WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 17 |

Мы видим, как это дерево начинает произрастать из своего корня 0, олицетворяющего первородную пару (X0, Y0), и выпускает из него столько побегов, сколько у этих двух функций имеется общих вещественных тейлоровских параметров 1 первого уровня. Каждый такой побег заканчивается узлом, где поселяется соответствующая ему пара (X1, Y1). В свою очередь, некоторые из этих пар в меру свой плодовитости порождают новые побеги, а число их определяется тем, сколько у функций X0 и Y0 общих вещественных тейлоровских параметров 2 второго уровня, продолжающих цепочку 0, 1. Каждый из новых побегов заканчивается новым узлом, где устраивается парочка (X2, Y2), представляющая новое поколение, и все повторяется снова. Так растет дерево Каратеодори...

0 D(p) D(2p) Рис. 5.1. Деревья Каратеодори.

Но жизненные ресурсы у нашей коренной пары (X0, Y0) небезграничны.

Рано или поздно они будут исчерпаны и дерево D(p) закончит свой рост. И сколь бы необъятным оно ни оказалось, любой путь по нему снизу вверх заканчивается в одной из бесплодных его вершин, число которых генетически предопределено и всегда конечно. Наша задача в оставшейся части работы изведать все эти пути, добравшись, если потребуется, до каждой вершины дерева Каратеодори.

5.3. Регуляризация задачи. Как мы отмечали в разд. 5.1, любая замена вида r = RN с натуральным показателем N сохраняет регулярность функций X0 и Y0, если выразить их в терминах переменных R и. То же самое относится к функции w и ее производным первого и второго порядков, посчитанным по угловой переменной, причем все равно считать ли их до или после указанной замены. Таким образом, мы вправе говорить о дереве Каратеодори D(P ) веса P = pN. Для решения основной задачи этого раздела нам необходимо хорошо представлять, как устроено новое дерево D(P ).

Лемма 5.1. В состав дерева D(P ) входят те и только те функции переменных R и, которые получаются подстановкой r = RN из функций переменных r и, составляющих дерево D(p).

Доказательство. Заметим, что новые тейлоровские ряды функций Xи Y0, выраженных в терминах R, получаются из прежних рядов простой подстановкой RN вместо r. Иначе говоря, происходит лишь разрежение исходных рядов. Но следует иметь в виду, что при этом каждый прежний тейлоровский отрезок s-1(r) порядка s - 1 переходит в тейлоровский отрезок нового 352 В. В. Иванов ряда, повышая в N раз свой порядок относительно новой переменной R, который теперь становится равным N(s - 1). Таким образом, если бы мы, не зная о происхождении новых переменных, повторили описанные выше построения, пользуясь соответствующими большими буквами, то этот последний отрезок нам пришлось бы обозначить символом S-1(R), где S = N(s - 1) + 1. Тогда соответствующая функция S-1(R) будет иметь вид S-1(R) :=R S-1(R) =NRN s-1(RN ) =Ns-1(RN ) (5.12) и мы приходим к замечательному соотношению:

(S-1/P )(R) =(s-1/p)(RN). (5.13) Это показывает, что функция переменных R и, которую для номера S указанного специального вида мы построили бы по второй из формул типа (5.11), на самом деле получается из Ys заменой r = RN. Что же до остальных функций из дерева D(P ), то каждая из них, как это следует из замечания о разрежении рядов, совпадает с одной из только что рассмотренных нами функций. Лемма доказана.

Как мы видим, увеличение показателя p в N раз приводит к N-кратному увеличению числа узлов дерева D(p), фактически не меняя его мощности.

Точнее говоря, в результате обсуждаемого преобразования каждый прежний узел заменяется в новом дереве D(P ) набором из N идентичных узлов, связанных линейной цепочкой побегов, в пределах которой потомки представляют собой точные копии своих предков. На рис. 5.1 мы попытались, как могли, изобразить удвоение дерева Каратеодори.

Теперь мы готовы решить основную задачу, пожалуй, не только этого раздела, но и всего параграфа. Если мы посмотрим на соотношения (5.6) и (5.11), а также учтем, что всегда s-1(r) = O(r), то увидим, что главными частями аналитических функций Ys при всех s, как и при s = 0, служит один и тот же тригонометрический многочлен q0, определенный второй из формул (5.7) и равный нулю в точке 0. Это наблюдение показывает, что все функции Ys допускают регуляризацию в точке (0, 0). Более того, поскольку X0 и Y0 при малых r > 0 не равны нулю одновременно, то множество D(p) конечно, как мы недавно заметили, имея в виду лемму 4.8. Таким образом, все входящие в его состав функции Ys могут быть регуляризованы единой степенной заменой переменной r. Но мы утверждаем больше.

Лемма 5.2. От любого из рассмотренных нами показателей p можно перейти к такому кратному ему показателю P, что все функции, входящие в состав множества D(P ), окажутся регулярными в интересующей нас точке.

Доказательство. Подберем номер N так, чтобы замена r = RN привела все функции Ys к регулярному виду в точке R =0, = 0. Мы утверждаем, что в качестве искомого показателя можно взять, например, число P = Np.

