WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 17 |

Итак, после первого этапа разрешения особенности перед нами совершенно ясная картина. У нас имеется семейство функций p1(z) +rH(r, z), которые при r 0 равномерно на отрезке -1/ z +1/ стремятся к многочлену p1(z), не имеющему вне отрезка ни одного корня. Концы графика многочлена на этом отрезке, как и концы стремящихся к нему линий, расположены в тех же открытых четвертях плоскости, что и у графика функции A0zk, а значит, эти четверти легко определяются по знаку коэффициента A0 и четности номера k0. Исходная наша задача сводится теперь к изучению точек указанного отрезка, где линии семейства пересекают ось z. Ясно, что при малых r эти точки, если таковые найдутся, могут локализоваться только около вещественных корней многочлена p1 и здесь начинается новый этап анализа. Регулярность функции гарантирует нам, что и на всех последующих шагах у нас в полной мере сохраняются те замечательные возможности, которые мы имели на первом этапе.

4.5. Обрывание совместных цепочек. Рассмотрим теперь сразу два регулярных в точке (0, 0) ряда F (r, ) и G(r, ) с вещественными коэффициентами. Будем считать, что для достаточно малых r > 0 и близких к вещественных значений переменной они не равны нулю одновременно:

F (r, )2 + G(r, )2 =0. (4.22) Предположим, что нам нужно доказать некую гипотезу H(0) о паре наших функций F и G. Мы приступаем к работе и в какой-то момент либо справляемся с задачей, либо обнаруживаем некоторые неожиданные для нас сложности. Мы замечаем, что эти сложности возникают лишь в том случае, когда у функций F и G имеется хотя бы один общий вещественный тейлоровский параметр первого уровня. Тогда для каждого такого параметра мы придумываем новую гипотезу H(0, 1) и устанавливаем, что из совокупности этих гипотез первого уровня вытекает и наша изначальная гипотеза H(0). Далее, перебирая по очереди все значения 1, мы для каждого из них пытаемся доказать соответствующую ему гипотезу H(0, 1), и снова либо доказываем ее, либо встречаем новые затруднения. И в этот раз выясняется, что новые препятствия появляются лишь при наличии у функций F и G общего вещественного тейлоровского параметра 2 второго уровня, продолжающего их совместную цепочку Тейлора 0, 1. Теперь для каждого такого значения 2 мы придумываем гипотезу H(0, 1, 2), убеждаемся, что из совокупности этих новых гипотез уже второго уровня вытекает гипотеза H(0, 1), и так движемся дальше.

Возникает естественный вопрос: если мы на каждом этапе описанного пути действительно либо доказываем очередную гипотезу, либо сводим ее при появлении известных нам обстоятельств к гипотезам следующего этапа, то закончится ли когда-нибудь наша работа, а точнее можем ли мы утверждать, что гипотеза H(0) справедлива Утвердительный ответ на этот важный и совсем не праздный для нас вопрос, как легко понять, вытекает из следующего, почти очевидного, утверждения.

Лемма 4.8. Благодаря условию (4.22) функции F и G могут иметь лишь конечное число общих вещественных цепочек Тейлора с началом в точке 0.

Аналитическая гипотеза Каратеодори Доказательство. В самом деле, каждая тейлоровская цепочка той или иной регулярной функции по определению является начальным отрезком последовательности коэффициентов некоторого ее тейлоровского ряда. Каждый такой ряд, как мы знаем, представляет собой настоящую аналитическую функцию, решающую соответствующее уравнение. С другой стороны, общее число тейлоровских рядов с данным началом у каждой регулярной функции конечно.

Поэтому функции F и G могли бы иметь бесконечно много общих вещественных цепочек Тейлора, начинающихся в точке 0, лишь в том случае, если у них был бы общий тейлоровский ряд T (r) с вещественными коэффициентами, равный 0 при r =0. Но тогда для всех достаточно малых r >0 при = T (r) были бы одновременно выполнены равенства F (r, ) = 0 и G(r, ) = 0. Поскольку = T (r) T (0) = 0 при r 0, это противоречило бы условию (4.22).

