WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Асимптотически нормальное оценивание Следствие 4. Пусть утверждение (4.7) теоремы 3 справедливо для некоторой неслучайной матрицы A. Тогда (A A)1/2( - ) = m(0, I).

Замечание 4. В приведенных выше утверждениях проще всего взять A = U(). В этом случае условие (4.8) следствия 3 будет выполнено автоматически. Именно так мы поступим в следствии 6. Если в теореме положить A = U()X, то в этом случае условие (4.6) проверяется элементарно. Аналогичная идея предлагается также ниже, в замечании 13.

4.4. Остальная часть параграфа посвящена доказательствам приведенных утверждений.

Доказательство теоремы 3. Домножая равенство (4.3) слева на матрицу U, получаем U()X A-1A( - ) = U(), откуда, используя обозначения, введенные в формулировке теоремы, нетрудно извлечь следующее ключевое тождество:

-A( - ) = U()X A-1 (U() + 0,N ).

Для завершения доказательства теоремы остается с учетом леммы 1 применить к полученному тождеству условия теоремы.

Доказательство следствия 3. В силу (2.8) ()X = ()( - ) + (() - ())( - ).

Таким образом, используя обозначения (4.9)–(4.11), получаем U()X A-1 = U() A-1 - 1,N + 2,N - 3,N.

Учитывая это тождество, легко убедиться, что условия (4.8)–(4.11) следствия достаточны для справедливости предположения (4.6) теоремы 3.

Доказательство следствия 4. Повторяя рассуждения из доказатель 1/ства следствия 2, нетрудно установить, что QN = A A A-1 ортого нальная матрица. Следовательно, 1/A A ( - ) = QN A( - ) = m(0, I), что немедленно вытекает из леммы 2 и теоремы 3.

§ 5. Оптимизация оценок 5.1. Далее мы будем считать, что погрешности измерений удовлетворяют следующим естественным предположениям:

i Ei = i()Ei = 0, 0 < Di = i ()Di <.

В этом случае через V обозначим ковариационную матрицу случайного вектора. Другими словами, далее мы предполагаем, что E = 0, V = E, V-1.

380 Ю. Ю. Линке, А. И. Cаханенко Введем в рассмотрение класс матриц:

M (, V) = { = mN : ( )-1, (V )-1}.

Для матриц M (, V) будем использовать обозначение B(,, V) ( )-1V ( )-1. (5.1) Всюду далее мы также предполагаем, что C, () M (, V).

5.2. Выберем в качестве матриц U и U любые неслучайные матрицы, удовлетворяющие условиям U U = (CVC )-1, U U = (()V ())-1. (5.2) Далее будем полагать A = UC, A = U(). (5.3) В этом случае предположения (3.8) и (4.8) для так определенных матриц выполняются автоматически, условия (3.4) и (4.4) означают справедливость классической центральной предельной теоремы, а следствия 2 и 4 примут следующий простой вид.

Cледствие 5. Пусть для матриц U и A, введенных в (5.2) и (5.3), выполнены условия (3.4) и (3.9). Тогда B-1/2( - ) = m(0, I) при BC = (A A)-1.

C Следствие 6. Пусть для матриц U и A, определенных в (5.2) и (5.3), выполнены условия (4.4), (4.5), (4.9)–(4.11). Тогда имеет место сходимость B-1/2( - ) = m(0, I) при B = (A A)-1.

Замечание 5. Нетрудно понять, что оценки и не изменятся, если уравнения (2.6) и (4.2), их определяющие, домножить слева на некоторые невырожденные матрицы. Иначе говоря, мы можем находить эти оценки как решения уравнений RCCX = RCCY, R()X = R()Y при произвольных невырожденных матрицах RC = (RC)mN и R = (R)mN.

Нетрудно убедиться, что в этом случае асимптотические ковариационные матрицы оценок и не изменятся.

5.3. Таким образом, при выполнении условий следствий 5 и 6 оценки и асимптотически нормальны с асимптотическими ковариационными матрицами BC и B соответственно. Ясно, что эти оценки тем точнее, чем меньше их асимптотические ковариационные матрицы. Заметим, однако, что BC = B(C,, V), B = B((),, V). (5.4) Поэтому естественно среди матриц вида B(,, V) попытаться найти в некотором смысле минимальные.

