WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

2 k k W (X, ) W (X, ). Так как при этом h(Dk(X ) = Dk(X), для любой k k правильной последовательности = ( W (X, ))kZ последовательность h( ) правильная. Условия дискретности, указанные в лемме 13, выполняются для операторов k и k одновременно. Теорема доказана.

h( ) Пусть риманово m-мерное многообразие X представлено в виде объединения двух замкнутых множеств X- и X+, причем X- и X+ гладкие m-мерные подмногообразия, а Y = X- X+ гладкое (m - 1)-мерное подмногообразие многообразия X, лежащее в int X. Обозначим через i оператор ограничения форм с X на X+, а через j оператор продолжения форм нулем с X- на X.

k k Пусть весовая функция на X и = ( W (X, ))kZ правильная последовательность d-подпространств. Положим k k k k k + = i( ), = { W (X-, ) : j }.

k k Последовательность - = ( W (X-, ))kZ является правильной, а k k последовательность + = ( W (X+, ))kZ правильна, если каждое подk k пространство + замкнуто в W (X+, ).

k k Теорема 4. Пусть = ( W (X+, ))kZ правильная последовательность d-подпространств, j Z+. Предположим, что для каждого k Z существует такой непрерывный линейный оператор k : Lk(X+, ) Lk(X, ), 2 k k что i k = для любой формы Lk(X+, ), k(W (X+, )) W (X, ), k k k( +). Тогда + правильная последовательность d-подпространств и спектр оператора j дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов j и j.

+ 570 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Доказательство. Поскольку операторы k : Lk(X+, ) Lk(X, ) непре2 k k k k рывны и k(W (X+, )) W (X, ), операторы k : W (X+, ) W (X, ) непрерывны (см. доказательство аналогичного утверждения лемме 9). Так в k k k как i k = для любой формы Lk(X+, ) и k +, то + = k k k ( k)-1( ). Следовательно, подпространство + замкнуто в W (X+, ) и поэтому + правильная последовательность d-подпространств.

Рассмотрим гильбертовы комплексы A = Lk(X-, ), dk, B = Lk(X, ), dk, C = Lk(X+, ), dk.

2 - kZ kZ 2 2 + kZ Последовательность гильбертовых комплексов j i 0 A B C точна. Для этих комплексов операторы Lk, Lk, Lk совпадают с k, k, k A B C - + соответственно. По теореме 2 спектр оператора Lj дискретен тогда и только B тогда, когда дискретны спектры операторов Lj и Lj. Теорема доказана.

A C Пусть многообразие Y = X+ X- обладает замкнутой окрестностью U в X, для которой существует диффеоморфизм : [-1, 1]Y U, удовлетворяющий следующим условиям: (0, y) = y, (t, y) X- при t 0, (t, y) X+ при t 0 для любого y Y. Такой диффеоморфизм называют воротником подмногообразия Y в X. Будем называть воротник равномерным, если функции |d| и |d-1| ограничены. Будем говорить, что воротник согласован с весовой функцией, заданной на X, если существует такая весовая функция Y на Y, что Y (y) ((t, y)) cY (y) c для некоторой константы c и любых t [-1, 1], y Y.

Если многообразие Y компактно, то любой его воротник является равномерным воротником, согласованным с произвольной весовой функцией на X.

Лемма 14. Пусть Y = X+ X- обладает равномерным воротником в X, согласованным с весовой функцией. Тогда для каждого k Z существует такой непрерывный линейный оператор k : Lk(X+, ) Lk(X, ), переводящий 2 k k W (X+, ) в W (X, ), что i k = для любой формы Lk(X+, ).

Доказательство. Используя воротник : [-1, 1] Y U, согласованный с весовой функцией, легко построить гладкую функцию : X [0, 1], удовлетворяющую следующим условиям:

0 при |t| 2/3, ((t, y)) = (11) 1 при |t| 1/3, 0 на X \ U, функция |d| ограничена.

Рассмотрим отображение : X+ U X+, заданное условиями: (x) = x при x X+, ((t, y)) = (-t, y) при t [-1, 0].

Для произвольной формы Lj(X+, ) положим k 0 на X- \ U, k = () на U \ X-, k = на X+. Тогда k Lk(X, ), оператор k k k : Lk(X+, ) Lk(X, ) непрерывен и k W (X, ), если W (X+, ).

