WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Март апрель, 2003. Том 44, № 2 УДК 517.929 МЕТОД ФУНКЦИОНАЛОВ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО–РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Р. К. Романовский, Г. А. Троценко Аннотация: Предложен вариант прямого метода Ляпунова для систем указанного в заголовке класса, в котором условие на производную функционала вдоль траекторий системы ослаблено по сравнению с известными результатами для уравнений с произвольными непрерывными коэффициентами.

Ключевые слова: уравнение нейтрального типа, почти периодические коэффициенты, вариант прямого метода Ляпунова, асимптотическая и слабая экпоненциальная устойчивости, оболочка почти периодической матрицы, разрешающая пара В ряде работ [1–6] предложен вариант прямого метода Ляпунова для различных классов уравнений с почти периодическими коэффициентами, в котором условие на производную функции (функционала) Ляпунова вдоль траекторий системы ослаблено по сравнению с известными результатами для систем общего вида. В основе этих работ лежит следующее наблюдение. Для автономных систем = f(x), f(0) = 0, известен результат Е. А. Барбашина [7, гл. 1, § 3, с. 19], усиливающий теорему Ляпунова об асимптотической устойчивости: для того, чтобы решение x = 0 было асимптотически устойчивым, достаточно, чтобы существовала положительно определенная функция v(x) такая, что v(x) 0 и при этом поверхности уровня v(x) = const > 0 не содержат целых траекторий.

В работах [1, 2] замечено, что этот результат распространяется, с естественными видоизменениями в формулировке, на неавтономные системы = f(x, t) при условии, что правая часть системы, функция Ляпунова v(x, t) и ее частные производные первого порядка почти периодичны по t (в случае линейных систем речь идет об экспоненциальной устойчивости). Позднее в [3, 4] эти результаты были распространены на системы разностных уравнений, в [5, 6] на системы функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа.

Признаки устойчивости, полученные в указанных работах, являются новыми и в частном случае периодических коэффициентов.

В работе [1] центральным местом в обосновании признака устойчивости для системы = A(t)x с почти периодической матрицей A(t) является построение компакта E в прямом произведении фазового пространства CN и банахова пространства почти периодических матриц порядка N с равномерной на оси нормой, а также непрерывного отображения F : E (0, ); вытекающая отсюда оценка inf F (E) > 0 позволила построить экспоненциальную оценку для © 2003 Романовский Р. К., Троценко Г. А.

Метод функционалов Ляпунова нормы решения. Этот прием получил развитие в [3] для линейных разностных систем и в [6] для линейных дифференциально-разностных систем запаздывающего типа. В [6] схема построения разрешающей пары (E, F ) существенно усложнилась в связи с некомпактностью единичной сферы в пространстве начальных данных.

В данной работе предложенный в указанных работах вариант прямого метода Ляпунова распространен на линейные дифференциально-разностные системы нейтрального типа. Получен достаточный признак асимптотической устойчивости; при дополнительном условии, означающем, что система достаточно близка к системе запаздывающего типа, получен, как и в [6], достаточный признак слабой экспоненциальной устойчивости; термин слабая означает, что скорость экспоненциального убывания зависит от начального возмущения. Схема построения пары (E, F ) здесь существенно упрощена по сравнению с [6] (см. замечание в конце статьи).

Далее | · | эрмитова норма в CN, так же обозначается согласованная с ней матричная норма, a = const > 0, J = [-a, 0], C[J] банахово пространство непрерывных функций () : J CN с нормой = max ||. Рассмотрим систему d [x(t) - g(xt, t)] = f(xt, t), dt n f(xt, t) = A0(t)x(t) + Ak(t)x(t - ak), (1) k=n g(xt, t) = Bk(t)x(t - ak).

k=Здесь ak = const, 0 < a1 < · · · < an = a, xt() = x(t + ), J, Ak, Bk почти периодические матрицы порядка N, при этом n sup |Bk(t)| = const < 1. (2) R k=Под решением (1) понимается непрерывная функция x(t) : [-a, ) CN, удовлетворяющая при t 0 интегральному уравнению t [x() - g(x, )]t = f(x, ) d. (3) При условии (2) решение (3) однозначно определяется [8, гл. 12, 12.2] начальным условием x0(t) C[J].

