WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Докажем, что инъективное отображение. Для этого покажем, что ker() = I. Предположим, что существует такой элемент {B,2} + F0 + I = I, что ({B,2} + F0 + I) = T.

Пусть вначале {B,2} + F0 + I (A/I)0, т. е.

B,2 = (Aij),2, 1 i j причем среди операторов Aij есть хотя бы один ненулевой. Тогда ({B,2} + F0 + I) = Aij + T = T.

i j Следовательно, оператор B = Aij компактен, что невозможно.

i j Далее, пусть {B,2} + F0 + I (A/I) \ (A/I)0. Тогда найдется последова (m) тельность B,2 + F0 + I (A/I)0 такая, что (m) B,2 + F0 + I - ({B,2} + F0 + I) A/I 0 при m. (3.14) Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами В силу неравенства (3.10) B(m)+T K/T 0 при m. Отсюда легко следует, что B(m) 0. Но тогда {(P P )B(m)(P P )} + F0 + I A/I 0 при m.

1 2 1 (m) Поскольку B,2 + F0 + I = {(P P )B(m)(P P )} + F0 + I, имеем 1 1 2 1 (m) B,2 + F0 + I A/I 0 при m.

(3.15) Из (3.15) и (3.14) следует, что {B,2} + F0 + I = I, но это противоречит предположению. Таким образом, ker() = I.

Так как биективное отображение, то есть -изоморфизм. А всякий -изоморфизм является изометрией.

Следствие 3.1. Элемент {B,2} + F0 + I обратим в алгебре A/I тогда и только тогда, когда оператор B н етеров.

Доказательство сразу получается из леммы 3.6 с учетом результатов работы [8].

Лемма 3.5 и следствие 3.1 позволяют в удобной форме описать условия обратимости в алгебре A.

Теорема 3.1. Пусть {B,2} + F0 A. Для обратимости элемента {B,2} 1 + F0 в алгебре A необходимо и достаточно, чтобы операторы B, B1, B2, B12, определяемые равенствами (3.4)–(3.7), были обратимы в L Ls( n n ).

2 1 Доказательство теоремы 2.1. По лемме 3.2 оператор A принадлежит {P P } тогда и только тогда, когда он обратим и элемент {A,2} + F1 2 обратим в алгебре A. Но в силу теоремы 3.1 последнее равносильно обратимости операторов A, A1, A2, A12.

§ 4. Псевдоспектры Нам потребуется одно вспомогательное утверждение из теории C-алгебр.

Предложение 4.1 [4]. Пусть B1 и B2 C-алгебры с единицей и гомоморфизм : B1 B2 сохраняет спектры, т. е. для любого элемента b Bего спектр совпадает со спектром элемента (b). Тогда сохраняет нормы, т. е.

b B = (b) B.

1 Лемма 4.1. Пусть {B,2}+F0 A. Тогда предел lim B,2 существует 1 и справедливо равенство lim B,2 = max{ B, B1, B2, B12 }, где B, B1, B2 и B12 определяются равенствами (3.4)–(3.7).

Доказательство. Из соотношения (3.7) следует, что B12 lim (R R )B,2(R R ) lim B,2.

1 2 1 1 2 10 20 Рассуждая аналогичным образом, из (3.4)–(3.6) получаем неравенство max{ B, B1, B2, B12 } lim B,2.

510 О. Г. Авсянкин Докажем, что max{ B, B1, B2, B12 } = lim B,2. (4.1) Рассмотрим C-алгебру K = K K K K с нормой (C1, C2, C3, C4) K = max{ C1, C2, C3, C4 }.

Нетрудно видеть, что отображение : A K, {B,2} + F0 (B, B1, B2, B12) является -гомоморфизмом. Кроме того, из теоремы 3.1 следует, что спектр элемента {B,2} + F0 в алгебре A совпадает со спектром элемента (B, B1, B2, B12) в алгебре K. Применяя предложение 4.1, получаем {B,2} + F0 A = (B, B1, B2, B12) K.

А это с учетом (3.2) и есть равенство (4.1).