Далее, согласно [4] неравенство B1 B2 между двумя симметричными неотрицательно определенными матрицами B1 и B2 означает, что матрица B1B2 неотрицательно определенная, т. е. справедливо неравенство t B1t t B2t между квадратичными формами для любого вектор-столбца t = (t1,..., tN ).

Введем обозначения Bopt(, V) = (V-1 )-1, o(, V) = V-1. (5.5) Асимптотически нормальное оценивание Теорема 4. Существует такая симметричная неотрицательно определенная матрица Bo, что для всех матриц M (, V) и всех невырожденных матриц R = Rmm справедливо равенство ( )(B(,, V)) - Bopt(, V))( ) = ( - Ro)Bo( - Ro). (5.6) Следствие 7. Для всех матриц M (, V) верно соотношение B(,, V) Bopt(, V). (5.7) При этом равенство B(opt,, V) = Bopt(, V) (5.8) имеет место в том случае, когда opt = RV-1 Ro(, V), (5.9) где R = Rmm произвольная невырожденная матрица.

Подчеркнем, что в общем случае матрица opt всегда зависит от неизвестного параметра, а также ковариационной матрицы V. Нетрудно понять, что элементы матрицы opt являются постоянными только при очень специальных дополнительных ограничениях на матрицы и V (см. примеры 3 и 5 в § 6).

5.4. Замечание 6. Тождество (5.6) можно интерпретировать следующим образом. Чем точнее матрица C, используемая на первом шаге, или матрица (), используемая на втором шаге, приближаются некоторой матрицей opt = Ro(, V), тем ближе асимптотические ковариационные матрицы BC и B оценок и к оптимальной матрице Bopt(, V). При этом матрица, стоящая в правой части равенства (5.6), достаточно наглядно характеризует степень этой близости.

Замечание 7. Пусть погрешности i независимы, имеют стандартное нормальное распределение и дисперсии i не зависят от параметра. Тогда Bopt(, V) = I-1(), (5.10) N где IN () информация Фишера для выборки Z1,..., ZN. Таким образом, по аналогии с неравенством Рао Крамера следует ожидать неулучшаемости в некотором смысле оценок, когда выбрана C = opt, и оценок, если выбрана () = opt.

Утверждение (5.10) следует из представления (5.7) для Bopt(, V) и равенства ji()ki() (IN ())jk = = (V-1 )jk, 2 i ()i несложный вывод которого мы здесь опускаем.

5.5. Для доказательства сформулированных утверждений нам потребуется следующая лемма, которая уточняет утверждение теоремы 4.

Лемма 3. Равенство (5.6) имеет место для матрицы Bo V - Bopt, (5.11) которая удовлетворяет соотношению Bo = Bo = BoV-1Bo 0. (5.12) 382 Ю. Ю. Линке, А. И. Cаханенко Доказательство. Из (5.1) и (5.7) для B(,, V)) и Bopt(, V) немедленно получаем, что левая часть в (5.6) совпадает с Bo при Bo, определенной в (5.11). Используя тождество o(, V)Bo = V-1V - V-1 Bopt = - (Bopt)-1Bopt = 0, нетрудно убедиться, что правая часть в (5.6) также совпадает с Bo.

Тем самым мы доказали первое утверждение леммы 3. Применяя теперь определения (5.5) и (5.11) для Bopt(, V) и Bo, прямой проверкой нетрудно убедиться в справедливости равенств в (5.12).

Таким образом, лемма 3 и теорема 4 полностью доказаны. Приступим теперь к выводу следствия 7. Соотношение (5.7) вытекает из того факта, что в силу тождества (5.6) B(,, V)) - Bopt(, V) неотрицательно определенная матрица. Если же выполнено условие (5.9), то равенство (5.8) является очевидным следствием все того же тождества (5.6).

§ 6. О выборе констант и функций, участвующих в определении оценок 6.1. Примeр 1. Предположим, что ковариационная матрица V представима в виде V = W()2, где W() матрица, у которой все элементы являются известными функциями от, а 2 некоторый неизвестный параметр. Положим () = ()W-1().

Если при так определенной матрице () выполнены условия теоремы 3, то оценка асимптотически нормальна с оптимальной ковариационной матрицей Bopt(, V).

Этот факт немедленно вытекает из следствия 8, поскольку в этом случае () = 2V-1 2o(, V).