Некоторая нетривиальность нашего утверждения связана с тем, что не только количество функций в дереве Каратеодори, но и формулы для них зависят от веса этого дерева. В частности, мы не могли бы ограничиться просто тем замечанием, что все функции Ys, выраженные в переменных R,, стали регулярными в нужной нам точке. Теперь нас интересуют не эти функции, а те их аналоги, к которым мы пришли бы, взяв еще в начале параграфа вместо p число P. Словом, мы должны убедиться в регулярности всех функций, составляющих новое дерево D(P ). Но предыдущая лемма только что показала нам, что Аналитическая гипотеза Каратеодори на самом деле каждая функция из множества D(P ), зависящая от переменных R и, совпадает с одной из функций вида Ys(RN, ), где Ys D(p), и потому регулярна в точке R =0, = 0. Лемма доказана.

Итак, змея, ухватив себя за хвост, свернулась в кольцо, определив для нас арену будущих действий... Здесь мы навсегда прощаемся с полярным радиусом, наконец-то, найдя ему достойную замену. Нам не нужны больше и заглавные буквы P и R, и мы возвращаемся к более удобным обозначениям p и r, но уже по праву считая, что вместе с рядами w, w и w все функции Xs и Ys, по каким бы общим для X0 и Y0 вещественным тейлоровским цепочкам они ни были построены, регулярны в точке (0, 0). Это значит, что к ним применимы все выводы о регулярных функциях, полученные в предыдущем параграфе.

5.4. Замена полярного угла. К тому моменту, когда в предстоящем нам исследовании мы придем к необходимости изучения функций Xs и Ys, у нас накопится совместная вещественная тейлоровская цепочка 0, 1,..., s-функций X0 и Y0. На этом этапе особенно удобно будет заменить полярный угол новой переменной u, полагая = s-1(r) +urs. (5.14) Здесь s-1(r) означает многочлен переменной r, определенный первой из формул (5.10). Вскоре нам пригодится и связанный с ним многочлен s-1(r), заданный вторым из упомянутых соотношений. Пока нет необходимости обсуждать, почему возникает потребность именно в таких заменах угловой переменной, хотя мы уже видели в § 4, насколько они естественны и полезны. Здесь наша задача сводится к тому, чтобы в дальнейшем освободить себя от тяжелых и отвлекающих вычислений. Лучше такую работу выполнить заранее, что мы и предлагаем читателю.

Прежде всего преобразуем главную нашу функцию w к переменным r и u. Как показывает лемма 4.1, в результате она запишется в виде степенного ряда w = rmgm(u), (5.15) m=pk чьими коэффициентами служат некоторые алгебраические многочлены gm переменной u. Разумеется, в этом месте можно было бы точнее сказать, откуда начинается ряд, учитывая регулярность функции w, но сейчас для нас это не имеет значения.

Как читатель уже заметил, говоря о функции w, мы часто упоминали и первые две ее производные по переменной. Они и в самом деле будут нам интересны, и мы тоже запишем их в новых переменных, выразив их через коэффициенты ряда (5.15). Это легко:

w = gm(u)rm-s, w = gm(u)rm-2s. (5.16) m=pk m=pk Обращаясь теперь с той же целью к дифференциальным выражениям (5.5), после немалой, хотя и элементарной вычислительной работы мы обнаружим, 354 В. В. Иванов что функции X0 и Y0 в переменных r и u примут следующий вид:

X0 = a(0)rm + a(1)rm-s + a(2)rm-2s /p2, m m m m=pk (5.17) Y0 = b(1)rm-s + b(2)rm-2s /p, m m m=pk где коэффициенты a(i), участвующие в первом из этих соотношений, явно выm ражаются через многочлены s-1 = s-1(r) и gm = gm(u) по формулам a(0) = m(2p - m)gm +(2m - s - 2p)sugm - s2u2gm, m a(1) = (2(m - s - p)s-1 + rs-1)gm - 2s-1sugm, (5.18) m a(2) = p2 - s-1 gm, m и то же самое относится к коэффициентам b(j) второго соотношения, для котоm рых аналогичные формулы уже заметно проще:

b(1) =(m - s - p)gm - sugm, m (5.19) b(2) = -s-1gm.

m К счастью, мы далеко не сразу столкнемся с этими устрашающими выражениями. Например, если взять в них s =0, полагая -1 = -1 =0 и справедливо считая, что в таком случае u = и gm(u) =wm(), то соотношения (5.17)–(5.19), как и должно быть, превратятся в исходные формулы (5.6). Затем мы возьмем s =1 и соответственно функции 0(r) =0 и 0(r) =0, когда формулы (5.17)– (5.19) имеют еще вполне приличный вид. Они не слишком усложнились бы, если мы перешли бы к следующему шагу, полагая s =2, поскольку функции 1(r) =0 + 1r и 1(r) =1r еще совсем просты. И только когда перед нами встанет задача совершения индукционного шага, наши выражения предстанут нам во всей своей красе. Но здесь уж ничего не поделаешь нам придется познакомиться с ними поближе, привыкнуть к ним и обнаружить, что на самом деле они вполне обозримы и даже привлекательны, но что совсем неожиданно, после их преобразования в соответствии с формулами (5.11) в главных своих частях они будут иметь простую и ясную структуру, общую для всех шагов.

