WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Отсюда, поскольку V (l + T ) = V (l), выводим равенство (3.5).

Лемма доказана.

Ввиду принятых обозначений для каждого l = 0, 1,..., T - 1 матричная последовательность {Y (n, l)} удовлетворяет равенствам Y (n + 1, l) = A(n)Y (n, l), n l, Y (l, l) = I.

Поэтому каждую из матриц Y (l + T, l) = A(l + T - 1)... A(l + 1)A(l), l = 0, 1,..., T - 1, можно рассматривать в качестве матрицы монодромии возмущенной системы (1.6), если считать n l. Но поскольку условие (2.5) на матрицу возмущения B(n) обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (1.6), то вследствие спектрального критерия для любого l = 0, 1,..., T -1 спектр матрицы Y (l + T, l) принадлежит единичному кругу {|| < 1}. Следовательно, дискретные уравнения Ляпунова Y (l + T, l)V Y (l + T, l) - V = -D(l), l = 0, 1,..., T - 1, однозначно разрешимы, и тогда в силу леммы 3.1 вытекает представление V (l) = (Y (l + T, l))kD(l)(Y (l + T, l))k, l = 0, 1,..., T - 1. (3.6) k=Для получения оценки (3.3) будем использовать формулу (3.6). Учитывая ее, очевидно, имеем V (l) = max | V (l)u, u | = max | D(l)(Y (l + T, l))ku, (Y (l + T, l))ku |. (3.7) u =1 u =k=502 К. Айдын, А. Я. Булгаков, Г. В. Демиденко Используя обозначение матрицы D(l), получим | V (l)u, u | | C(l)(Y (l + T, l))ku, (Y (l + T, l))ku | k= + | C(l + 1)Y (l + 1, l)(Y (l + T, l))ku, Y (l + 1, l)(Y (l + T, l))ku | k= + · · · + | C(l + T - 1)Y (l + T - 1, l)(Y (l + T, l))ku, Y (l + T - 1, l)(Y (l + T, l))ku | k= cmax (Y (l + T, l))ku, (Y (l + T, l))ku k= + cmax Y (l + 1, l)(Y (l + T, l))ku, Y (l + 1, l)(Y (l + T, l))ku k= + · · · + cmax Y (l + T - 1, l)(Y (l + T, l))ku, Y (l + T - 1, l)(Y (l + T, l))ku.

k= Следовательно, учитывая определение последовательности {H(l)}, будем иметь оценку | V (l)u, u | cmax H(l)u, u.

Возвращаясь к равенству (3.7), находим V (l) cmax max H(l)u, u = cmax H(l) cmax V (l) + cmax H(l).

u =В силу условия (2.5) 0 cmax < 1, поэтому отсюда непосредственно следует неравенство (3.3).

Теорема доказана.

Следствие. Предположим, что T -периодическая матрица возмущения B(n) удовлетворяет условию B(n) A(n) 2 + - A(n), 0 n T - 1. (3.8) 2 H(n + 1) Тогда имеют место оценки H(l) - H(l) amax max { B(i) }, l = 0, 1,..., T - 1, (3.9) H(l) 0iT -где amax = 2 max H(j + 1) A(j) + A(j) 2 +.

0jT -1 2 H(j + 1) Доказательство. В силу определения (2.4) матриц C(n) и условия (3.8), очевидно, имеем C(n) 1/2, n 0, т. е. условие (2.5) выполнено. Тогда, поскольку неравенство (3.3) будет выполняться, получим H(l) - H(l) 2cmax H(l) 2 max { B(j) H(j + 1) (2 A(j) + B(j) )} H(l).

0jT -Учитывая (3.8), придем к (3.9).

Из теоремы 2.4 и следствия вытекает Асимптотическая устойчивость Теорема 3.2. Пусть A(n) = A, B(n) = B, n 0, и матрица H решение дискретного уравнения Ляпунова AHA - H = -I. Если B < A 2 + - A, 2 H то дискретное уравнение Ляпунова (A + B)H(A + B) - H = -I однозначно разрешимо и для решения H справедлива оценка H - H 2 B H A + A 2 +.

