Тогда G = LK = Op(N)K. Отсюда G/Op(N) сверхразрешима, так что G разрешима. Применяя теорему 3.5, получаем, что G сверхразрешима.

Благодарности. Автор весьма признателен рецензенту, внимательно прочитавшему работу и сделавшему много существенных пожеланий и замечаний. Особенно значительна помощь рецензента в упрощении доказательств теорем 3.1 и 3.2 и в исключении использования классификации простых групп и теоремы о разрешимости групп нечетного порядка.

ЛИТЕРАТУРА 1. Guo W., Shum K. P., Skiba A. G-covering subgroup systems for the classes of supersoluble and nilpotent groups // Israel J. Math. 2003. V. 138, N 1. P. 125–138.

.

G-накрывающие системы подгрупп 2. Wang Y., Li Y., Wang J. Finite groups with c-supplemented minimal subgroups // Algebra Colloq. 2003. V. 10, N 3. P. 413–425.

.

3. Wei H., Wang Y., Li Y. On c-supplemented maximal and minimal subgroups of Sylow subgroups of finite groups // Proc. Amer. Math. Soc. 2004. V. 132, N 8. P. 2197–2204.

.

4. Guo W., Shum K. P., Skiba A. G-covering subgroup for the classes of p-supersoluble and p-nilpotent finite groups // Siberian Math. J. 2004. V. 45, N 3. P. 433–442.

.

5. Ballester-Bolinches A., Wang Y., Xiuyun G. C-supplemented subgroups of finite groups // Glasgow Math. J. 2000. V. 42, N 3. P. 383–389.

.

6. Мальцев А. И. Модельные соответствия // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23, № 3.

.

С. 313–336.

7. Bianchi M., Mauri A. G. B., Hauck P. On finite groups with nilpotent Sylow normalizers // Arch Math. 1986. V. 47, N 3. P. 193–197.

.

8. Robinson D. J. S. A course in the theory of groups. New York; Berlin: Springer-Verl., 1993.

9. Huppert B., Blackburn N. Finite groups. III. Berlin, New York: Springer-Verl., 1982.

10. Huppert B. Endliche Gruppen. I. Berlin: Springer-Verl., 1968.

11. Li Y., Wang Y. The influence of minimal subgroups on the structure of a finite group // Proc.

Amer. Math. Soc. 2003. V. 131, N 2. P. 337–341.

.

12. Weinstein M. (editor) Between nilpotent and solvable. Passaic, 1982.

13. Gorenstein D. Finite groups. New York: Chelsea, 1968.

14. Doerk K. Minimal nicht ber auflsbarer endliche Gruppen // Math. Z. 1966. Bd 91. S. 198– 205.

Статья поступила 7 января 2005 г.

Yangming Li (Ли Янмин) Dept. of Math., Nanchang University, Nanchang, Jiangxi, 330047, China Dept. of Math., Guangdong Institute of Education, Guangzhou, 510310, China liyangming@gdei.edu.cn

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.