WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Май июнь, 2006. Том 47, № 3 УДК 517.9 МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С БИОДНОРОДНЫМИ ЯДРАМИ:

ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД И ПСЕВДОСПЕКТРЫ О. Г. Авсянкин Аннотация: Рассматриваются многомерные интегральные операторы с биоднородными и инвариантными относительно всех вращений ядрами. Для таких операторов получен критерий применимости проекционного метода в скалярном и матричном случаях и описано предельное поведение -псевдоспектров усеченных операторов A1,2 при 1 0, 2 0.

Ключевые слова: интегральный оператор, усеченный оператор, проекционный метод, спектр, псевдоспектр, C-алгебра.

Введение В современной теории интегральных операторов и в приложениях важную роль играют исследования, посвященные проекционным методам и изучению предельного поведения спектральных характеристик усеченных операторов [1–4]. Для многомерных интегральных операторов с однородными ядрами эти исследования отражены в работах [5–7].

В данной работе рассматриваются многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами. Эти операторы введены в работе [8], где для них построен операторнозначный символ, в терминах которого получены критерий н етеровости и топологическая формула для вычисления индекса. Основная цель данной работы получить критерий применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородными ядрами и исследовать связь между спектральными характеристиками исходного и усеченных операторов.

Работа состоит из четырех параграфов. В § 1 собраны необходимые предварительные сведения. В § 2 приводится критерий применимости проекционного метода к многомерным интегральным операторам с биоднородными ядрами в матричном и скалярном случаях. Доказательство этого критерия дано в § 3.

Отметим, что большинство утверждений этого параграфа являются этапами в доказательстве основного результата. В § 4 описывается предельное поведение псевдоспектров усеченных интегральных операторов с биоднородными ядрами.

Ниже использованы следующие обозначения: Rn n-мерное евклидово пространство; x = (x1,..., xn) Rn; |x| = x2 +... + x2 ; dx = dx1... dxn; n = 1 n {x Rn : |x| 1}; L(X) алгебра всех линейных ограниченных операторов, действующих в банаховом пространстве X; Sp(A) спектр оператора A L(X);

Ls(E) пространство s-мерных вектор-функций (x) = (1(x),..., s(x)) с компонентами из L2(E) и нормой s L (E) = j L (E).

s j=© 2006 Авсянкин О. Г.

502 О. Г. Авсянкин § 1. Предварительные сведения 1. Определение проекционного метода. Пусть X банахово пространство, A L(X), {P,2} (0 < 1, 2 < 1) семейство проекторов, действующих в X. Будем предполагать, что при 1 0, 2 0 семейство {P,2} сходится в сильной операторной топологии к единичному оператору.

Определение 1.1. Будем говорить, что к оператору A применим проекционный метод по системе проекторов {P,2} при 1 0 и 2 0 (и писать A {P,2}), если 1) существуют такие числа 1, 2 (0, 1), что при всех 0 < 1 < 1 и 0 < 2 < 2 для любого y X уравнение P,2AP,2x = P,2y имеет единственное 1 1 решение x,2 P,2X;

1 2) при 1 0 и 2 0 решение x,2 стремится по норме пространства X к решению x X уравнения Ax = y.

Определение 1.1 эквивалентно тому, что оператор A обратим, при 0 < 1 < 1 и 0 < 2 < 2 операторы P,2AP,2 как операторы, действующие в P,2X, 1 1 обратимы и операторы (P,2AP,2)-1P,2 при 1 0 и 2 0 сильно схо1 1 дятся к A-1.

2. Операторы K, P, R. В пространстве Ls( n) рассмотрим оператор (K)(x) = k(x, y)(y) dy, x n, (1.1) n предполагая, что элементы матрицы-функции k(x, y) = (kj (x, y))s опредеj, =лены на Rn Rn и удовлетворяют следующим условиям:

1) однородность степени (-n), т. е.

kj (x, y) = -nkj (x, y) > 0;

2) инвариантность относительно группы SO(n) вращений пространства Rn, т. е.

kj ((x), (y)) = kj (x, y) SO(n);

3) суммируемость, т. е.

|kj (e1, y)||y|-n/2 dy <, e1 = (1, 0,..., 0).

Rn Теория таких операторов достаточно полно изложена в монографии [9].

В частности, показано, что оператор K ограничен в Ls( n).

Далее, определим в пространстве Ls( n) проектор P (0 < < 1) формулой (x), < |x| < 1, (P )(x) = (1.2) 0, |x|.

Нетрудно видеть, что s- lim P = I. Рассмотрим также оператор R (0 < < 1), который зададим равенством n/2 x, < |x| < 1, |x|2 |x|(R )(x) = (1.3) 0, |x|.