H 2 H § 4. Непериодические возмущения систем разностных уравнений Рассмотрим теперь возмущенную линейную систему разностных уравнений (1.6):

y(n + 1) = (A(n) + B(n))y(n), n 0, где B(n) произвольная (N N)-матрица. В следующей теореме мы даем достаточные условия на матрицу возмущения B(n), при которых нулевое решение системы (1.6) будет асимптотически устойчивым.

Теорема 4.1. Пусть {H(l)} последовательность матриц, построенная для системы (1.1) по формуле (1.3). Предположим, что для последовательности матриц {C(n)}, C(n) = A(n)H(n + 1)B(n) + B(n)H(n + 1)A(n) + B(n)H(n + 1)B(n), выполнены условия 1 - C(j) C(n) 1, n 0, =. (4.1) H(j) j=Тогда нулевое решение системы (1.6) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Пусть {y(n)} произвольное решение системы (1.6).

Рассмотрим форму H(n + 1)y(n + 1), y(n + 1). Учитывая, что {H(l)} удовлетворяет соотношениям (1.5), как при доказательстве теоремы 2.1, будем иметь H(n + 1)y(n + 1), y(n + 1) = H(n)y(n), y(n) - y(n), y(n) + C(n)y(n), y(n).

Поскольку H(n) 1, в силу условия (4.1) 1 - C(n) 0 1, n 1.

H(n) Тогда, используя неравенство H(n)v, v H(n) v 2, получим n 1 - C(j) H(n + 1)y(n + 1), y(n + 1) 1 - H(0)y(0), y(0) H(j) j=504 К. Айдын, А. Я. Булгаков, Г. В. Демиденко n 1- C(j) H(j) j= e H(0)y(0), y(0).

Следовательно, учитывая условие (4.1), имеем, что H(n)y(n), y(n) 0, n.

Поскольку матрицы H(l) положительно определены и последовательность {H(l)} периодическая, отсюда вытекает асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (1.6).

Теорема доказана.

Заметим, что если возмущение B(n) является T -периодическим и C(n) < 1, n 0, то, как следует из теоремы 2.2, нулевое решение системы (1.6) асимптотически устойчиво. Так как матричная последовательность {H(n)} является T -периодической, в этом случае последовательность {C(n)} также T -периодическая, поэтому условие (4.1) будет выполнено. Следовательно, теорему 4.можно рассматривать как обобщение теоремы 2.2 на случай не T -периодических возмущений.

Из доказательства теоремы 4.1, очевидно, вытекает, что в первой части условия (4.1) достаточно потребовать выполнения неравенства C(n) 1 начиная с некоторого номера n0. В следующих двух примерах, на первый взгляд мало отличающихся друг от друга, покажем, насколько существенной является вторая часть условия (4.1) для асимптотической устойчивости.

Пример 4.1. Рассмотрим разностное уравнение n + y(n + 1) = y(n), n 0.

n + Имеем n + 1 A(n) = 0, B(n) = = 1 -.

n + 2 n + Поэтому H(n) = 1, C(n) = B2(n) = 1 -.

n + Очевидно, n n n 2 (1 - C(j)) = -, n, j + 2 (j + 2)j=0 j=0 j=т. е. условие (4.1) выполнено. Поэтому нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво.

Пример 4.2. Рассмотрим разностное уравнение (n + 1)(n + 3) y(n + 1) = y(n), n 0.

(n + 2)Имеем (n + 1)(n + 3) A(n) = 0, B(n) = = 1 -.

(n + 2)2 (n + 2)Поэтому H(n) = 1, C(n) = B2(n) = 1 -.

(n + 2)Асимптотическая устойчивость Очевидно, n n n 2 (1 - C(j)) = -, (j + 2)2 (j + 2)j=0 j=0 j= и ряд (1 - C(j)) сходится, т. е. условие (4.1) не выполнено и теорема 4.1 не j=дает ответа об асимптотической устойчивости решений. Покажем, что нулевое решение не является асимптотически устойчивым.

Из явного вида решения n- y(n) = 1 - y(0), n 0, (j + 2)j=имеем n- ln|y(n)| = ln 1 - + ln|y(0)|, n 0.