2 Эти утверждения доказаны в [8, лемма 1 и доказательство леммы 4]. Равенство i k = следует непосредственно из определения формы k. Лемма доказана.

Аддиционная теорема для многообразий Семейством носителей в X называется произвольное множество замкнутых в X множеств, удовлетворяющее следующим условиям:

1) F1, F2 F1 F2, 2) F1, F1 F2, F2 замкнуто в X F2.

Для семейства носителей на X и произвольного множества Z X символом |Z будем обозначать семейство {F : F Z}.

k Для семейства носителей на X обозначим через W (X, ) замыкание k k в W (X, ) подпространства, образованного всеми формами из W (X, ), носители которых содержатся в. Для произвольного семейства носителей k на X последовательность W (X, ) правильная последовательность dkZ подпространств.

Будем говорить, что равномерный воротник : [-1, 1] Y U X и семейство носителей на X согласованы, если -1(F ) для любого F |X, где : X+ U X+ отображение, заданное условиями: (x) = x при + x X+, ((t, y)) = (-t, y) при t 0 и y Y.

Теорема 5. Пусть подмногообразие Y = X+ X- обладает равномерным воротником, согласованным с весом и семейством носителей на X, k k k k = W (X, ). Тогда + = W | (X+, ) и для произвольного j Z спектр X+ оператора j на X дискретен тогда и только тогда, когда дискретны спектры операторов j на X+ и j на X-.

+ Доказательство. Пусть k : Lk(X+, ) Lk(X, ) операторы продол2 жения форм, указанные в лемме 14. Из условия согласованности воротника с семейством носителей следует, что операторы k переводят формы с носителями в |X в формы с носителями в. В силу непрерывности операторов + k k k k k : W (X+, ) W (X, ) получаем отсюда, что k(W | (X+, )). Так X+ k k k как i k = для форм Lk(X+, ), то W | (X+, ) i( ) = +. ОбратX+ k k ное включение следует из непрерывности оператора i : W (X, ) W (X+, ).

k k k k Следовательно, + = W | (X+, ) и k +. Осталось воспользоваться X+ теоремой 4. Теорема доказана.

Каждое из следующих четырех семейств носителей на X согласовано с любым воротником многообразия Y = X+ X-: семейство всех замкнутых в X множеств, c семейство всех компактных подмножеств многообразия X, 0 = |int X, c0 = c|int X.

k k Лемма 15. Если одно из семейств носителей, c, 0, c0, = W (X, ), подмногообразие Y = X+ X- обладает равномерным воротником, согласоk k ванным с весом на X, то = W | (X-, ).

X\X+ k k Доказательство. Очевидно, что W | (X-, ). Докажем обратX\X+ k ное включение. Предположим сначала, что =. Пусть и > произвольны, = j форма, совпадающая с на X- и равная 0 на X+ \ Y.

Рассмотрим какое-либо открытое локально конечное покрытие V = (Vi)iN многообразия X относительно компактными множествами Vi. Пусть (fi)iN гладкое разбиение единицы, подчиненное этому покрытию. Для каждого i N существует такой диффеоморфизм hi : X X, что носитель формы h(fi) содержится в Vi (X \ X+) и h(fi) - fi W k 2-i. Положим = (X,) i h(fi). Суммирование по i имеет смысл, поскольку носители форм h(fi) i i i 572 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов образуют локально конечное в X семейство множеств. Так как - = (fi - h(fi)) i i k k и ряд (fi - h(fi)) сходится в W (X, ), то - W (X, ). Следова i i k тельно, W (X, ). Кроме того, - W k и носитель формы (X,) k содержится в X \ X+. Установлено, что в пространстве формы с носителями k k в X \ X+ образуют плотное подмножество. Поэтому = W| (X-, ).

X\X+ k Рассмотрим теперь случай = c. Пусть, = j, > 0 произволь k k но. Так как Wc (X, ), то существует такая форма W (X, ) с компакт k k ным носителем, что - W k <. Пусть k : W (X+, ) W (X, ) (X,) оператор продолжения форм, указанный в лемме 14, C норма этого оператора и i оператор ограничения форм с X на X+. Ввиду того, что i = 0, имеем i W k, ki W k C.