В заключение раздела простая загадка. Если бы мы, преобразуя функции X0 и Y0 к новым переменным, исходили не из дифференциальных выражений (5.5), а из разложений (5.6), у нас получились бы степенные ряды относительно переменной r, в которых нигде не могли бы появиться отрицательные показатели. Между тем, если внимательно посмотреть на формулы (5.17), то можно заметить, что отрицательные показатели в них все же появляются это происходит, когда номер шага s становится больше числа pk, всегда остающегося неизменным. В чем же дело Впрочем, загадка легко разгадывается, и мы получаем первую возможность удивиться внутренней организованности внешне неуклюжих выражений (5.18) и (5.19). Действительно, согласно лемме 4.1 многочлены gm, возникшие в новом разложении (5.15) функции w, не могут быть совсем произвольными. Например, первые s из них постоянны, а следующие за ними s многочленов линейны. Если мы еще раз обратимся к формулам (5.17)–(5.19), то увидим, что всякий раз, когда степень r падает от значения m на s единиц, в качестве сомножителя обязательно присутствует по Аналитическая гипотеза Каратеодори крайней мере первая производная gm, которая может быть отличной от нуля только при m pk + s. В тех же местах, где степень m уменьшается на 2s, непременно появляется вторая производная gm и только при m pk +2s она вправе быть ненулевой. Таким образом, в наших рядах нет степеней переменной r, меньших pk. Кстати, то же самое касается и рядов (5.16). Словом, дело здесь, разумеется, не в рядах, а в способе преобразования переменных.

5.5. Что нас ждет впереди. Следует признать, что до сих пор мы не приступили еще к настоящему исследованию, но лишь готовились к нему.

Впрочем, в этом мы не чувствуем за собой никакой вины, ибо все определяется объективной сложностью самой задачи, и мы не хотели бы посвящать ей работу, которая бы, оставшись непонятой, канула в Лету...

Так что впереди у нас самое интересное. А ждут нас красивые аналитические и алгебраические линии, как и неразлучные их спутники степенные ряды и многочлены, скрывающие где-то в своих недрах те пружины, за счет которых и вращаются их геометрические подруги... Самое же удивительное заключается в том, что при невероятной сложности возникающей здесь картины эти линии все же подчиняются определенным запретам, не позволяющим им накапливать отрицательный индекс. Но убедиться в этом мы сможем далеко не сразу прежде мы должны детально изучить каждую критическую область, пройдя, если будет нужно, через несколько все более и более тонких уровней.

Нам предстоит совершить неизвестное, хотя и конечное число шагов, пока мы не преодолеем весь процесс разрешения особенностей, ветвящийся на каждом этапе и доставляющий всякий раз новые линии и новые критические точки. Чтобы в течение всего пути не терять ориентации и чувства уверенности, нам нужна единообразная для всех шагов система обозначений и стройная логическая схема дальнейшего исследования. Кое-что в этом отношении мы уже сделали и теперь предлагаем вниманию читателя краткий план той работы, которую нам осталось провести.

Каждый объект, который нам придется исследовать, всегда будет относиться к определенному уровню. Все такие уровни нумеруются значком s, принимающим последовательные целые значения начиная с единицы. Изучению объектов уровня s отводится отдельный одноименный этап, или s-й шаг, нашего исследования. К началу каждого такого шага в нашем распоряжении будут:

(1) один из наборов 0, 1,..., s-1 вещественных чисел, представляющих собой совместную тейлоровскую цепочку функций X0 и Y0;

(2) связанное с этой цепочкой семейство замкнутых линий Cs(r), определенных для всех достаточно малых значений r >0 и не пересекающих начала координат; каждая такая линия будет состоять из основного участка и замыкающей его дуги; при этом основной участок параметризуется знакомыми нам функциями Xs и Ys, построенными выше по формулам (5.11), а замыкающие дуги строятся по определенным правилам, о которых здесь вряд ли уместно говорить;

(3) некая гипотеза Hs о линиях Cs(r), а точнее об их индексах; согласно этой гипотезе всегда ind Cs(r) 0, (5.20) а если нам попался избранный случай, то справедливо более сильное неравенство ind Cs(r) 1. (5.21) 356 В. В. Иванов Сейчас у нас нет никакой возможности, равно как и необходимости, пояснять, что такое избранный случай.

Наш план в точности соответствует той логической схеме, которую мы описали в разд. 4.5, и сводится к следующему. Прежде всего, построив семейство C1(r), отвечающее цепочке 0, мы обнаружим, что из гипотезы Hвытекает неравенство (5.9), заключающее в себе, как мы видели, гипотезу Каратеодори. Тем самым будет завершен начальный этап исследования, который мы начали и почти полностью прошли еще в § 2.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.