Замечание 8. В примере 1 в качестве чисел cki на первом шаге можно рекомендовать взять cki = ki(0) ((0))ki при некотором заранее выбранном 0. Понятно, что в этом случае оценка будет тем точнее, чем ближе выбранное значение 0 будет к неизвестному истинному значению параметра.

Отметим, что рассмотренный в примере 1 достаточно общий случай включает в себя при W() I и ситуацию классического регрессионного анализа, когда погрешности измерений 1,..., N независимы, одинаково распределены, имеют нулевые средние, а дисперсии Di = 2 одинаковые и неизвестные.

6.2. В примерах 2–5 считаем, что случайные погрешности 1,..., N в (1.1) некоррелированы и удовлетворяют условиям i Ei = 0, 0 < i ()Di Di = 2/wi() <, (6.1) где wi() известная функция, а 2 неизвестный параметр.

Примeр 2. Если выполнено условие (6.1), то, как отмечено в примере 1, мы всегда можем положить (opt)ki = ki()wi() (aki - bkigi())wi(). (6.2) Асимптотически нормальное оценивание Пример 3. Пусть gi() = a0i/i() (6.3) и выполнено условие (6.1) при wi() = w0i/gi(), (6.4) где w0i известные постоянные. Нетрудно убедиться, что в этом случае уже на первом шаге при построении оценки мы можем выбрать оптимальные константы cki, полагая cki = bkiw0i (opt)ki. (6.5) Пример 4. Пусть выполнено условие (6.1) и gi() = (c0ami + amim)/i(). (6.6) Как будет показано ниже, в лемме 4, в этом случае функции (opt)ki из следствия 8 можно определять по следующей, более простой, чем (6.2), формуле (opt)mi = (1 - c0bmi)gi()wi() и (opt)ki = bkigi()wi() при k < m. (6.7) Пример 5. Пусть выполнены условия (6.1), (6.4) и (6.6). При этом предположении определенные в (6.7) функции (opt)ki не зависят от. Значит, в этом случае уже на первом шаге мы можем выбрать оптимальные константы cki, полагая cmi = (1 - c0bmi)w0i (opt)mi и cki = bkiw0i (opt)ki при k < m. (6.8) 6.3. Замечание 9. Если в примере 3 известно, что выполнено только условие (6.3), то можно рекомендовать использовать cki = bki как самые простые cki из (6.5) и в случае, когда нам неизвестно, выполнено условие (6.4) или нет. Однако такой выбор cki уже не будет оптимальным.

Аналогично если в примере 5 нам известно только, что выполнено условие (6.4), то можно рекомендовать использовать cki из (6.8) при w0i 1 также и в случае, когда условие (6.4) не выполнено или если нет информации о его справедливости.

Замечание 10. Если неизвестен точный вид ковариационной матрицы V, то мы не сможем найти матрицу opt и построить оценку при () = opt.

Тогда можно рекомендовать взять в качестве элементов () функции, относительно которых можно предполагать, что они не сильно отличаются от неизвестных элементов матрицы opt. Поэтому, как отмечалось в замечании 6, чем лучше выбранные элементы матрицы () будут приближать элементы оптимальной матрицы opt, тем меньше асимптотическая дисперсия полученной оценки будет отличаться от Bopt.

Замечание 11. Если нет никакой информации о поведении ковариационной матрицы V, то можно порекомендовать на первом шаге взять cki = ki(0) при некотором 0. В этом случае оценка будет тем точнее, чем ближе выбранное значение 0 будет к неизвестному истинному значению параметра и чем ближе неизвестная матрица V к матрице вида 2I при некотором.

6.4. Докажем теперь вспомогательное утверждение, которое существенно использовалось в примерах 4 и 5.

384 Ю. Ю. Линке, А. И. Cаханенко Лемма 4. Пусть выполнены условия (6.1) и (6.6), а opt матрица, элементы которой определены в (6.7). Тогда найдется матрица R такая, что opt = RV-1.

Доказательство. Пусть j2, j < m, -2, k = j < m, (R)mj = и (R)kj = (c0 + m)2, j = m, 0, m = k = j.