Лемма доказана.

В заключение параграфа особо подчеркнем, что и для вещественной аналитической функции ее регулярность в нашем смысле означает, что тейлоровскими являются абсолютно все ее ряды Пюизо, не только вещественные, но и комплексные, которые, пряча свой облик где-то за рамками вещественной картины, тайно определяют важнейшие и вполне реальные ее черты. Без учета их незримого присутствия мы не смогли бы прийти к описанным выше выводам о формальном устройстве рядов, полученных после рассмотренных здесь замен переменных. Ясно, что вещественные замены, примененные к вещественным регулярным функциям, будут приводить нас к новым степенным рядам с действительными полиномиальными коэффициентами. Но теперь, когда нам придется воспользоваться изученными здесь замечательными свойствами новых рядов, мы иной раз будем вспоминать, где лежат истинные источники этих свойств, о которых мы никогда не узнали бы, оставаясь в тисках одномерной действительной прямой...

§ 5. Опережение событий Семейство линий, которое терпеливо дожидалось, пока мы получим в свое распоряжение подходящий аналитический инструмент, наконец-то, снова становится предметом нашего внимания. Как мы уже убедились, обычно эти линии устроены относительно просто, и задача может быть исчерпана элементарными средствами. Между тем, случается, что на некоторых участках наши линии ведут себя настолько замысловато, причудливо петляя вокруг начала координат, что распутать этот клубок было бы очень трудно без того увеличительного аппарата, который обсуждался в двух предыдущих параграфах.

Здесь мы лишь подготовим условия, необходимые для применения этого аппарата. Сейчас наша главная задача заранее провести регуляризацию тех аналитических функций, которые наряду с уже известными нам могут появиться на сколь угодно далеких этапах ожидающего нас исследования.

5.1. Замена полярного радиуса. Мы предлагаем читателю заглянуть в конец второго параграфа, где осталась наша маленькая петелька c(, 0), локализующая одну из особенностей 0 начального уровня, и вспомнить о той задаче, которую нужно решить, чтобы убедиться в справедливости гипотезы Каратеодори. Как мы видели, нам достаточно доказать, что индекс петельки c(, 0) никогда не бывает отрицательным. Более того, нам остается изучить лишь тот случай, когда особенность 0 имеет тип (1, ±) или (2, ±).

Впрочем, пока нас будет интересовать не столько петелька c(, 0), сколько 348 В. В. Иванов ряды X и Y, которые параметризуют основной ее участок. Напомним, что особенность 0 относится именно к этому участку и представляет собой совместный корень главных частей функций X и Y. При этом, как мы отметили в разд. 1.5, функции X и Y, изначально зависящие от полярного радиуса и полярного угла, допускают аналитическое продолжение в довольно широкую область комплексных пар (, ). Все это означает, что обе они могут быть регуляризованы в точке =0, = 0. Пусть p будет одним из тех показателей, для которых замена = rp превращает оба ряда X и Y в регулярные функции переменных r и.

Важно подчеркнуть, что здесь нас вполне устроил бы и любой другой показатель, кратный p, и уже сейчас мы воспользуемся этим обстоятельством. Как мы помним, оба ряда X и Y специальным образом выражаются через первичную аналитическую функцию, главной частью которой служит тригонометрический многочлен k. При этом особенность 0, имеющая в нашем случае тип (1, ±) или (2, ±), согласно (2.7) является корнем многочлена k, причем кратности не ниже трех. Поэтому и для главных частей рядов = mm(), = mm()(5.1) m=k m=k особенность 0 оказывается корнем. Таким образом, не только функция, но и ее производные и допускают регуляризацию в точке (0, 0). Будем считать, что показатель p, только что выбранный для рядов X и Y, одновременно обслуживает и эти три функции. Чуть ниже мы окончательно определимся в выборе этого показателя, а пока выясним, к каким изменениям в нашей задаче приводит указанная выше замена полярного радиуса.

