WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Сибирский математический журнал Март апрель, 2004. Том 45, № 2 УДК 512.542 АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ БЭРА ––– СУЗУКИ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНЫХ ГРУПП А. С. Мамонтов Аннотация: Доказано, что если в группе нет бесконечно возрастающих цепочек нильпотентных подгрупп и любые два элемента из сопряженного класса порождают нильпотентную подгруппу, то и весь класс будет порождать нильпотентную подгруппу.

Ключевые слова: группа, нильпотентная группа, теорема Бэра Сузуки, класс сопряженности.

1. Введение Известная теорема Бэра гласит: если группа G конечна и порождается энгелевыми элементами, то G нильпотентна [1, теорема III 6.14]. Важным следствием этого результата является Утверждение (). Пусть x p-элемент конечной группы G, тогда x Op(G) в том и только в том случае, если xg, xh p-группа для всех g, h G (здесь Op(G) максимальная нормальная p-подгруппа группы G).

В [2] М. Сузуки получил другое доказательство () и использовал этот результат при исследовании некоторых свойств инволюций в конечных группах (в связи с этим утверждение () известно как теорема Бэра Сузуки). Позднее более короткое и доступное доказательство () было получено в [3], а сама эта теорема применялась в теории конечных разрешимых групп [4] и при классификации конечных простых групп [5]. Важным практическим следствием теоремы Бэра Сузуки является утверждение о том, что в простой группе G любая инволюция обращает некоторый неединичный элемент нечетного порядка [3].

По теореме Бернсайда Виландта конечная группа нильпотентна тогда и только тогда, когда она является прямым произведением своих силовских подгрупп. В связи с этим теорему Бэра Сузуки можно переформулировать таким образом.

Пусть C класс сопряженности конечной группы G. Если любые два элемента из C порождают нильпотентную группу, то и C порождает нильпотентную группу.

Настоящая работа посвящена некоторому обобщению этой модернизированной теоремы Бэра Сузуки.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02–01–00495) и программы Университеты России (грант УР.04.01.028).

© 2004 Мамонтов А. С.

Аналог теоремы Бэра Сузуки для бесконечных групп Теорема 1. Пусть G группа, в которой нет бесконечно возрастающих цепочек нильпотентных подгрупп. Пусть x G и для любого g G подгруппа x, xg нильпотентна, тогда xG нильпотентна.

Отметим, что если отказаться от ограничений на группу в условии теоремы 1, то нельзя рассчитывать даже на то, что соответствующая группа xG будет локально нильпотентна. В качестве примера можно рассмотреть группу Голода с тремя порождающими [6, пример 18.3.2].

Доказательство теоремы 1 опирается на следующий результат.

Теорема 2. Пусть G группа, N нильпотентная нормальная подгруппа в G, x1,..., xn элементы группы G, порождающие нильпотентную подгруппу K, и G = N, x1,..., xn. Группа G нильпотентна тогда и только тогда, когда для любого i = 1,..., n подгруппа N, xi нильпотентна.

2. Доказательство теоремы Пусть G = N, x1,..., xn, где N нормальная нильпотентная подгруппа группы G, элементы x1,..., xn порождают нильпотентную подгруппу K и подгруппы N, xi нильпотентны, i = 1,..., n.

Пусть x некоторый элемент из набора {x1,..., xn}, скажем, x = x1. Определим по индукции цепочку субнормальных подгрупп группы G:

G0 G1 G2 · · · Gi..., (1) i где G0 = G, Gi+1 = N xG, и цепочку субнормальных подгрупп группы K:

K0 K1 K2 · · · Ki..., (2) i где K0 = K, Ki+1 = xK.

Очевидно, что для всех i выполняются включения N x Gi, x Ki.

Кроме того, Gi = NKi. Установим это равенство индукцией по i. Пусть равенство верно при i = j, т. е. Gj = NKj. Покажем, что тогда Gj+1 = NKj+1.

Пусть g = nk произвольный элемент из Gj, где n N, k Kj. Тогда xg = xnk = [n, x-1]kxk = n1xk, где n1 N. Так как по построению j j Gj+1 = N xG, Kj+1 = xK, то произвольный элемент из Gj+1 имеет вид nxg, где n N, g Gj. По доказанному nxg = nn1xk = n2k1, где n2 = nn1 N, k1 = xk Kj+1. Следовательно, Gj+1 NKj+1. Обратное включение очевидно.

Покажем, что ряд (2) (соответственно ряд (1)) сойдется за конечное число шагов, точнее, дойдет до Ks = x, s целое (ряд (1) до Gs = N x ).

Так как в произвольной нильпотентной группе F ступени нильпотентности s ряд последовательных нормализаторов достигает F не позже чем через s шагов [6, теорема 16.2.2], ряд последовательных нормализаторов подгруппы x нильпотентной группы K достигнет K за конечное число шагов:

K = Hs Hs-1 · · · H1 = x, где Hi+1 = NK(Hi).

