WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

Перейдем теперь к случаю -1 t 0. Покажем, что его можно свести к уже рассмотренному случаю 0 t 1. Используя свойство (11), из (26) для произвольного t [0, 1] имеем m+n N,, Vm,n,N (-t) = µj Kk (-t, xj) n + 1 k=m j= m+n N -1,, = µj h, Pk (-t)Pk (xj) n + 1 k=m k j= m+n N -1,, = µj h, Pk (t)Pk (-xj). (131) n + 1 k=m k j=Сделав замену переменных t = cos, xj = cos j, из (131) получим m+n N -1,,, Vm,n,N (- cos ) = µj h, Pk (cos )Pk (cos( - j)) n + 1 k=m k j= m+n N -1,,, = µj h, Pk (cos )Pk (cos j) = Vm,n,N (cos ).

n + 1 k=m k j=Так как j = - j имеют одинаковые свойства с j, то, проводя те же, рассуждения, что при оценке величины Vm,n,N (cos ) (заменив везде на и на, -1/2 <, < 1/2), выводим, что +, Vm,n,N (cos ) c2(, )H8(, a, b, d) + 15.36 (0 cos 1), где величина H8(, a, b, d) получается из H7(, a, b, d) заменой на во всех постоянных, входящих в H7(, a, b, d).

Тем самым доказано, что +, Vm,n,N (t) c2(, )H8(, a, b, d) + 15.36 (-1 t 0) (132) при -1/2 <, < 1/2, m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm.

Аппроксимативные свойства Сопоставляя (130), (132) с (26) и (25), приходим к выводу, что при -1/2 <, < 1/2, m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm будет +, Vm,n,N (t) c2(, )H(,, a, b, d) + 30.72 (-1 t 1), (133) где H(,, a, b, d) = H7(, a, b, d) + H8(, a, b, d).

Теорема доказана.

§ 4. Приближение непрерывных функций средними Валле-Пуссена Пусть f(t) C[-1, 1], p (t) Hm многочлен наилучшего приближения m функции f(t) в пространстве C[-1, 1]. Обозначим через Em(f) = max |f(t) t[-1,1] p (t)| наилучшее приближение функции f(t) алгебраическими многочленами m степени m.

,, Теорема 2. Если f(t) C[-1, 1], vm,n,N (f) = vm,n,N (f, t) средние ВаллеПуссена дискретных сумм Фурье Якоби, то при -1/2 <, < 1/2, m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm, m + n N -, vm,n,N (f, t) - f(t) cEm(f), где c некоторая положительная постоянная, зависящая от,, a, b, d.

Доказательство. Из соотношений (5), (6) следует, что средние Валле, Пуссена vm,n,N (f) не изменяют алгебраического многочлена pm Hm, т. е.

,, vm,n,N (pm, t) vm,n,N (pm). Используя соотношения (24), (26) и (133), имеем,,, vm,n,N (f, t) - f(t) vm,n,N (f, t) - p (t) + p (t) - f(t) vm,n,N (f - p t), m m m, + Em(t) Em(t)Vm,n,N (t) + Em(t) = (1 + H(,, a, b, d))Em(t) cEm(t).

Теорема доказана.

, Таким образом, средние Валле-Пуссена vm,n,N (f, t) дискретных сумм Фурье Якоби приближают непрерывную функцию (при наличии лишь информации о значениях этой функции в конечном числе точек N [-1, 1]) со скоростью наилучшего приближения Em(f) этой функции среди алгебраических многочленов степени m.

ЛИТЕРАТУРА 1. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962.

2. Шарапудинов И. И., Вагабов И. А. О сходимости средних Валле-Пуссена для сумм Фурье Якоби // Мат. заметки. 1996. Т. 60, № 4. С. 569–586.

3. Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука, 1976.

Статья поступила 17 июля 2003 г.

Коркмасов Фуад Муэддинович Институт проблем геотермии Дагестанского научного центра РАН, пр. Имама Шамиля, 39a, Махачкала layuza@dinet.ru, kfuad@mail.ru

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.