(X,) (X,) Пусть = - ki. Тогда - W k (1 + C) и форма имеет (X,) компактный носитель, лежащий в X-.

Существует такой диффеоморфизм h : X X, что носитель формы h содержится в X \ X+ и - h() W k. Тогда (X,) - h() W k (2 + C).

(X,) Установлено, что формы с компактными носителями образуют плотное в k k k множество. Тем самым = Wc| (X-, ).

- X\X+ Случаи = 0 и = c0 рассматриваются аналогично. Лемма доказана.

Лемма 16. Пусть подмногообразие Y = X+ X- обладает равномерным воротником, согласованным с весом на X, одно из семейств носителей k k k k, c, 0, c0 на X, = W | (X+, ), 0 = W | (X+, ). Тогда для каждого X+ X+\Y j Z спектры операторов j и j на X+ дискретны одновременно.

Доказательство. Предположим, что спектр оператора j дискретен.

Рассмотрим многообразия X = X+, X+ = ([0, 1/2] Y ), X = X \ ([0, 1/2] Y ), Y = X+ X = ({1/2} Y ).

Подмногообразие Y имеет в X равномерный воротник, согласованный с k весом и семейством носителей |X. Пусть ( )k = W | (X, ). По теоре+ X ме 5, примененной к разложению X = X+ X, оператор j на X имеет - k дискретный спектр. По лемме 15 ( )k = W | (X, ). Используя теоре- X \Y му 3, заключаем, что спектры операторов j на X и j на X+ дискретны - одновременно. Поэтому спектр оператора j дискретен, если дискретен спектр оператора j.

Предположим теперь, что дискретен спектр оператора j. Рассмотрим k многообразия X = X+, X+ = X, X = X+. Пусть ( )k = W | (X+, ).

- X+\Y Предыдущее рассуждение, примененное к разложению X = X+ X и пра вильной последовательности d-подпространств, доказывает, что спектр оператора j дискретен, если дискретен спектр оператора j. Лемма доказана.

Из теоремы 5, лемм 15 и 16 вытекает Аддиционная теорема для многообразий Следствие 3. Пусть Y обладает равномерным воротником, согласованk k k k ным с весом на X, = {, c, 0, c0}, = W (X, ), 0 = W (X-, ), k k 1 = W (X+, ). Тогда спектр оператора k на X дискретен в том и только в том случае, когда спектры операторов k на X0 и k на X+ дискретны.

0 Лемма 17. Пусть X полное многообразие без края, : [-1, 1]Y U X равномерный воротник подмногообразия Y = X- X+, согласованный с k k k k весом на X, U+ = ([0, 1] Y ), = Wc (X+, ), 1 = Wc (U+, ), F k,min 0 расширение по Фридрихсу оператора k : Lk(X+, ) Lk(X+, ). Тогда,min 2 спектр оператора k дискретен в том и только в том случае, когда выполнены следующие условия:

(1) спектр оператора F k дискретен,,min (2) операторы dk-1 : Lk-1(U+, ) Lk(U+, ), dk : Lk(U+, ) Lk+1(U+, ) 1 2 2 1 2 компактно разрешимы и dim Ker dk / Im dk-1 <.

1 k k Доказательство. По лемме 7 работы [2] F k = D,min D,min, где,min k k D,min замыкание оператора dk : Lk(X+, ) Lk-1(X+, )Lk+1(X+, ), 2 2 заданного на Dk(X+).

k Предположим, что спектр оператора k дискретен. Так как Dom D,min = Dom(dk-1) Dom(dk ), по лемме 12 спектр оператора F k дискретен.

,min Пусть X = X+, X = ([0, 1/2] Y ), X+ = X+ \ ([0, 1/2] Y ), Y = ({1/2}Y ). Тогда X = X+X, Y = X+X, Y обладает в X равномерным - воротником, согласованным с весом.

По теореме 5 спектр оператора k : Lk(X, ) Lk(X, ) дискретен.

- 2 - 2 k k По лемме 15 = Wc (X, ). По теореме 1 выполнено условие (2).

- 0 Предположим теперь, что выполнены условия (1) и (2).

Пусть Gk = Dom dk-1 dk, Gk = Dom dk-1 dk. По теореме 1 k компактны операторы вложения Dom D,min Lk(X+, ) и Gk Lk(U+, ).