(j + 2)j= 1 1 Учитывая, что ln 1 - = O, l, и ряд сходится, получаем l2 l2 llсуществование предела lim ln|y(n)| = a.

n Значит, нулевое решение уравнения является устойчивым, но не асимптотически устойчивым.

Следующая теорема является дискретным аналогом теоремы Левинсона [9].

Теорема 4.2. Пусть A(n) 0, n 0, и для матрицы возмущения B(n) выполнено условие B(l) <. (4.2) l=Тогда нулевое решение системы (1.6) асимптотически устойчиво и для ее решений имеют место оценки n/n y(n) 1 - eb (M(A, T ))1/2 y(0), n > 0, (4.3) M(A, T ) где n- M(A, T ) bn = B(l). (4.4) M(A, T ) - l=Доказательство. В силу T -периодичности матричных последовательностей {A(n)}, {H(l)} из условия (4.2) вытекает, что существует n0 0 такое, что для матриц C(n), определенных в теореме 4.1, будут выполнены неравенства C(n) c < 1, n n0. Очевидно также, что ряд 1 - C(j) H(j) j=расходится. Следовательно, по теореме 4.1 нулевое решение системы (1.6) асимптотически устойчиво. Докажем неравенство (4.3).

506 К. Айдын, А. Я. Булгаков, Г. В. Демиденко Пусть {y(n)} решение системы (1.6). Для него, очевидно, имеем n-1 n-1 n- y(n) = A(j) y(0) + A(j) B(l)y(l), n 0, j=0 l=0 j=l+где по определению - (l) = 0.

l=Отсюда следует, что n-1 n-1 n- A(j) B(l)y(l).

y(n) A(j) y(0) + j=0 l=0 j=l+Используя неравенства (1.4), получим n/ y(n) 1 - (M(A, T ))1/2 y(0) M(A, T ) (n-l-1)/n- + 1 - (M(A, T ))1/2 B(l) y(l). (4.5) M(A, T ) l=Поскольку A(n) 0, n 0, из определений (1.2), (1.3), очевидно, следует, что M(A, T ) > 1. Поэтому неравенство (4.5) можно переписать в виде -n/1 - y(n) (M(A, T ))1/2 y(0) M(A, T ) (-l-1)/n- + 1 - (M(A, T ))1/2 B(l) y(l) M(A, T ) l=или -n/1 - y(n) (M(A, T ))1/2 y(0) M(A, T ) -l/n- M(A, T ) + B(l) 1 - y(l).

M(A, T ) M(A, T ) - l=Тогда в силу дискретного неравенства Гронуолла (см., например, [3]) будем иметь -n/n 1 - y(n) eb (M(A, T ))1/2 y(0), M(A, T ) где bn определены в (4.4). Отсюда непосредственно вытекает оценка (4.3).

Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА 1. Айдын К., Булгаков А. Я., Демиденко Г. В. Числовые характеристики асимптотической устойчивости решений линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1227–1237.

.

2. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

Асимптотическая устойчивость 3. Elaydi S. N. An introduction to difference equations. New York: Springer-Verl., 1996.

4. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

5. Akin O., Bulgak H. Linear difference equations and stability theory. Selcuk University, Research Centre of Applied Mathematics, Konya, 1998. (in Turkish).

6. Bulgak H. Pseudoeigenvalues, spectral portrait of a matrix and their connections with different criteria of stability // Error Control and Adaptivity in Scientific Computing. Dordrecht:

Kluwer Acad. Publ., 1999. P. 95–124. (NATO Sc. Ser.).

7. Годунов С. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 1994.

8. Демиденко Г. В., Матвеева И. И. Об устойчивости решений линейных систем с периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42, № 2. С. 332–348.

.

9. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.

М.: Изд-во иностр. лит., 1958.

Статья поступила 31 мая 2001 г.

Айдын Кемал (Kemal Aydin), Булгаков Айдер Якубович (Haydar Bulgak) Research Centre of Applied Mathematics, Selcuk University, Konya, Turkey kaydin@selcuk.edu.tr, hbulgak@selcuk.edu.tr Демиденко Геннадий Владимирович Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск demidenk@math.nsc.ru

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.