WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Сибирский математический журнал Март апрель, 2004. Том 45, № 2 УДК 517.98 АППРОКСИМАТИВНЫЕ СВОЙСТВА СРЕДНИХ ВАЛЛЕ–ПУССЕНА ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СУММ ФУРЬЕ ––– ЯКОБИ Ф. М. Коркмасов Аннотация: Рассмотрена система классических многочленов Якоби степени не выше N, образующих ортогональную систему на дискретном множестве, состоящем из нулей многочлена Якоби степени N. Для произвольной непрерывной на отрезке [-1, 1] функции построены средние типа Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье Якоби по введенной выше ортонормированной системе. Доказано, что при соблюдении определенных условий, связывающих N и параметры, входящие в определение средних Валле-Пуссена, последние приближают непрерывную функцию со скоростью наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций C[-1, 1].

Ключевые слова: многочлены Якоби, средние Валле-Пуссена, ортонормированная система, дискретное множество, наилучшее приближение, дискретные суммы Фурье Якоби, числа Кристоффеля, квадратурная формула Гаусса, норма.

§ 1. Введение В различных прикладных и теоретических задачах широко используются разложения функций в ряды Фурье по ортонормированным системам, в частности по ортонормированным системам многочленов (Чебышева, Якоби и др.).

Нередко вместо частичной суммы ряда Фурье по выбранной ортонормированной системе в качестве аппарата приближения используются суммы (или средние) Фейера и Валле-Пуссена по той же ортонормированной системе. В современных задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации, вопросы приближения функций, заданных на дискретных множествах точек (сетках), часто решаются с помощью рядов Фурье (или их средних) по соответствующей системе ортонормированных на этих сетках многочленов.

Выбор того или иного аппарата приближения продиктован стремлением обеспечить как можно лучшее приближение данной функции.

Пусть Hn пространство алгебраических многочленов pn = pn(x) степени не выше n, C[-1, 1] пространство непрерывных на [-1, 1] функций. Сетка = {x0, x1,..., xn,... } дискретное множество, состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек действительной оси R. Обозначим через, PN (x) (, > -1) классические многочлены Якоби степени N, ортогональные на отрезке [-1, 1] по весу (x) = (1 - x)(1 + x). Теория классических ортогональных многочленов, в частности многочленов Якоби, хорошо изучена в научной литературе. Однако, как будет показано ниже, многочлены Яко,,, би P0 (x), P1 (x),..., PN-1(x) (N = 1, 2,... ) могут быть рассмотрены как многочлены, образующие ортогональную систему на сетке = {x0, x1,..., xN }, © 2004 Коркмасов Ф. М.

Аппроксимативные свойства, состоящей из нулей многочлена Якоби PN (x). В этом смысле многочлены Якоби являются ортогональными многочленами дискретной переменной. Поэтому представляет интерес исследование свойств дискретных сумм Фурье Якоби и их линейных средних. В настоящей статье мы рассмотрим аппроксимативные свойства средних Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье Якоби.

Хорошо известна следующая квадратурная формула Гаусса [1]:

N (x)2N-1(x) dx = µj2N-1(xj), (1) j=-справедливая для любого многочлена 2N-1(x) H2N-1. В (1) xj = x, j, нули многочлена Якоби PN (x), µj = µ, числа Кристоффеля (или веса j квадратурной формулы), (N + + 1) (N + + 1) µj = 2++1 · 2. (2), (N + 1) (N + + + 1) (1 - x2) PN (xj) j,, Если, в частности, положить 2N-1(x) = Pn (x)Pm (x), m + n 2N - 1, то из (1) получаем N,,,, (x)Pn (x)Pm (x) dx = µjPn (xj)Pm (xj) = h,mn, (3) n j=-2++1 (n++1) (n++1) где h, = ·, mn символ Кронекера.

n 2n+++1 (n+1) (n+++1) N-Из (3) видно, что система многочленов Якоби Pi,(x) является орi=тогональной на сетке N = {x1, x2,..., xN }, состоящей из нулей многочлена, Якоби PN (x), относительно скалярного произведения (f, g) = µ(x)f(x)g(x) (µ(xj) = µj).

x N Полагая -1/2,, Pn (t) = h, Pn (t), (4) n определим для произвольной функции f(t) C[-1, 1] дискретную частную сумму Фурье Якоби порядка n N - 1 по ортонормированной системе N-, Pn (t) :

n=n,,,,(t), Sn,N (f) = Sn,N (f, t) = fk,N Pk (5) k=N,,(xj) где fk,N = µjf(xj)Pk дискретные коэффициенты Фурье Якоби.

j=Составим средние Валле-Пуссена функции f(t) C[-1, 1]:

,,,,, vm,n,N (f) = vm,n,N (f, t) = Sm,N (f, t) + Sm+1,N (f, t) + · · · + Sm+n,N (f, t), n + (6) где m + n N - 1.