Построим по набору почти периодических матриц 0(t),..., n(t) порядка N, где 0 гладкая, k = k, 1 · · · n, 1I k 2I, k = const > 0, функционал C[J] R R по формуле -ak- n V (, t) = [(0) - g(, t)] 0(t)[(0) - g(, t)] + () k(t + )() d (4) k=-ak (здесь a0 = 0). Производная функционала (4) вдоль траекторий системы (1) дается формулой p q V (xt, t) = F, F (t) =, (5) q r 446 Р. К. Романовский, Г. А. Троценко где = (x(t), x(t - a1),..., x(t - an))T, p = 0 + A 0 + 0A0 + 1, q = (q1,..., qn), qk = 0Ak - A 0Bk - 0Bk, r = (rij)n, (6) 0 rij = Bi 0Bj - A 0Bj - Bi 0Aj - ij[ i(t - ai) - j+1(t - aj)] i (здесь n+1 = 0, ij символ Кронекера).

Будем говорить, что решение x = 0 системы (1) слабо экспоненциально устойчиво, если для любого решения x(t) |x(t)| µ exp(-t) x0, t 0, µ = µ(x0), = (x0). (7) Решение x(t) будем называть существенно ненулевым, если xt > 0 при t 0;

остальные решения обращаются в нуль, начиная с некоторого момента t.

Теорема. Пусть существует набор матриц k с указанными выше свойствами такой, что 1) F (t) 0;

2) эрмитова форма (5) отлична от тождественного нуля на каждом суще ственно ненулевом решении: xt > 0 V (xt, t) 0.

Тогда решение x = 0 асимптотически устойчиво. Если, кроме того, константа в (2) столь мала, что (1 - )-1µ2 < 1, µ0 = (1 - )-1 [a + (1 + )2], (8) то решение x = 0 слабо экспоненциально устойчиво.

Доказательству теоремы предпошлем леммы 1–4.

Лемма 1. При условии 1 для любого решения уравнения (3) имеет место оценка |x(t)| µ0 x, 0 t, (9) где µ0 константа (8).

Доказательство. Из (4) следует, что 1(|(0)| - |g(, t)|)2 V (, t) 2[a + (1 + )2] 2. (10) При условии 1 для любого решения имеем V (xt, t) V (x, ) при t, поэтому из (10) при = xt с учетом |g(xt, t)| xt получим |x(t)| - xt c0 x, t, c0 = [a + (1 + )2]. (11) Зафиксируем 0, T >. Из (11) следует неравенство |x(t)| - max |x(s)| c0 x, t [, T ]. (12) [-a,T ] Если максимум достигается в точке s0 [ - a, ], то из (12) имеем |x(t)| (c0 + ) x.

Если s0 (, T ], то, подставляя в (12) t = s0, получим max |x(t)| (1 - )-1c0 x.

[-a,T ] Из последних двух неравенств и равенства max{c0+, (1-)-1c0} = (1-)-1c0 = µ0 следует оценка (9). Лемма доказана.

Метод функционалов Ляпунова Лемма 2. При условии 1 все решения уравнения (3) равномерно непрерывны на полуоси t 0.

Доказательство. В силу леммы 1 при условии 1 для любого решения x(t) и любого > () = sup |x( + ) - x()| <.

Покажем, что для любой последовательности i lim (i) = 0. (13) i Достаточно рассмотреть два случая.

(i). Существуют такие T > 0 и номер i0, что (i) при i i0 реализуется на [0, T ]. В этом случае (13) следует из равномерной непрерывности x(t) на [0, T ].

(ii). Ситуация (i) не имеет места, при этом начиная с некоторого номера (i) = sup |x( + i) - x()|.

i Из (3) легко получить при t 0 оценку |x(t + i) - x(t)| (i) + (Li + i) sup |x(t)|, (14) t-a где n n L = sup |Ak()|, i = sup |Bk( + i) - Bk()| k=0 k=(супремум берется по R). Так как почти периодическая функция ограничена и равномерно непрерывна на оси [9, гл. 1, § 1, с. 8], то L < и i при i. Подставляя в (14) t = 0, если (i) реализуется в точке 0 i, или переходя в левой части к пределу при tm, если (i) реализуется при tm, получим (i) (1 - )-1(Li + i) sup |x()|.

-a Ввиду ограниченности x(t) отсюда следует (13). Лемма доказана.

Рассмотрим матрицы A = (A0,..., An), B = (B1,..., Bn), = ( 0,..., n), (A, B, ). Обозначим через H = H(A, B, ) оболочку почти периодической матрицы (A, B, ), т. е. замыкание множества сдвигов в равномерной на оси метрике. В силу критерия Бохнера [9, гл. 1, § 2, с. 10] H компакт в банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций R Mat(N [3N + 2], C).