Теорема 4.1. Пусть A, A1, A2, A12 операторы вида (2.1)–(2.4) соответственно. Если операторы A, A1, A2, A12 обратимы, то найдутся такие числа 1, 2 (0, 1), для всех 0 1 < 1 и 0 < 2 < 2 операторы A,2 обратимы что < в (P P ) Ls( n n ), причем 1 2 2 1 A-1 A-1, A-1, A-1.

lim = max A-1, (4.2) 1,2 1 2 Доказательство. Так как операторы A, A1, A2, A12 обратимы, по теореме 2.1 A {P P }. Тогда найдутся такие числа 1, 2 (0, 1), что для всех 1 0 < 1 < 1 и 0 < 2 < 2 операторы A,2 обратимы в (P P ) Ls( n n ) 1 1 2 2 1 и элемент {A,2} + F0 обратим в алгебре A. Рассмотрим A-1 + F0 A.

1 1,Поскольку A {P P }, по определению проекционного метода 1 s-lim A-1 (P P ) = A-1.

1,2 1 Далее, заметим, что оператор (R P )A,2(R P ) обратим, причем 1 2 1 1 ((R P )A,2(R P ))-1 = (R P )A-1 (R P ).

1 2 1 1 2 1 2 1,2 1 Используя (2.6), получим s-lim (R P )A-1 (R P ) 1 2 1,2 1 = s-lim ((R P )A,2(R P ))-1(P P ) = A-1.

1 2 1 1 2 1 2 Аналогично с учетом (2.7), (2.8) доказывается, что s-lim (P R )A-1 (P R ) = A-1, 1 2 1,2 1 2 s-lim (R R )A-1 (R R ) = A-1.

1 2 1,2 1 2 Применяя к элементу A-1 + F0 лемму 4.1, получаем (4.2).

1,Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами Прежде чем доказать основную теорему данного параграфа, сформулируем два определения.

Определение 4.1. Пусть {E,2} семейство множеств E,2 C (0 < 1 1, 2 < 1). Пределом семейства множеств {E,2} при 1 0, 2 0 назовем множество E, состоящее из всех C, для каждого из которых найдутся убывающие последовательности {1s} и {2s} такие, что lim 1s = lim 2s = 0, и s s последовательность {s} C такая, что s E,2s и lim s = (обозначает1s s ся E = lim Es).

Определение 4.2. Пусть X банахово пространство, B L(X) и > 0.

-Псевдоспектром оператора B называется множество Sp(B) = { C : Sp(B) или (B - I)-1 1/}. (4.3) Полагая (B - I)-1 =, если оператор B - I необратим, перепишем (4.3) в виде Sp(B) = { C : (B - I)-1 1/}.

Теорема 4.2. Пусть A оператор вида (2.1). Тогда для любого > справедливо равенство lim Sp(A,2) = Sp(A) Sp(A1) Sp(A2) Sp(A12), (4.4) где операторы A1, A2 и A12 определяются равенствами (2.2)–(2.4).

Доказательство. Известно (см. [4, 11]), что Sp(A) lim Sp(A,2).

(В [4, 11] этот факт доказан в общем виде.) Тогда из (2.6) следует, что Sp(A1) lim Sp((R P )A,2(R P )). (4.5) 1 2 1 1 Так как (R P )A,2(R P ) - (P P ) 1 2 1 1 2 1 = (R P )(A,2 - (P P ))(R P ), 1 2 1 1 2 1 оператор (R P )A,2(R P )-(P P ) обратим тогда и только тогда, 1 2 1 1 2 1 когда обратим оператор A,2 - (P P ), причем 1 1 ((R P )A,2(R P ) - (P P ))-1 = (A,2 - (P P ))-1.

1 2 1 1 2 1 2 1 1 Следовательно, Sp((R P )A,2(R P )) = Sp(A,2). Тогда (4.5) при1 2 1 1 2 нимает вид Sp(A1) lim Sp(A,2).

Аналогично доказываются вложения Sp(A2) lim Sp(A,2), Sp(A12) lim Sp(A,2).

1 10 20 512 О. Г. Авсянкин Таким образом, окончательно имеем Sp(A) Sp(A1) Sp(A2) Sp(A12) lim Sp(A,2). (4.6) Докажем обратное вложение. Пусть 0 Sp(A) Sp(A1) Sp(A2) / Sp(A12). Тогда операторы 0I -A, 0I -A1, 0I -A2 и 0I -A12, где I = I1 I2, обратимы и max{ (0I - A)-1, (0I - A1)-1, (0I - A2)-1, (0I - A12)-1 } = - 2, где некоторое положительное число. Так как оператор 0I - A имеет ту же структуру, что и оператор A, то по теореме 4.1 найдутся такие числа 1, (0, 1), что для всех 0 < 1 < 1, 0 < 2 < 2 операторы 0(P P ) - A,1 2 обратимы и (0(P P ) - A,2)-1 < 1/ -. Если теперь µ C таково, 1 2 что |µ - 0| < (1/ - )-1, то (A,2 - µ(P P ))-1 = ((0 - µ)(P P ) - (0(P P ) - A,2))-1 1 2 1 2 1 2 (0(P P ) - A,2)-1 1/ - 1 2 < =.