, Будем рассматривать vm,n,N (f) как линейный оператор, действующий в, vm,n,N. В настоящей пространстве C[-1, 1], норму которого обозначим через 336 Ф. М. Коркмасов статье при условии -1/2 <, < 1/2, m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm (a, b и d фиксированные действительные числа) доказывается равномерная, ограниченность в C[-1, 1] нормы операторов Валле-Пуссена vm,n,N (f). Как следствие этого результата устанавливается порядок приближения произволь, ной функции f(t) C[-1, 1] средними Валле-Пуссена vm,n,N (f, t) в пространстве C[-1, 1].

§ 2. Вспомогательные утверждения Приведем без доказательства следующее очевидное утверждение.

Лемма 1. Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на промежутке [a1, b1] и {tj}m сетка такая, что a1 < t0 < t1 < · · · < tm < b1. Пусть j= tj = tj+1 - tj и [a2, b2] [a1, b1]. Тогда если 1) f(x) монотонно возрастает на [a2, b2], то b f(tj) tj f(x) dx + f(b2), (7) a2tjba2) f(x) монотонно убывает на [a2, b2], то b f(tj) tj f(x) dx + f(a2), (8) a2tjbaгде = max tj.

j Лемма 2 [1, п. 15.3]. Если xj = cos j (0 < j < ) нули многочлена, Якоби PN (x), -1/2 <, < 1/2, то для чисел Кристоффеля µj, определенных равенствами (2), справедливы следующие оценки:

µj (sin j)2+1 (0 < j - 0), (9) N µj (sin j)2+1 (0 j < ), (10) N где и 0 фиксированные положительные числа, j = 1, 2,..., N.

Нам понадобятся некоторые свойства многочленов Якоби [1]. Для удобства ссылок мы соберем их в этом параграфе.

Справедливо равенство,, Pn (x) = (-1)nPn (-x). (11) Для -1 t 1, n 1 справедлива оценка --1/2 --1/, Pn (t) c(, ) 1 - t + 1 + t +. (12) n1/2 n n Здесь и далее через ck, c(,,..., ) обозначаются положительные постоянные, зависящие лишь от указанных параметров.

, Если xj = cosj нули многочлена Якоби PN (x), -1/2, 1/2, занумерованные в убывающем порядке:

1 > x1 > x2 > · · · > xN > -1, 0 < 1 < 2 < · · · < N <, Аппроксимативные свойства то [1] 2j - 1 2j j (j = 1, 2,..., N). (13) 2N + 1 2N + Отсюда j = j+1 - j, (14) 2N + j. (15) 2N + Имеют место следующие равенства [2].

I. При -1 x, t 1, x = t k --k(1 - t)(1 + x), +1,,+Kk (t, x) = h, Pi,(t)Pi,(x) = Pk (t)Pk (x) i 2++1(t - x) i=,,,,,,,, Pk+1(t)Pk (x) Pk (t)Pk+1(x) Pk+1(t)Pk+1(x) Pk (t)Pk (x) 1 2 3 +Hk +Hk +Hk +Hk t - x t - x t - x t - x,,,, (k + 1)Pk+1(t)Pk+1(x) - kPk (t)Pk (x) - t)(1 + x) (+1,,+- + k Pk (t)Pk (x), 2++1(t - x) t - x (16) i где Hk = O(1), k = O(1) (k ). В дальнейшем будем предполагать, что i существуют такие положительные постоянные q1 и q2, что |Hk| q1 и |k| q2. При желании значение постоянных q1 и q2 можно найти, используя текст доказательства равенства (16), приведенного в работе [2].

II. При -1 x, t 1, x = t m+n (1 - t)(1 + x) +1,,+kPk (t)Pk (x) = gi(t, x), (17) t - x k=m i=где (1 - t)(1 + x)(1 - x) +1,+1 +1, g1(t, x) = (m + n + + + 2)Pm+n (x)Pm+n (t) 2(t - x) +1,+1 +1, - (m + + + 1)Pm (x)Pm (t), (18) (1 - t)2(1 + x) +2,,+g2(t, x) = (m + + + 1)Pm (t)Pm (x) 2(t - x) +2,,+- (m + n + + + 2)Pm+n (t)Pm+n (x), (19) (1 - t)(1 + x) m + n + + + +1,,+g3(t, x) = Pm+n (t)Pm+n (x) (t - x)2 2(m + n) + + + m + + + +1,,+- Pm (t)Pm (x), (20) 2m + + + m+n (1 - t)(1 + x) ( + + 1)(2k + + + 2) +1,,+g4(t, x)=- Pk (t)Pk (x), (t - x)2 (2k + + + 3)(2k + + + 1) k=m (21) 338 Ф. М. Коркмасов m+n ( + + 2)(1 - t)(1 + x) +1,,+g5(t, x) = Pk (t)Pk (x), (22) 2(t - x) k=m m+n (1 - t)(1 + x) +1,,+g6(t, x) = ( + 1)Pk-1 (t)Pk (x) (t - x)2 2k + + + k=m +1,,+- ( + 1)Pk (t)Pk-1 (x). (23) § 3. Оценка норм средних Валле-Пуссена дискретных сумм Фурье Якоби Теорема 1. Пусть -1/2 <, < 1/2, b, d фиксированные положительные действительные числа (b d). Тогда нормы средних Валле-Пуссена, vm,n,N (f) при условии m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm равномерно ограничены в пространстве C[-1, 1].