Покажем индукцией по j, что Kj Hs-j. Пусть утверждение верно при j = i, т. е. Ki Hs-i. Покажем, что тогда Ki+1 Hs-(i+1). Пусть y 1 m Ki+1, тогда y = xc... xc, где c1,..., cm Ki Hs-i. По построению Hs-i = j NK(Hs-(i+1)), поэтому для всех j имеем Hs-(i+1)c = Hs-(i+1). Так как x j Hs-(i+1), то для всех j выполняется включение xc Hs-(i+1), а следовательно, 396 А. С. Мамонтов y Hs-(i+1), что и требовалось. Из полученных включений следует сходимость ряда (2), а значит, и сходимость ряда (1), которую мы и хотели доказать.

Покажем теперь, что G1 нильпотентная группа. Для этого рассмотрим укороченный ряд (1):

G0 G1 G2 · · · Gs = N x. (3) Будем доказывать нильпотентность группы G1 индукцией по длине ряда (3).

При s 1 утверждение тривиально. Пусть s > 1. По предположению индукции подгруппа G2 нильпотентна. Рассмотрим следующий фрагмент ряда (3):

G0 = G G1 = N xG G2 = N xG.

Вспомним, что G1 = NK1, а K1 подгруппа нильпотентной конечнопорожденной группы K. Следовательно, подгруппа K1 порождается конечным числом элементов d1,..., dr (cм., например, [7, следствие 2.5.6, предложение 2.5.7 ]), каждый из которых представляется в виде произведения конечного чисi ла элементов вида xc, где ci K, так как по построению K1 = xK. Очевидно, i что все эти элементы xc (подчеркнем, что их конечное число) порождают под1 m группу K1, т. е. K1 = xc,..., xc, где ci K и m некоторое натуральное 1 m число. Тогда G1 = N xc,..., xc.

Попробуем теперь сконструировать G1 из уже имеющихся у нас кирпичиков нильпотентных подгрупп, сохраняя при построении свойство нильпотентi ности. А именно, рассмотрим произведение групп NGc и обозначим его через 1 2 m D = NGc NGc... NGc.

2 2 i i 1 m Очевидно, что xc NGc, поэтому xc,..., xc, N D, откуда следует, что D = G1. С другой стороны, сопрягая обе части соотношения G2 Gi элементами ci G, получим, что Gc нормальные нильпотентные подгруппы в G1, а следовательно, по теореме Фиттинга [6, теорема 16.2.12] D = Gнильпотентная группа.

Итак, мы доказали, что N xG, где x = x1 нормальная нильпотентная подгруппа группы G. Полагая последовательно x = x2,..., x = xn, получим, что N xiG нормальные нильпотентные подгруппы в G для всех i = 1,..., n. По теореме Фиттинга произведение F = N x1G... N xnG нильпотентно. С другой стороны, очевидно, что F N {x1,..., xn}, но по условию G = N x1,..., xn, поэтому F = G. Следовательно, G нильпотентная группа.

Теорема доказана.

3. Доказательство теоремы Пусть G группа, в которой нет бесконечно возрастающих цепочек нильпотентных подгрупп. Пусть x G и для любого g G подгруппа x, xg нильпотентна. Будем рассматривать подгруппы A и B группы G со следующими условиями:

(а) A и B нильпотентны;

(б) A и B порождаются элементами, сопряженными с x, т. е. A = x1,..., xn, B = y1,..., ym, где x1,..., xn, y1,..., ym xG;

(в) найдется такой элемент g G, что xg A B;

(г) A, B не нильпотентная группа;

(д) найдутся такие элементы a A\(A B) и b B\(A B), сопряженные с x, что A = A B xG, a, B = A B xG, b.

Аналог теоремы Бэра Сузуки для бесконечных групп Совокупность всевозможных различных таких пар подгрупп (A, B), удовлетворяющих условиям (а)–(д), обозначим через.

Рассмотрим сначала случай, когда =. Индукцией по n докажем, что все подгруппы вида x1,..., xn, где xi xG, нильпотентны. Тогда в силу условия теоремы цепочка нильпотентных подгрупп 1 1 n x < x, xg < · · · < x, xg,..., xg <...

рано или поздно оборвется (за конечное число шагов). При этом она захватит группу xG и тем самым утверждение теоремы будет доказано.

Отметим, что в силу условий теоремы индукционное утверждение верно при n = 2. Пусть n 2. Предположим противное, т. е. найдутся такие элементы x1,..., xn+1 xG (n 2) что подгруппа x1,..., xn+1 не нильпотентна.

Обозначим A = x1,..., xn, B = x2,..., xn+1. По предположению индукции A и B нильпотентны. Так как n 2, то A B x2,..., xn =. Пара (A, B) удовлетворяет всем условиям (а)–(д), а следовательно, лежит в. Получили противоречие.

В силу сказанного выше далее можно считать, что =.

Рассмотрим множество = { A B xG | (A, B) }. Отметим, что так как = и для элементов из справедливо свойство (в), то и =. Ча стично упорядочим отношением включения и покажем, что удовлетворяет условиям леммы Цорна. Рассмотрим цепь A1 B1 xG < A2 B2 xG < · · · < Am Bm xG <...