В [7] установлены следующие свойства оператора R :

1) R = P, P R = R P = R ;

2) R = 1;

3) операторы R и R слабо сходятся к нулю при 0.

Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами Предложение 1.1. Если K оператор вида (1.1), то R KR = P KP, где оператор K определяется равенством (K)(x) = k(y, x)(y) dy, x n.

n Из предложения 1.1, в частности, следует, что s- lim R KR = K.

§ 2. Критерий применимости проекционного метода В пространстве Ls( n n ) рассмотрим оператор 2 1 (A)(x, y) = (x, y) + 1 k1(x, t)(t, y) dt n + 2 k2(y, t)(x, t) dt + k3(x, t)k4(y, z)(t, z) dtdz, n2 n1 nгде, 1, 2 C, а элементы матрицы-функции kj(x, y) (j = 1, 2, 3, 4) удовлетворяют условиям 1–3 (степень однородности равна (-n1), если j = 1, 3, и (-n2), если j = 2, 4).

Используя тензорное произведение, запишем оператор A в виде A = (I1 I2) + 1(K1 I2) + 2(I1 K2) + (K3 K4), (2.1) где Kj (j = 1, 2, 3, 4) оператор вида (1.1), причем I1, K1, K3 действуют в Ls( n ), а I2, K2, K4 действуют в Ls( n ).

2 1 2 Наша задача получить критерий применимости к оператору A проекционного метода по системе проекторов {P P }, где P проектор (1.2), 1 2 j действующий в пространстве Ls( n ), j = 1, 2.

2 j В пространстве Ls( n n ) рассмотрим три оператора:

2 1 A1 = (I1 I2) + 1(K1 I2) + 2(I1 K2) + (K3 K4), (2.2) A2 = (I1 I2) + 1(K1 I2) + 2(I1 K2) + (K3 K4), (2.3) A12 = (I1 I2) + 1(K1 I2) + 2(I1 K2) + (K3 K4), (2.4) где Kj оператор вида (1.4). Учитывая, что s- lim P = Ij, и используя j jпредложение 1.1, получим s-lim (P P ) A (P P ) = A, (2.5) 1 2 1 s-lim (R P ) A (R P ) = A1, (2.6) 1 2 1 s-lim (P R ) A (P R ) = A2, (2.7) 1 2 1 s-lim (R R ) A (R R ) = A12, (2.8) 1 2 1 где R оператор вида (1.3), действующий в Ls( n ).

j 2 j Одним из основных результатов работы является следующая 504 О. Г. Авсянкин Теорема 2.1. Для того чтобы A {P P }, 1 необходимо и достаточно, чтобы операторы A, A1, A2, A12 были обратимы в L Ls( n n ).

2 1 Доказательство этой теоремы будет дано в § 3.

Установим теперь критерий применимости проекционного метода к скалярному оператору A, действующему в L2( n n ).

1 Следствие 2.1. Пусть A скалярный оператор вида (2.1). Для того чтобы A {P P }, необходимо и достаточно, чтобы операторы A и A1 (или A2) были обратимы в L(L2( n n )).

1 Доказательство. Рассмотрим оператор Uj : L2( n ) L2( n ), (Uj)(x) = (x), (2.9) j j где j = 1, 2. Очевидно, что Uj = Ij и UjKUj = K. Тогда (U1 U2)A12(U1 U2) = A.

Отсюда следует, что оператор A12 обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор A. Далее, несложно проверяется равенство ((U1 I2)A1(U1 I2)) = (I1 U2)A2(I1 U2), из которого вытекает одновременная обратимость операторов A1 и A2.

§ 3. Доказательство теоремы 2.Обозначим через F множество всех 1 семейств {B,2} операторов B,2, действующих в (P P ) Ls( n n ), таких, что 1 2 2 1 {B,2} := sup B,2 <. (3.1) 1 0<1,2<Относительно операций {B,2} + {C,2} := {B,2 + C,2}, {B,2}{C,2} := {B,2C,2}, 1 1 1 1 1 1 1 {B,2} := {B,2}, {B,2} := {B,2} 1 1 и нормы (3.1) множество F образует C-алгебру. Нетрудно видеть, что множество F0 = {{C,2} F : lim C,2 = 0} 1 является замкнутым двусторонним идеалом алгебры F. Тогда фактор-алгебра F/F0 является C-алгеброй, причем норма элемента {B,2} + F0 определяется равенством {B,2} + F0 F/F = lim B,2. (3.2) 1 0 Пусть A оператор вида (2.1). Положим A,2 = (P P )A(P P ). (3.3) 1 1 2 1 Следующее предложение хорошо известно в теории проекционных методов (см., например, [2, с. 278]).

Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами Лемма 3.1. Для того чтобы A {P P необходимо и достаточно, 1 }, чтобы оператор A был обратим в L Ls( n n ), а элемент {A,2} + F0 был 2 1 2 обратим в алгебре F/F0.

Обозначим через A наименьшую C-подалгебру C-алгебры F/F0, содержащую все элементы вида {A,2} + F0, где {A,2} семейство вида (2.1). Она 1 представляет собой замыкание по норме (3.2) множества A0 = (Aij),2 + F0, i j где суммы и произведения конечны. Поскольку C-алгебра A является наполненной подалгеброй C-алгебры F/F0, лемму 3.1 можно переформулировать следующим образом.

Лемма 3.2. Для того чтобы A {P P необходимо и достаточно, 1 }, чтобы оператор A был обратим в L Ls( n n ), а элемент {A,2} + F0 был 2 1 2 обратим в алгебре A.

Приступим к изучению условий обратимости в алгебре A.

Обозначим через K наименьшую C-подалгебру C-алгебры L Ls( n 2 n ), содержащую все операторы A вида (2.1). Пусть T множество всех компактных операторов, содержащихся в алгебре K. Очевидно, что T замкнутый двусторонний идеал алгебры K. Тогда фактор-алгебра K/T является C-алгеброй.

Лемма 3.3. Пусть {B,2} + F0 A. Тогда пределы B = s-lim (P P ) B,2(P P ), (3.4) 1 2 1 1 B1 = s-lim (R P ) B,2(R P ), (3.5) 1 2 1 1 B2 = s-lim (P R ) B,2(P R ), (3.6) 1 2 1 1 B12 = s-lim (R R ) B,2(R R ) (3.7) 1 2 1 1 существуют и принадлежат алгебре K.

Доказательство. Так как множество A0 всюду плотно в алгебре A, то доказательство достаточно провести, полагая, что B,2 = (Aij),2, 1 i j где Aij операторы вида (2.1). Тогда, используя (2.8), имеем B12 = s-lim (R R ) (Aij),2 (R R ) 1 2 1 1 i j = s-lim (R R )Aij(R R ) = (Aij)12.

1 2 1 i j i j Аналогично с использованием (2.5)–(2.7) доказывается, что B = Aij, B1 = (Aij)1, B2 = (Aij)2.

i j i j i j 506 О. Г. Авсянкин Очевидно, что все четыре предела принадлежат алгебре K.

Далее, рассмотрим множество I = {{B,2} + F0 A : B,2 = (P P )T (P P ) 1 1 1 2 1 + (R P )T1(R P ) + (P R )T2(P R ) 1 2 1 2 1 2 1 + (R R )T12(R R ), где T, T1, T2, T12 T}.

1 2 1 Лемма 3.4. Множество I является замкнутым двусторонним идеалом алгебры A.

Доказательство аналогично доказательству предложения 7.9 книги [2].

Из леммы 3.4 вытекает, что фактор-алгебра A/I является C-алгеброй. Это позволяет получить следующее условие обратимости в алгебре A.

Лемма 3.5. Пусть {B,2} + F0 A. Элемент {B,2} + F0 обратим в ал1 гебре A тогда и только тогда, когда операторы B, B1, B2, B12, определяемые формулами (3.4)–(3.7), обратимы в L(L2( n n )) и элемент {B,2} + F0 + I 1 2 обратим в алгебре A/I.

Доказательство. 1. Пусть элемент {B,2} + F0 обратим в алгебре A.

Это означает, что существуют такие 1, 2 (0, 1), что для всех 0 < 1 < и 0 < 2 < 2 операторы B,2, действующие в (P P ) Ls( n n ), 1 1 2 2 1 обратимы и - B,M := sup <.

0<1<0<2<Докажем, что операторы B, B1, B2 и B12 обратимы. Покажем, например, что обратим оператор B12. Для всех 0 < 1 < 1, 0 < 2 < 2 и для любой функции L2( n n ) имеем 1 -(P P ) = (R R )B,2(R R ) (R R )B,2(R R ).

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 Отсюда следует, что (P P ) 2 M (R R )B,2(R R ) 2.

1 2 1 2 1 1 Переходя к пределу при 1 0, 2 0 и учитывая (3.7), получим неравен ство 2 M B12 2. Аналогично устанавливается, что 2 M B12 2.

Следовательно, оператор B12 обратим. Обратимость операторов B, B1 и Bдоказывается аналогично с учетом (3.4)–(3.6).

Наконец, из обратимости элемента {B,2}+F0 в алгебре A сразу вытекает обратимость элемента {B,2} + F0 + I в фактор-алгебре A/I.