Доказательство. Подставляя в (6) соотношение (5) и учитывая равенства (4), (16), имеем N m+n,,, vm,n,N (f) = vm,n,N (f, t) = µjf(xj) Kk (t, xj). (24) n + j=1 k=m Из (24) получаем,,, vm,n,N vm,n,N (f) = Vm,n,N, = sup (25) f где m+n N,,, Vm,n,N = Vm,n,N (t) = µj Kk (t, xj). (26) n + 1 k=m j=, Оценим величину Vm,n,N (t) при -1 t 1. Рассмотрим сначала случай 0 t 1, который, в свою очередь, разобьем на следующие случаи: 1) t [0, 1 - 4/m2], 2) t [1 - 4/m2, 1].

, 1. Запишем нули многочлена Якоби PN (x) в убывающем порядке -1 < xN < xN-1 < · · · < x1 < 1 и сделаем замену t = cos, xj = cos j. С учетом оценки (14) из (26) следует, что m+n N 3N,, Vm,n,N (cos ) µj Kk (cos, cos j) j. (27) (n + 1) k=m j=Положим 1 = [2/3, ), 2 = [ + 1/m, 2/3), 3 = ( - 1/m, + 1/m),, 4 = (0, - 1/m]. Величину Vm,n,N (cos ) оценим по следующей схеме:

3N, Vm,n,N (cos ) + + + = U1+U2+U3+U4. (28) (n + 1) j 1 j 2 j 3 j С учетом равенства (16) каждую из сумм Ui (i = 1, 2, 4) оценим так:

Ui Uil, (29) l=Аппроксимативные свойства где 3N (1 - cos )(1 + cos j) Ui0 = µj (n + 1) 2++1(cos - cos j) j i m+n +1,,+ kPk (cos )Pk (cos j) j, (30) k=m m+n 3N 1,, Ui1 = µj HkPk+1(cos )Pk (cos j) j, (31) (n + 1) - cos j k=m cos j i m+n 3N 2,, Ui2 = µj HkPk (cos )Pk+1(cos j) j, (32) (n + 1) - cos j k=m cos j i m+n 3N 3,, Ui3 = µj HkPk (cos )Pk (cos j) j, (33) (n + 1) - cos j k=m cos j i m+n 3N 4,, Ui4 = µj HkPk+1(cos )Pk+1(cos j) j, (34) (n + 1) - cos j k=m cos j i 3N Ui5 = µj (n + 1) 2++1| cos - cos j| j i m+n,,,, (k + 1)Pk+1(cos )Pk+1(cos j) - kPk (cos )Pk (cos j) j k=m 3N = µj (n + 1) 2++1| cos - cos j| j i,,,, (m + n + 1)Pm+n+1(cos )Pm+n+1(cos j) - mPm (cos )Pm (cos j) j, (35) 3N (1 - cos )(1 + cos j) Ui6 = µj (n + 1) cos - cos j j i m+n +1,,+ kPk (cos )Pk (cos j) j. (36) k=m Для определенности в лемме 2 будем считать 0 =. Поэтому на интервале 1 будем пользоваться оценкой (10), а на интервалах 2, 3, 4 оценкой (9).

Оценим U1. При оценивании U1i (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) будем учитывать, что для j (sin j)2+1 = (1 - cos j)+1/2(1 + cos j)+1/2 2(1 + cos j)+1/2, а также cos - cos j 1/2, (1 - cos j)-/2-1/4 1 и (1 + cos )-/2-1/4 1.