в и покажем, что она имеет верхнюю границу в.

Отметим, что для всех i пара (Ai, Bi) лежит в, а стало быть, подгруппа Ai нильпотентна, но Ai Bi xG Ai, поэтому для всех i подгруппа Ai Bi xG нильпотентна. По условиям теоремы в G не может быть бесконечно возрастающих цепочек нильпотентных подгрупп. Поэтому и наша цепочка стабилизируется на некотором номере n:

A1 B1 xG < A2 B2 xG < · · · < An Bn xG = An+1 Bn+1 xG =....

Ясно, что An Bn xG и есть искомая верхняя граница. Очевидно также, что она лежит в. По лемме Цорна в есть максимальный элемент. Пусть C = A B xG максимальный элемент в, (A, B) соответствующая ему пара элементов из.

Отдельно рассмотрим следующую ситуацию: C A, C B. В силу условия (д) найдутся такие элементы a A\(AB) и b B\(AB), сопряженные с x, что A = C, a, B = C, b. Вследствие условия (а) подгруппы C, a, C, b нильпотентны. Подгруппа a, b нильпотентна по условию теоремы. Ввиду предположения C A, B = C, a, b. По теореме 2 группа A, B нильпотентна, что противоречит условию (г).

Итак, C не может быть одновременно нормальной и в A, и в B. Пусть для определенности C не нормальна в A. Введем следующие обозначения:

D = NA(C), E = NA(D), CE = {cf | c C, f E}.

Отметим, что CE = C. В противном случае E NA(C) = D, а следовательно, E = D. Таким образом, в нильпотентной группе A найдется подгруппа D = {e}, для которой NA(D) = D, что возможно только в том случае, когда D = A, т. е.

C A. Мы же предполагаем, что это не так.

398 А. С. Мамонтов В силу сказанного существует z0 CE\C D\C. Тогда найдется s E 1 n i такой, что z0 = xf s... xf s C, где fi элементы из G такие, что xf C.

/ i i Среди номеров i найдется такой, что xf s A B, но xf s D, т. е. найдется / z D\C, который сопряжен с x. Так как z D, то C C, z.

Далее, если C B, то C C, B, z. Тогда поступаем, как мы уже делали выше: берем такой элемент b xG, который обеспечивается условием (д) и вместе с C порождает всю группу B, т. е. такой, что B = C, b. Согласно условию (а) подгруппа C, b нильпотентна; C, z нильпотентна как подгруппа нильпотентной группы A; подгруппа z, b нильпотентна по условию теоремы. Опять по теореме 2 получаем, что H = C, B, z = C, z, b нильпотентна. Отметим, что в силу справедливости условия (г) для пары (A, B) группа H, A = A, B не нильпотентна. Обозначим C1 = H A xG = C, z. Выберем элемент a A, который обеспечивается условием (д) и который вместе с C порождает всю группу A, т. е. такой, что A = C, a. Отметим, что a не лежит в C1, так как в противном случае a нормализовал бы C и потому подгруппа A нормализовала бы C. Мы же предполагаем, что это не так. Кроме того, очевидно, H = C1, b, A = C1, a, т. е. пара (H, A) удовлетворяет условию (д). Пара (H, A) удовлетворяет и остальным условиям (а)–(г), а следовательно, лежит в. Получили, что H A xG. Ясно, что C H A xG, кроме того, существует z H A, который не лежит в C, но который сопряжен с элементом x. Получаем противоречие с максимальностью A B xG в.

Если же подгруппа C не нормальна в B, то, как и выше, можно гарантировать существование такого элемента z NB(C)\C, который сопряжен с элементом x. Тогда C C, z, z. Мы находимся в условиях теоремы 2: C, z нильпотентна как подгруппа нильпотентной группы A; C, z нильпотентна как подгруппа нильпотентной группы B; z, z нильпотентна по условию теоремы.

По теореме 2 группа K = C, z, z нильпотентна.

Если группы A1 = A, K и B1 = B, K нильпотентны, то пара (A1, B1) удовлетворяет условиям (а)–(д), а следовательно, лежит в. Тогда группа A1 B1 xG лежит в и содержит элемент z, сопряженный с x, который не лежит в C. Получаем противоречие с максимальностью C в.

Если же, скажем, A, K не нильпотентна, то пара (A, K) удовлетворяет условиям (а)–(д) и тем самым лежит в. Аналогично получаем противоречие с максимальностью C в и в этом случае. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА 1. Huppert B. Endliche GruppenI. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1979.

2. Suzuki M. Finite groups in which the centralizer of any element of order 2 is 2-closed // Ann.

of Math (2). 1968. V. 82. P. 191–212.

3. Alperin J. Lyons R. On conjugacy classes of p-elements // J. Algebra. 1971. V. 19. P. 536–537.

4. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin: de Gruyter, 1992.

5. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. М.: Мир, 1985.

6. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982.

7. Khukhro E. I. Nilpotent groups and their automorphisms. Berlin: de Gruyter, 1993.

Статья поступила 8 августа 2003 г., окончательный вариант 31 октября 2003 г.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.