2 1 Докажем, что компактен оператор вложения Gk Lk(X+, ). Пусть {}Z произвольная ограниченная последовательность в Gk. Наличие равномерного воротника у подмногообразия Y позволяет построить гладкую функцию a :

X+ [0, 1], удовлетворяющую следующим условиям: a(x) 1 на ([0, 1/3]Y ), a(x) 0 на X \ ([0, 2/3] Y ), функция |da| ограничена на X+. Используя формулы (6) и (7), легко проверить, что {a}Z ограниченная последовательность в Gk.

Установим, что {(1 - a)}Z ограниченная после k довательность в Dom D,min. Пусть fn : X [0, 1] последовательность гладких функций такая же, как в доказательстве леммы 11. Каждая форма {fn · (1 - a)}Z принадлежит Gk и имеет компактный носитель. По лем k ме 10 fn · (1 - a) Dom D,min. Так как для каждого последовательность {fn · (1 - a)}nZ сходится при n к (1 - a) в пространстве Gk, то k k k (1-a) Dom D,min. Вложение Dom(D,min) изометрично, значит, по G k следовательность {(1-a)}Z ограничена в Dom D,min. Так как операторы k вложения Dom D,min Lk(X+, ) и Gk Lk(U+, ) компактны, существуют 2 1 сходящиеся в Lk(X+, ) подпоследовательности {a }iZ и {(1 - a) }iZ по2 i i следовательностей {a}Z и {(1 - a)}Z соответственно. Установлено, что оператор вложения Gk Lk(X+, ) компактен. По теореме 1 спектр оператора k дискретен. Лемма доказана.

574 В. И. Кузьминов, И. А. Шведов Из следствия теоремы 5 и леммы 17 вытекает следующий результат.

Теорема 6. Пусть X полное риманово многообразие (без края), X = X+ X- и выполнены следующие условия:

(1) подмногообразие Y = X+X- имеет равномерный воротник : [-1, 1] Y U X, согласованный с весом на X, (2) операторы dk-1 и dk компактно разрешимы, k k (3) dim Ker dk / Im dk-1 <, где = Wc (U, ).

Тогда спектр оператора F k : Lk(X, ) Lk(X, ) дискретен в том и,min 2 только в том случае, когда дискретны спектры операторов F k : Lk(X+, ) Lk(X+, ), F k : Lk(X-, ) Lk(X-, ).

,min 2 2,min 2 Если подмногообразие Y компактно, то условия (1)–(3) теоремы 6 выполнены автоматически [9, 10]. Поэтому в случае полного многообразия X и компактного разреза Y спектр оператора F k на X дискретен тогда и только,min тогда, когда дискретны спектры операторов F k на X+ и X-. Этот по,min следний результат можно рассматривать как вариант принципа расщепления из [11].

ЛИТЕРАТУРА 1. Глазман И. М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963.

2. Кузьминов В. И., Шведов И. А. О компактной разрешимости оператора внешнего дифференцирования // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38, № 3. С. 573–590.

.

3. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

4. Кузьминов В. И., Шведов И. А. Гомологические аспекты теории банаховых комплексов // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. С. 893–904.

.

5. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Об одном свойстве операторов регуляризации де Рама // Сиб. мат. журн. 1984. Т. 25, № 2. С. 104–111.

.

6. Gaffney M. P. The harmonic operator for exterior differential forms // Proc. Nat. Acad. Sci.

.

1951. V. 37. P. 48–50.

7. Шварц Л. Комплексные многообразия. Эллиптические уравнения. М.: Мир, 1964.

8. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Интегральное представление интеграла дифференциальной формы // Функциональный анализ и математическая физика.

Новосибирск: Наука, 1985. С. 53–87.

9. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. О нормальной и компактной разрешимости линейных операторов // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 5. С. 49–59.

.

10. Гольдштейн В. М., Кузьминов В. И., Шведов И. А. Lp-когомологии римановых многообразий // Исследования по геометрии и математическому анализу. Новосибирск: ИМ СО РАН, 1987. Т. 7. С. 101–116. (Тр. ИМ СО АН СССР).

11. Eichhorn J. Spektraltheorie offener Riemannscher Mannigfaltigkeiten mit einer rotationssymmetrischen Metrik // Math. Nachr. 1983. Bd 144. S. 23–51.

Статья поступила 20 октября 2005 г.

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.