Прежде всего заметим, что функция, как и порожденные ею ряды X и Y, становятся теперь функциями переменных r и, и мы принимаем для них новые обозначения w, X0 и Y0, полагая w(r, ) =(rp, ), X0(r, ) =X(rp, ), Y0(r, ) =Y (rp, ). (5.2) Функция w, как показывает формула (1.14), задается теперь степенным рядом следующего вида:

w = rmwm(), (5.3) m=pk где wm представляют собой тригонометрические многочлены переменной.

Можно заметить, что здесь wm = m/p, если m делится на p, и wm = 0 для остальных значений индекса m, но нам ни разу не придется применить эти наблюдения. Важнее подчеркнуть, что главной частью ряда w служит, разумеется, прежний тригонометрический многочлен k, который лишь получил новое обозначение wpk.

Необходимо также отметить, что любая замена одного лишь полярного радиуса, очевидно, коммутирует с дифференцированием по полярному углу. В частности, w(r, ) =(rp, ), w(r, ) =(rp, ), (5.4) так что регуляризация рядов (5.1) означает, что производные w и w новой функции w тоже оказываются регулярными в точке r =0, = 0.

Аналитическая гипотеза Каратеодори Как легко проверить, функции X0 и Y0 связаны с функцией w новыми уравнениями X0 =(p2w +(2p - 1)rwr - r2wrr)/p2, (5.5) Y0 =(rwr - pw)/p, в которые после перехода к переменным r и преобразуются прежние дифференциальные выражения (1.9). Отсюда вытекает, что разложения этих функций по степеням переменной r имеют следующий вид:

X0 = rm(p2wm() - m(m - 2p)wm())/p2, m=pk (5.6) Y0 = rm(m - p)wm()/p.

m=pk Подчеркнем, что главными частями новых рядов служат тригонометрические многочлены p0() =wpk() - k(k - 2)wpk(), (5.7) q0() =(k - 1)wpk(), и мы с удовлетворением отмечаем, что они хотя это и не должно нас удивлять идентичны прежним нашим многочленам p0 и q0, определенным выше формулами (2.3).

Петельку c(, 0) теперь естественно обозначить символом c0(r, 0). Основной ее участок, очевидно, описывается уравнениями x = X0(r, ), y = Y0(r, ), | - 0| 0, (5.8) равносильными уравнениям (2.15). Правила замыкания этого участка, разумеется, не изменились от смены обозначений, так что речь идет о прежней петельке, которой лишь слегка поменяли номер.

Таким образом, наша исходная геометрическая задача сводится к доказательству неравенства ind c0(r, 0) 0, (5.9) каким бы ни оказался в итоге показатель p, который мы, очевидно, все еще вправе заменить, например, любым кратным ему числом.

5.2. Деревья Каратеодори. Логика излагаемого ниже доказательства такова, что нам необходимо заранее предвидеть, когда и чем все закончится, чтобы знать, с чего начать. Дело в том, что на каждом этапе нашего исследования у нас будут возникать новые линии и описывающие их аналитические функции и нам хотелось бы, чтобы они были регулярными, подобно тем функциям, о регулярности которых мы уже позаботились. Но эти новые функции, вообще говоря, вовсе не обязаны отвечать нашим пожеланиям. Разумеется, можно было бы тут же, на месте, провести их регуляризацию, еще раз применив степенную замену радиальной переменной. Но вся беда в том, что это изменит и прежние функции, которые появлялись у нас на пройденных к этому времени этапах, и мы должны будем снова вернуться к их изучению, не имея никакой гарантии, что после этого вновь не встретим такие же затруднения. Ясно, что так построенное доказательство навряд ли имело бы шанс кого-нибудь убедить и даже когда-нибудь закончиться...