1 - |0 - µ| (0(P P ) - A,2)-1 1 - (1/ - )-1(1/ - ) 1 2 Следовательно, µ Sp(A,2). Тогда 0 lim Sp(A,2). Таким образом, / / 1 доказано вложение lim Sp(A,2) Sp(A) Sp(A1) Sp(A2) Sp(A12). (4.7) Из (4.6) и (4.7) следует (4.4). Теорема доказана.

В заключение рассмотрим скалярный оператор A, действующий в пространстве L2( n n ).

1 Следствие 4.1. Пусть A скалярный оператор вида (2.1). Тогда для любого > 0 справедливо равенство lim Sp(A,2) = Sp(A) Sp(A1) = Sp(A) Sp(A2). (4.8) Доказательство. Рассмотрим изометрический оператор Uj вида (2.9).

Так как µI - A12 = (U1 U2)(µI - A)(U1 U2), где I = I1 I2, то опера торы µI - A12 и µI - A одновременно обратимы, причем (µI - A12)-1 = (U1 U2)(µI - A)-1(U1 U2).

Тогда (µI - A12)-1 = (µI - A)-1 = (µI - A)-1.

Следовательно, Sp(A12) = Sp(A).

Аналогично с использованием равенства µI - A1 = (U1 I2)((I1 U2)(µI - A2)(I1 U2))(U1 I2) доказывается, что Sp(A1) = Sp(A2). Тогда из (4.4) следует (4.8).

Замечание. Отметим, что для спектра аналогичный результат, вообще говоря, не имеет места. В самом деле, в пространстве L2( n n ) рассмот1 рим оператор A = I1 K, где K скалярный оператор вида (1.1). Будем Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами предполагать, что помимо условий 1–3 ядро k(x, y) оператора K удовлетворяет еще условию k(x, y) = 0, |y| < |x| (k(x, y) = 0, |y| > |x|).

Нетрудно видеть, что Sp(A) = Sp(K) и Sp(A,2) = Sp(K ). В [7] показано, 1 что Sp(K ) = {0}, значит, lim Sp(A,2) = lim Sp(K ) = {0}.

1 Поскольку Sp(K) = {0} (см. [7]), имеем lim Sp(A,2) = Sp(A) Sp(A1).

ЛИТЕРАТУРА 1. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971.

2. Bttcher A., Silbermann B. Analysis of Toeplitz operators. Berlin; Heidelberg; New York:

Springer-Verl., 1990.

3. Hagen R., Roch S., Silbermann B. Spectral theory of approximation methods for convolution equations. Basel; Boston; Berlin: Birkhuser, 1995.

4. Bttcher A. Pseudospectra and singular values of large convolution operators // J. Integral Equations Appl. 1994. V. 6. P. 267–301.

.

5. Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. Проекционный метод в теории интегральных операторов с однородными ядрами // Мат. заметки. 2004. Т. 75, № 2. С. 163–172.

6. Авсянкин О. Г. О применении проекционного метода к парным интегральным операторам с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика. 2002. Т. 8. С. 3–7.

7. Авсянкин О. Г., Карапетянц Н. К. О псевдоспектрах многомерных интегральных операторов с однородными степени -n ядрами // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 6. С. 1199–1216.

.

8. Авсянкин О. Г., Деундяк В. М. О вычислении индекса многомерных интегральных операторов с биоднородными ядрами // Докл. РАН. 2003. Т. 391, № 1. С. 7–9.

9. Karapetiants N., Samko S. Equations with involutive operators. Boston; Basel; Berlin: Birkhuser, 2001.

10. М Дж. C-алгебры и теория операторов. М.: Факториал, 1997.

ерфи 11. Bttcher A., Grudsky S. M. Toeplitz matrices, asymptotic linear algebra and functional analysis. Boston; Basel; Berlin: Birkhuser, 2000.

Статья поступила 17 марта 2005 г.

Авсянкин Олег Геннадиевич Ростовский гос. университет, механико-математический факультет, ул. Зорге, 5, Ростов-на-Дону avsyanki@math.rsu.ru

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.