WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

Следствие 4.5. Пусть G группа, являющаяся расширением сверхразрешимой группы N при помощи сверхразрешимой группы. Если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из N перестановочна в G, то G сверхразрешима.

Следствие 4.6. Пусть G группа, являющаяся расширением сверхразрешимой группы N при помощи сверхразрешимой группы. Если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из F (N) условно перестановочна в G, то G сверхразрешима.

При N = G теоремы 3.4, 3.6 дают следующие критерии сверхразрешимости групп.

Следствие 4.7. Если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы группы G перестановочна, то G сверхразрешима.

Доказательство. В силу теоремы 3.4 необходимо лишь установить, что группа G разрешима. Это конечно так, если все ее силовские подгруппы цикличны. В противном случае пусть P нециклическая силовская подгруппа в G и P1 максимальная подгруппа в P. Ясно, что P1 = 1. Значит, если P1 G, то, применяя лемму 3.2, по индукции видим, что группа G разрешима. Пусть x NG(P1) = G и x G NG(P1). Тогда P1P1 перестановочная силовская под x группа в G. Значит, P1P1 G, откуда снова следует, что группа G разрешима.

Следствие 4.8. Разрешимая группа G является сверхразрешимой, если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из F (G) условно перестановочна в G.

538 Го Веньбинь, К. П. Шам, А. Н. Скиба 3. G-Накрывающие системы для классов p-сверхразрешимых и pнильпотентных групп. Дадим теперь локальные версии основных результатов работ [6, 7].

Следствие 4.9. Пусть G p-разрешимая группа, множество ее подгрупп, которому принадлежит по крайней мере одно добавление к каждой максимальной подгруппе каждой силовской подгруппы группы G. Тогда одновременно является G-накрывающей системой для классов p-нильпотентных и p-сверхразрешимых групп.

Следствие 4.10. Пусть G разрешимая группа, множество ее подгрупп, которому принадлежит по крайней мере одно добавление к каждой максимальной подгруппе каждой силовской подгруппы из F (G). Тогда одновременно является G-накрывающей системой для классов p-нильпотентных и p-сверхразрешимых групп.

5. Заключительные замечания 1. В книге Л. А. Шеметкова [9] символом F (G) обозначена подгруппа, ко торая определяется следующим образом: 1) (G) F (G); 2) F (G)/ (G) = Soc(G/ (G)) цоколь группы G/ (G), т. е. произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы G/ (G). Теорема 3.6 может быть несколько усилена следующим образом.

Пусть G группа, которая содержит неединичную p-разрешимую нормальную подгруппу N с p-сверхразрешимой фактор-группой G/N. Если каждая максимальная подгруппа любой силовской подгруппы из F (N), не являющаяся условно перестановочной в G, имеет p-сверхразрешимое добавление в G, то G p-сверхразрешима.

2. Мы не знаем, можно ли в теореме 3.4 условие не являющаяся перестановочной в G заменить условием не являющаяся условно перестановочной в G. Это, в частности, приводит к следующим вопросам.

Верно ли, что группа G разрешима, если все ее максимальные подгруппы всех ее силовских подгрупп условно перестановочны Верно ли, что разрешимая группа G сверхразрешима (p-сверхразрешима) если все максимальные подгруппы всех ее силовских подгрупп, не являющиеся условно перестановочными в G, обладают сверхразрешимыми (соответственно обладают p-сверхразрешимыми) добавлениями в G 3. Условие p-разрешимости (разрешимости) в следствиях 4.9 и 4.10 может быть опущено, если воспользоваться теоремой 5.8 работы [14].

4. Сверхразрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп нормальны, была доказана в работе [15].

5. Пусть G = S3 S3 и G3 силовская 3-подгруппа в G. Понятно, что G сверхразрешимая группа и F (G) = G3. Пусть P неинвариантная максимальная в G3 подгруппа. Тогда P не является условно перестановочной в G. Таким образом, обращения следствий 4.7 и 4.8 не имеют места. Было бы интересно описать группы, у которых все максимальные подгруппы всех ее силовских подгрупп (всех силовских подгрупп из F (G)) условно перестановочны в G. Отметим, что группы, у которых все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп нормальны, описаны в [16].

G-накрывающие системы подгрупп ЛИТЕРАТУРА 1. Мальцев А. И. Модельные соответствия // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1959. Т. 23, № 3.

.

С. 313–336.

2. Kargapolov M. I., Merzljakov Ju. I. Fundamentals of the theory of groups. 2nd edn. Translated from Russian by Burns R. G. New York: Springer-Verl., 1979.

3. Bianchi M., Mauri A. G. B., Hauck P. On finite groups with nilpotent Sylow normalizers // Arch. Math. 1986. V. 47. P. 193–197.

.

4. Fedri V., Serens L. Finite soluble groups with supersoluble Sylow normalizers // Arch. Math.

.

1988. V. 50. P. 11–18.

5. Huppert B. Normalteiler and maximale Untergruppen endlicher Gruppen // Math. Z. 1954.

Bd 60. S. 409–434.

6. Guo Wenbin, Shum K. P., Skiba A. N. G-Covering subgroup systems for the classes of supersoluble and nilpotent groups. Гомель, 2001. (Препринт ГГУ; № 21).

7. Guo Wenbin, Shum K. P., Skiba A. N. G-Covering subgroup systems for the classes of supersoluble and nilpotent groups // Israel J. Math. (tо appear).

8. Guo Wenbin. The theory of groups classes. Beijing: Sci. Press, 1997.

9. Шеметков Л. А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978.

10. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967.

11. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992.

12. Шеметков Л. А., Скиба А. Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука, 1989.

13. Guo Wenbin, Shum K. P., Skiba A. N. Conditionally permutable subgroups and supersolubility of finite groups. Гомель, 2003. (Препринт ГГУ, № 49).

14. Arad Z., Fisman E. On finite factorizable groups // J. Algebra. 1984. V. 86. P. 522–548.

15. Srinivasan S. Two sufficient conditions for supersolvability of finite groups // Israel J. Math.

.

1980. V. 35. P. 210–214.

16. Wall G. Groups with maximal subgroups of Sylow subgroups normal // Israel J. Math. 1982.

.

V. 43. P. 166–168.

Статья поступила 17 сентября 2003 г.

Guo Wenbin (Го Веньбинь) Department of Mathematics, Xuzhou Normal University, Xuzhou 221116, P. R. China wbguo@pub.xz.jsinfo.net Kar-Ping Shum (Кар-Пинг Шам) Department of Mathematics,The Chinese University of Hong Kong, Shatin, Hong Kong, P. R. China (SAR) kpshum@math.cuhk.edu.hk Скиба Александр Николаевич Гомельский университет им. Ф. Скорины, математический факультет, ул. Советская, 104, Гомель 246019, Беларусь skiba@gsu.unibel.by

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.