Отметим, что так определенная матрица R невырожденная. Поскольку -bjigi(), j < m ji = ami - bmigi(), j = m, то при k < m m (R)ki = (R)kj()ji = bkigi()2, j=а при k = m m- (R)mi = - bjijgi()2 + (c0 + m)(ami - bmigi())j= m = gi() - bjij + i() - c0bmi 2 = (1 - c0bmi)gi()2.

j=В итоге получим требуемое утверждение:

bkigi()wi(), k < m (RV-1)ki = (1 - c0bmi)gi()wi(), k = m.

§ 7. Следствия для независимых наблюдений 7.1. Предположим, что погрешности {i} независимы и i Ei = 0, 0 < Di = i <. (7.1) В этом случае i i = i()i, Di = i ()2, V = diag{D1,..., DN }. (7.2) Подчеркнем также, что далее в этом параграфе мы считаем выполненными все предположения из (5.2), (5.3) и будем использовать обозначение BC, введенное в следствии 5.

При проверке состоятельности полезным будет следующее утверждение.

Теорема 5. Если погрешности измерений независимы, удовлетворяют (7.1) и выполнено условие max(BC)jj 0, (7.3) jm то оценка состоятельна.

7.2. Предположим теперь, что погрешности {i} представимы в виде i i = ii, Ei = 0, Di = 1, (7.4) где 1,..., N последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин.

При проверке асимптотической нормальности будет полезна Асимптотически нормальное оценивание Теорема 6. Пусть независимые погрешности измерений представимы в виде (7.4), удовлетворяют условию (7.3) и max(V1/2C (CVC )-1CV1/2)ii 0. (7.5) iN Тогда сходимость U( - ) = m(0, I) имеет место для любой неслучайной матрицы U, которая удовлетворяет условию U U = B-1. (7.6) C Таким образом, при выполнении достаточно простых условий (7.3) и (7.5) оценка состоятельна и асимптотически нормальна.

Замечание 12. На первый взгляд, в (7.6) проще всего взять U = B-1/2.

C Однако иногда оказывается легче, используя стандартную процедуру ортогонализации, найти треугольную матрицу U, удовлетворяющую уравнению (7.6).

7.3. Замечание 13. Подчеркнем, что в теоремах 2, 3 и их следствиях разность ( - ) нормируется матрицами A и A, BC и B, которые существенно зависят от неизвестного параметра и от матрицы V, которая также может быть неизвестной. По этой причине при построении доверительных интервалов и проверке гипотез могут оказаться полезными утверждения, в которых эти матрицы заменены известными.

Укажем возможный подход к решению этих задач в случае независимых наблюдений. Положим 2 i = i()Zi - i(), V = diag 1,..., N, A = (CVC )-1/2CX и A = (()V ())-1/2(()X.

Тогда по аналогии с [1] следует ожидать, что при выполнении достаточно жестких дополнительных предположений имеют место сходимости A( - ) = m(0, I) и A( - ) = m(0, I).

7.4. Приступим к доказательствам сформулированных утверждений. Докажем прежде несколько вспомогательных лемм.

Лемма 5. Пусть независимые погрешности измерений удовлетворяют предположениям (7.1) и (7.3). Тогда выполнены условия (3.2), (3.3) и (3.9).

Доказательство. Сравнивая обозначения, введенные в (3.1), (5.1) и (5.4), заключаем, что BC = A-1A-1 = GVG. Учитывая этот факт и (7.2), находим, что условие (7.3) эквивалентно следующему:

m N (BC)jj = (A-1)2 = (G)2 Di 0, j = 1,..., m. (7.7) jl ji l=1 i=Таким образом, N N D(G)j = D (G)jii = (G)2 Di = (BC)jj 0. (7.8) ji i=1 i=386 Ю. Ю. Линке, А. И. Cаханенко Далее, в силу (1.3) числа bji неотрицательны, а потому 2 2 2 2 Dbqii = b2 i i ()i /q = Di/q. (7.9) qi В частности, из (7.9) получаем N N D(G )jk = D (G)jibkii (G)2 Di/k 0. (7.10) ji i=1 i=Опять применяя (7.9), находим N m D(UC A-1)jk = D (UC)jibqii(A-1)qk i=1 q= N m m 2 = (UC)jibqi(A-1)qk i aj (A-1)2 /q, (7.11) qk i=1 q=1 q=где N aj = (UC)2 Di.

ji i=Но последняя сумма равна диагональному элементу матрицы (UC)V(UC).

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.