Чтобы успешно выйти из этой драматичной ситуации, нужно по крайней мере заранее знать все функции, которые встретятся на нашем пути и на чью 350 В. В. Иванов регулярность мы возлагаем особые надежды. К счастью, мы знаем эти функции, и теперь приступаем к описанию всего их дружного семейства, которое в честь бесспорного его прародителя мы назовем деревом Каратеодори.

Итак, пусть p означает любой из показателей, удовлетворяющих тем условиям, о которых говорилось в предыдущем разделе. А именно, пусть в результате замены = rp функции X, Y и превратились в регулярные в точке (0, 0) функции X0, Y0 и w, причем производные w и w также оказались регулярными. С каждым таким показателем p мы и свяжем вполне определенный набор функций, который обозначим символом D(p) и назовем деревом Каратеодори веса p.

Пусть набор из s вещественных чисел 0, 1,..., s-1 представляет собой совместную тейлоровскую цепочку функций X0 и Y0. Для каждой такой цепочки построим прежде всего два многочлена, играющие в дальнейшем исключительно важную роль:

s-s-1(r) = iri, s-1(r) =r s-1(r). (5.10) i=Мы должны признаться, что в полной мере осознаем, насколько некорректны наши обозначения, когда индекс определяемой нами функции мы связываем с длиной породившей ее цепочки, хотя прекрасно понимаем, что разные цепочки вполне могут иметь одинаковую длину, порождая при этом абсолютно разные функции. Нам остается лишь уповать на снисходительность нашего читателя, который со временем, возможно, обнаружит в наших вольностях некую целесообразность... Продолжая в том же духе, построим еще две функции Xs и Ys, определяемые той же тейлоровской цепочкой:

s-1(r)/p Xs = X0, Ys = Y0 + · X0. (5.11) 1 - (s-1(r)/p)Учитывая несовершенство наших обозначений, мы обязаны пояснить, что при s =1 речь идет об одноместной цепочке Тейлора, сводящейся к ее началу 0. Этому крайнему случаю отвечают многочлены 0(r) 0 и 0(r) 0, так что не только X1 = X0, но и Y1 = Y0. Значению s = 2 соответствуют уже более интересные многочлены 1(r) =0 + 1r и 1(r) 1r, и хотя Xозначает все ту же функцию X0, ее спутница Y2 при 1 = 0 доставляет нам пример новой функции, еще не встречавшейся прежде. По-видимому, можно согласиться, что при s 3 выражение 0, 1,..., s-1 уже вполне корректно и ни в каких комментариях не нуждается.

Другое дело откуда и зачем появились многочлены (5.10) и, особенно, пары функций (5.11) столь странного вида В силу обстоятельств, отмеченных в самом начале раздела, сейчас мы не можем сказать по этому поводу ничего вразумительного. Все прояснится в последних двух параграфах нашей работы.

А пока мы предлагаем читателю смириться с мыслью, что эти функции нам действительно будут нужны, и отнестись к ним с должным вниманием.

Множество D(p) мы определяем как совокупность всех функций Ys вида (5.11), построенных по всевозможным вещественным наборам 0, 1,..., s-1, представляющим собой общие цепочки Тейлора регулярных рядов X0 и Y0.

Как мы увидим, функции Xs и Ys всегда будут составлять у нас неразлучную пару. Поэтому с нашей стороны, пожалуй, было бы несправедливо разлучать их безо всякой надобности, включая лишь одну из них в состав дерева D(p). И в самом деле, ничто не мешает нам сложить это дерево из цельных Аналитическая гипотеза Каратеодори пар (Xs, Ys), положив в его основу изначальную пару (X0, Y0). И тогда, как бы в ответ на этот наш благородный жест, хотя он ничего нам и не стоил, дерево Каратеодори, расправляя свои бесчисленные ветви, открывает перед нашим взором всю панораму будущих событий.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.