Для троек h = (A, B, T ) H выполняются указанные выше свойства тройки (A, B, ), включая неравенство (2). Поставим в соответствие каждой тройке h H систему d [x(t) - gh(xt, t)] = fh(xt, t) (15) dt и функционал Vh(, t), где fh, gh, Vh вычисляются по формулам (1), (4) с за меной (A, B, ) на (A, B, T ). Производная Vh(xt, t) вычисляется по формулам (5), (6) с такой же заменой.

448 Р. К. Романовский, Г. А. Троценко Лемма 3. Если тройка (A, B, ) удовлетворяет условиям 1, 2 теоремы, то каждая тройка h H удовлетворяет таким же условиям: Fh(t) 0, Vh(xt, t) на каждом существенно ненулевом решении системы (15).

Доказательство повторяет обоснование аналогичного утверждения из [6].

Рассмотрим наряду с системой (1) последовательность систем такого же вида d [x(t) - gm(xt, t)] = fm(xt, t), m = 1, 2,.... (16) dt m В следующей лемме предполагается, что коэффициенты (Ak, Bk), (Am, Bk ) сиk стем (1), (16) непрерывные на [-a, ) матрицы.

Лемма 4. Пусть x(t), xm(t) решения систем (1), (16) с начальными m функциями x0(t), x0,m(t). Если Am, Bk (Ak, Bk) на [-a, ) и x0,m(t) k x0(t) на J, то xm(t) x(t) на любом промежутке [0, T ].

Доказательство. Обозначим Ij = [ja1 - a, ja1], Jj = [ja1, (j + 1)a1], j = 0, 1, 2,.... Для обоснования утверждения леммы достаточно проверить,что xm(t) x(t) на Ij = xm(t) x(t) на Jj. (17) Пусть верно соотношение в левой части (17), t Jj. Тогда t - ai Ij, i = 1, n.

Интегрируя равенства (1), (16) по отрезку [ja1, t] и вычитая почленно, получим для m(t) = |x(t) - xm(t)| с учетом (9) оценку t m(t) rm + M m(s) ds, (18) jaгде n M = max |Ak|, rm = (1 + 2 + aM) max m(s) + µ0 x0 rm, Jj Ij k=n n m Bk - Bk, rm = a sup |Am - Ak| + 2 sup k k=0 k=супремум берется по [-a, ). С учетом соотношения в левой части (17) rm при m. Интегральный оператор в правой части (18) оставляет инвариантным конус неотрицательных функций в банаховом пространстве непрерывных функций Jj R и имеет спектральный радиус 0. Применяя теорему об операторном неравенстве в банаховом пространстве с конусом [10, с. 85], получим:

при t Jj m(t) rmeM(t-ja ) rmeaM 0 (m ).

Лемма доказана.

Доказательство теоремы. I. Из леммы 1 следует: при условии 1 теоремы решение x = 0 системы (1) устойчиво по Ляпунову. Покажем, что при условиях 1, 2 решение x = 0 асимптотически устойчиво: все решения x(t) стремятся к 0 при t +. Для этого покажем, что в противном случае существуют система (15) при некотором h H и решение y(t) этой системы такие, что Vh(yt, t) = const > 0, тем самым будет получено противоречие с леммой 3.

Предполагая противное, имеем, что для некоторой траектории x(t) системы (1) множество Z -предельных точек содержит хотя бы одну точку, отличную от нуля. Так как Z компакт в CN, существует наиболее удаленная от нуля точка Метод функционалов Ляпунова z0 Z: |z| |z0| для всех z Z. Пусть z0 реализуется на последовательности tm +: x(tm) z0 при m. Построим последовательность функций zm() = x(tm + ) C[J]. Так как в силу лемм 1, 2 и принципа компактности Арцела Асколи множество xt(), t 0, предкомпакт в C[J], то существует подпоследовательность zm (), сходящаяся в C[J] к некоторой функции z():

i dm = zm () - z() 0 при mi. Очевидно, что z() Z, при этом i i |z(0)| = |z0| = max |z()| = z().