Принимая во внимание (10), (12), (30)–(34), при m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm имеем 6c2(, ) 6c2(, ) U10 (sin j)2+1 j j 2c2(, ), (37) (n + 1) (n + 1) j 1 j 340 Ф. М. Коркмасов 12c2(, ) U11 q1(1 - cos )-/2-1/(n + 1) m+n (1 + cos j)/2+1/4 j 4q1c2(, ). (38) k j 1 k=m Оценивание величин U12, U13, U14 аналогично оценке U11. Поэтому U1i 4q1c2(, ) (i = 2, 3, 4). (39) Далее, из (35) и (36) с учетом (10) и (12) 12c2(, ) U15 (1 - cos )-/2-1/4 (1 + cos j)/2+1/4 j c2(, ), (n + 1) b j (40) 6c2(, ) U16 q2(1 - cos )-/2+1/(n + 1) m+n (sin j)2+1 j 2q2c2(, ). (41) k j 1 k=m Объединяя оценки (37)–(41) и сравнивая их с (29), получим U1 2c2(, )[8q1 + q2 + 2/b + 1]. (42) Оценим величину U2. Предварительно докажем следующее Утверждение 1. Если m aN (0 < a < 1), 0 < bm n dm, то sin j 3a c1() + ( + 1) m-+1/2, (43) (cos - cos j)-/2+5/4 2 j sin j 3a j 1 + ( + 1) m(1 - cos )-1/2, (44) (cos - cos j)2 2 j sin j j (cos - cos j)-/2+7/j 3a c2() + ( + 1) m-/2+3/4(1 - cos )/4-3/8, (45) 2 sin j 3 3a j ln m2 + ( + 1). (46) cos - cos j 8 j Доказательство. Заметим, что функция g() = sin /(cos - cos ) ( 1) монотонно убывает на (, ]. Поэтому для доказательства оценок (43)– (46) используем оценки (8) и (15). Ввиду очевидных неравенств 1 1 1 sin + = sin cos + sin cos sin + sin, (47) m m m m 1 1 1 1 cos -cos + = 2 sin + sin sin sin (1-cos )1/2 sin, m 2m 2m m m (48) Аппроксимативные свойства 1 2 получим sin · m m sin j (cos - cos j)-/2+5/j 2/ sin + sin m d + (cos - cos )-/2+5/4 cos - cos + -/2+5/1 m + m /2-1/4 1 cos - cos + sin + m m + -/2+5/4 · a -/2 + 1/4 2m cos - cos + m 3a c1() + ( + 1) m-+1/2, 2 где c1() = (-/2 + 1/4)-1.

Используя (47), (48), имеем 2/ sin + sin j sin m j d+ (cos - cos j)2 (cos - cos )2 cos - cos + 1 j m + m 1 3a 1 3a + · + · 1 2m 2m cos - cos + sin sin2 1 sin2 sin m m m 3a 1 + ( + 1) m(1 - cos )-1/2.

2 Аналогично, учитывая (47), (48), приходим к неравенствам sin j j (cos - cos j)-/2+7/j 2/ sin + sin m d + (cos - cos )-/2+7/4 cos - cos + -/2+7/1 m + m 1 3a -/2+3/4 + 2m · 3 (sin )-/2+3/4(sin )-/2+7/- + cos - cos + m 2 4 m 3a + · 2m (sin )-/2+7/4(sin )-/2+3/m 3a c2() + ( + 1) m-/2+3/4(1 - cos )/4-3/8, 2 где c2() = (-/2 + 3/4)-1. Далее, 2/ sin + sin j sin m j d + cos - cos j cos - cos cos - cos + m j + m 1 3a 1 3a ln(cos - cos(2/3)) - ln cos - cos + + · + · m 2m sin 2m sin m 3/2 3a 3 3a ln + ( + 1) ln m2 + ( + 1).

(1 - cos )1/2 sin 4 8 m 342 Ф. М. Коркмасов Утверждение 1 доказано.

При оценивании U2i (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) учтем, что для j 2 будет (1 + cos j)-/2-1/4 2, (1 + cos j)-/2+1/4 2, (sin j)2+1 = (1 - cos j)(1 + cos j) sin j 2(1 - cos j) sin j, а также (1 + cos )-/2-1/4 1.

Из (31) с учетом (9), (12) и (43) имеем 6c2(, ) U21 q1(1 - cos )-/2-1/(n + 1) m+n sin j j j (cos - cos j)-/2+5/4 k j 2 k=m 3 2 3a c2(, ) q1 c1() + ( + 1). (49) Аналогично 3 2 3a U2i c2(, ) q1 c1() + ( + 1) (i = 2, 3, 4). (50) Оценивание величин U25 и U26 аналогично оцениванию U21. Действительно, из (35), (36) с учетом (9), (12) и (43) имеем 3 2 3a U25 c2(, ) c1() + ( + 1), (51) b 3 2 3a U26 c2(, ) q2 c1() + ( + 1). (52) Наконец, перейдем к оцениванию величины U20.

С учетом (9) и (17) из (30) следует, что 6 (i) U20 (sin j)2+1 |gi(cos, cos j)| j = U20, (53) (n + 1) j 2 i=1 i=где (i) U20 = (sin j)2+1|gi(cos, cos j)| j (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). (54) (n + 1) j (1) Оценим U20. Используя (12) и (18), получим 3c2(, ) 5 (1 - cos j)/2+1/(1) U20 2 + (1 - cos )-/2+1/4 sin j j.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.