WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

2. Ситуация 1 не имеет места, при этом начиная с некоторого номера iимеет место равенство (i) = sup j(i), где ji. Подставляя в (27) m = j, jji если (i) = j(i), j ji, или переходя в (27) при m = jp к пределу при Метод функционалов Ляпунова jp, если (i) = lim j (i), и учитывая r0 < 1, получим (i) -1(1 p jp r0)-1µ3(Li + i). Соотношение (26) доказано.

Обозначим через S замыкание множества {m(), m 0} в C[J]; очевидно, что S компакт на единичной сфере в C[J]. Поэтому множество E = H S компакт в метрике dist[(h1, 1), (h2, 2)] = sup |h1 - h2| + 1 - 2.

R 2. Поставим в соответствие каждой паре (h, ) E решение x(t, h, ) системы (15) с начальным значением и функцию v(t, h, ) значение функционала Vh(, t) при () = x(t +, h, ). Из очевидной оценки Vh(, t) 1 ||2 d, -a условий 1, 2 теоремы и леммы 3 следует, что v(t, h, ) > 0, v(t, h, ) 0, v(t, h, ) 0 (t 0). (28) Введем множества Mh, = {t 0 : v(t, h, ) < 0}. Нетрудно убедиться, что функция E R, определяемая формулой r(h, ) = inf Mh,, полунепрерывна сверху, поэтому ограничена сверху. Отсюда следует существование такого T > 0, что Mh, [0, T ] =, (h, ) E. (29) Обозначим T -v(t, h, ) F (h, ) = dt. (30) v(t, h, ) В силу (28), (29), непрерывной зависимости на [0, T ] решений системы (15) от коэффициентов и начальных данных (лемма 4) и функционала Vh от (h, ) формула (30) задает непрерывное отображение F : E (0, ). Так как E компакт, имеем 0 = inf F (E) > 0. (31) 3. Обозначим t V (x, ) I(t) = d, t > 0, V (x, ) где x(t) исходное решение системы (1), V функционал (4). Пусть t [mT, (m + 1)T ]. Тогда kT m V (x, ) I Ik, Ik = d (32) V (x, ) k=(k-1)T (учтено, что подынтегральная функция неположительна). Разделим числитель и знаменатель дроби в (32) на x 2 и выполним замену + (k - 1)T. После вычислений получим Ik = -F (hk, k), (33) где (hk, k) = [(A, B, )t= +(k-1)T, x(k-1)T x(k-1)T -1] E. Из (31)–(33) следует оценка -I(t) -m0 0(-T t + 1).

Далее, вычисляя интеграл I(t) и оценивая V (xt, t), V (x0, 0) соответственно снизу и сверху с помощью оценок (10), получим аналогично (11) неравенство |x(t)| - xt µ0 exp(-(2T )-10t) x0, µ0 = c0 exp(0/2). (34) 452 Р. К. Романовский, Г. А. Троценко Выберем число так, что 0 < < min{(2T )-10, a-1 ln -1}. Тогда тем более |x(t)| - xt µ0 exp(-t) x0. (35) Покажем, что верна оценка (7) с такой константой и некоторой µ = µ().

Рассмотрим снова функции m(), m 0, и пусть tm [(m - 1)a, ma] таково, что m = |x(tm)|. Подставляя в (35) t = tm, с учетом неравенств xt m max{ m-1, m }, tm (m - 1)a получим m - max{ m-1, m } µ0e-a(m-1) x0. (36) Обозначим ym = |m x0 -1eam. Для обоснования оценки (7) достаточно показать, что последовательность ym ограничена. Зафиксируем m0 Z+. Из (36) следует, что ym - max{eaym-1, ym} µ0ea при любом m m0, поэтому тем более ym - 1 max{y0,..., ym } µ0ea, 1 = ea.

В силу выбора имеем 1 < 1. Подставляя значение m, на котором реализуется максимум, получим max{y0,..., ym } (1 - 1)-1µ0ea.

Так как правая часть не зависит от выбора m0, это неравенство доказывает теорему.

Замечание. В [6] для системы запаздывающего типа построение разрешающей пары (E, F ) в отличие от данной работы не привязано к конкретному решению. Это объясняется тем, что там была предпринята попытка получить оценку (7) с константами µ,, не зависящими от начальной функции x0. Попытка не реализовалась; причину авторы связывают с некомпактностью единичной сферы в C[J]. В данной работе компакт E строится сразу по фиксированному решению x(t, x0), поэтому µ, в (7) зависят от x0. При этом процедура построения пары (E, F ) существенно упростилась.

Отметим, что в частном случае системы запаздывающего типа (g = 0) оценка (34) является окончательной, для системы нейтрального типа (1) на скорость экспоненциального убывания влияет помимо начальной функции константа в оценке (2).

ЛИТЕРАТУРА 1. Добровольский С. М., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Об устойчивости решений линейных систем с почти периодической матрицей // Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 6.

С. 10–14.

2. Добровольский С. М., Романовский Р. К. Метод функций Ляпунова для почти периодических систем // Мат. заметки. 1997. Т. 62, № 1. С. 151–153.

3. Кириченова О. В., Котюргина А. С., Романовский Р. К. Метод функций Ляпунова для систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1996. Т. 37, № 1. С. 170–174.

.

4. Кириченова О. В. Об устойчивости решений нелинейных почти периодических систем разностных уравнений // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 1. С. 45–48.

.

5. Алексенко Н. В. Устойчивость решений почти периодических систем функциональнодифференциальных уравнений запаздывающего типа // Изв. вузов. Математика. 2000.

№ 2. С. 3–6.

Метод функционалов Ляпунова 6. Алексенко Н. В., Романовский Р. К. Метод функционалов Ляпунова для линейных дифференциально-разностных систем с почти периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 2. С. 147–153.

7. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

8. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

9. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.

10. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

Статья поступила 3 августа 2001 г., окончательный вариант 9 июля 2002 г.

Романовский Рэм Константинович, Омский гос. технический университет, кафедра высшей математики, пр. Мира, 11, Омск email@omgtu.omskelecom.ru, root@omgtu.omsk.su Троценко Галина Алексеевна Омский гос. технический университет, кафедра высшей математики, пр. Мира, 11, Омск

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.