2. Обратно, пусть обратимы операторы B, B1, B2, B12 и элемент {B,2} + F0 + I. Тогда найдется такой элемент {D,2} + F0 A, что B,2D,2 = P P + (P P )T (P P ) 1 1 1 2 1 2 1 + (R P )T1(R P ) + (P R )T2(P R ) 1 2 1 2 1 2 1 + (R R )T12(R R ) + C,2, (3.8) 1 2 1 2 где T, T1, T2, T12 T, а {C,2} F0. Так как операторы R P, P R и 1 1 2 1 R R слабо сходятся к нулю при 1 0, 2 0, а T1, T2 и T12 компактные 1 операторы, то операторы T1(R P ), T2(P R ) и T12(R R ) сильно 1 2 1 2 1 сходятся к нулю. Поэтому, переходя в (3.8) к пределу в сильной операторной топологии при 1 0, 2 0, получим BD = I + T, где I = I1 I2.

Многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами Далее, умножая равенство (3.8) слева и справа на R P, учитывая, что 1 R = P, и переходя к пределу при 1 0, 2 0, получим B1D1 = I + T1.

j j Аналогично доказывается, что B2D2 = I + T2, B12D12 = I + T12. Нетрудно видеть, что операторы -L := B-1 - D, L1 := B1 - D1, (3.9) -1 -L2 := B2 - D2, L12 := B12 - Dпринадлежат T. Положим D,2 = D,2 + (P P )L(P P ) + (R P )L1(R P ) 1 1 2 1 2 1 2 1 + (P R )L2(P R ) + (R R )L12(R R ).

1 2 1 2 1 2 1 Учитывая формулу (3.8), имеем B,2D,2 = P P + (P P )(T + B,2L)(P P ) 1 1 2 1 2 1 1 + (R P )(T1 + (R P )B,2(R P )L1)(R P ) 1 2 1 2 1 1 2 1 + (P R )(T2 + (P R )B,2(P R )L2)(P R ) 1 2 1 2 1 1 2 1 + (R R )(T12 + (R R )B,2(R R )L12)(R R ) + C,1 2 1 2 1 1 2 1 2 = P P + (P P )(T + BL)(P P ) 1 2 1 2 1 + (R P )(T1 + B1L1)(R P ) 1 2 1 + (P R )(T2 + B2L2)(P R ) 1 2 1 + (R R )(T12 + B12L12)(R R ) + C,2 + C,2, 1 2 1 2 где {C,2} F0. Используя равенства (3.9), получаем B,2D,2 = P P + C,2 + C,2.

1 1 2 1 Последнее означает, что элемент {D,2} + F0 является правым обратным для {B,2} + F0. Аналогично доказывается обратимость слева.

Лемма 3.6. Отображение : A/I K/T, {B,2} + F0 + I B + T, где B = s-lim B,2, является изометрическим -изоморфизмом.

Доказательство. Сначала покажем, что отображение определено корректно. Для этого предварительно докажем, что для любого элемента {B,2}+ F0 + I A/I справедливо неравенство B + T K/T {B,2} + F0 + I A/I. (3.10) В самом деле, по определению фактор-нормы для любого > 0 найдется такой элемент {D,2} + F0 = {(P P )T (P P ) + (R P )T1(R P ) 1 1 2 1 2 1 2 1 + (P R )T2(P R ) + (R R )T12(R R )} + F0, 1 2 1 2 1 2 1 принадлежащий I, что {B,2 + D,2} + F0 A < {B,2} + F0 + I A/I +.

1 1 508 О. Г. Авсянкин Учитывая определение нормы в алгебре A (см. (3.2)), имеем lim B,2 + D,2 < {B,2} + F0 + I A/I +. (3.11) 1 1 Поскольку B + T = s-lim (B,2 + D,2), то 1 B + T lim B,2 + D,2. (3.12) 1 Применяя (3.12) и (3.11), получаем {B,2} + F0 + I A/T +.

B + T K/T B + T < Отсюда в силу произвольности приходим к (3.10).

Пусть теперь {B,2} + F0 + I = {B,2} + F0 + I. В силу (3.10) имеем B - B + T K/T = 0. Следовательно, B - B T. Но тогда B + T = B + T. Это и доказывает, что отображение определено корректно.

Непосредственно проверяется, что отображение -гомоморфизм.

Покажем, что сюръективное отображение. Заметим, что множество (A/I)0 = (Aij),2 + F0 + I, i j где Aij оператор вида (2.1), а суммы и произведения конечны, всюду плотно в алгебре A/I. Тогда справедливо вложение ((A/I)0) (A/I) K/T. (3.13) Поскольку множество ((A/I)0) = Aij + T i j всюду плотно в алгебре K/T, переходя в (3.13) к замыканию, получаем, что (A/T) = K/T. Так как образ -гомоморфизма всегда замкнут (см., например, [10, с. 106]), то (A/T) = K/T.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.