J Обозначим v(t) = V (xt, t). Проверим справедливость неравенства v(t) [(1 - )|z0|]2, t 0. (19) В силу условия V 0 достаточно проверить (19) при t = tm со сколь угодно i большими номерами. Из левого неравенства (10) вытекает, что v(tm ) = V (zm, tm ) 1 [|zm (0)| - |g(zm, tm )| ]2.

i i i i i i Имеем |zm (0)| |z0| - dm, |g(zm, tm )| zm (|z0| + dm ), поэтому i i i i i i v(tm ) 1 [(1 - )|z0| - 2dm ]2, i i откуда ввиду dm 0 следует (19) при t = tm начиная с некоторого номера.

i i Из (19) с учетом монотонности v(t) следует: существует lim V (xt, t) = V0 > 0. (20) t+ i Рассмотрим последовательность троек hi = (Ai, Bi, ) H, получающуюся из тройки (A, B, ) заменой t на t + tm. Выделяя сходящуюся подпоследовательi ность и сохраняя для нее те же обозначения, получим hi h = (A, B, T ) H. (21) R Пусть y(t) решение системы (15) с коэффициентами A, B из h, отвечающее начальной функции z(), построенной выше. Так как функция xm (t) = i x(t + tm ) решение системы (16) с коэффициентами Ai, Bi из hi, отвечающее i начальной функции zm (), то в силу (21), сходимости zm - z 0 и леммы i i выводим, что x(t + tm ) y(t) на любом отрезке [0, T ]. (22) i Пусть Vh(, t) функционал, вычисляемый по формуле (4) с заменой (B, ) на (B, T ) из h. Имеем Vh(yt, t) = ai(t) + bi(t) + ci(t), (23) где ai = Vh(yt, t) - Vh (yt, t), bi = Vh (yt, t) - Vh (xt+t, t), ci = Vh (xt+t, t). Из i i i mi i mi определения функционала Vh(, t) при любом h H следует: если hi h в H и i в C[J], то Vh (i, t) Vh(, t) при каждом t R. Поэтому переход i к пределу в (23) при i с учетом (20)–(22) и равенства Vh (xt+t, t) = i mi V (xt+t, t + tm ) дает: V (yt, t) = V0 > 0, что противоречит лемме 3. Первая mi i часть утверждения теоремы доказана.

II. Покажем, что при условиях 1, 2 и (8) для всех решений системы (1) имеет место оценка (7). Пусть x(t) существенно ненулевое решение системы 450 Р. К. Романовский, Г. А. Троценко (1). Обозначим m() = x(ma + ), J, m = 0, 1, 2,.... Из неравенства (8) следует: существует такое 0 (0, 1), что r0 = -1(1 - )-1µ2 < 1. (24) 0 Возможны два случая:

1) для любой последовательности номеров mk выполняется неравенство m · m -1 < 0;

k k-2) существует последовательность mk такая, что m · m -k k-0.

В первом случае оценка (7) очевидна. Далее в пп. 1–3 показано, что оценка (7) имеет место и во втором случае.

1. В случае 2 имеет место неравенство m · m-1 -1 0µ-2, m > m1. (25) В самом деле, в силу (9) имеем i µ0 j при i > j. Пусть mk m - 1, m mk+1. Если оба неравенства строгие, то, представляя левую часть (25) в виде произведения чисел m · m -1, m · m -1, m · m-1 -1, k+1 k+1 k k получим требуемое, в остальных случаях оценка сохраняется ввиду µ0 > 1.

Покажем, что при условиях (8), (25) функции m = m m -1, m 0, равностепенно непрерывны на J. Очевидно, достаточно считать m m1. Зафиксируем (0, a) и обозначим m() = sup |m(1) - m(2)|, m() = sup |m(1) - m(2)|, 1,2 1,j J, |1 - 2| =, и пусть () = sup j(). Покажем, что jmi 0 = (i) 0. (26) Из (3) с учетом (2), (9) легко получить: при любых 1, 2 J, |1 - 2| = i, |m(1) - m(2)| [m-1(i) + m(i)] + µ0(Li + i) m-1, где L, i константы из (14). После почленного деления на m получим |m(1) - m(2)| m(i) + [m-1(i) + µ0(Li + i)] m-1 · m -1, откуда с учетом (25) и m-1(i) (i) следует, что m(i) r0(i) + -1µ3(Li + i), m > m1, (27) 0 где r0 константа (24). Достаточно, как при доказательстве леммы 2, рассмотреть две возможности.

1. Существуют такие номера i0, j0 m1, что (i) при i i0 реализуется на одной из функций j(), m1 j j0. В этом случае (26) следует из равностепенной непрерывности на J конечного числа функций j.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.