WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 17 |

Разумеется, совсем нетрудно было бы привести здесь формально безукоризненные определения и рассуждения, но в нашу задачу не входит испытывать терпение читателя. Мы надеемся, что ему вполне достаточно будет высказанных только что замечаний, чтобы согласиться и с дальнейшими нашими выводами.

Предположим теперь, что переменная, выходя из какой-либо точки 0, один раз пробегает вокруг нуля против часовой стрелки. Точнее говоря, пусть она движется в области D вдоль замкнутой линии, у которой индекс относительно нуля при стандартной ориентации комплексной плоскости равен единице. Поскольку все такие петли гомотопически эквивалентны, возникающая в результате перестановка множества [ 0] не зависит от конкретного способа движения, и мы обозначим ее символом [ 0].

336 В. В. Иванов Непустую часть множества [ 0], инвариантную относительно отображения [ 0], назовем круговой системой, если [ 0] действует на ней как циклическая перестановка. Вполне может оказаться, что все элементы множества [ 0] образуют единую круговую систему, и вскоре мы сможем точно сказать, когда это бывает. Если же это не так, то множество [ 0] распадается на несколько круговых систем (рис. 3.1). Пусть c[ 0] означает одну из них.

Im Im O Re Re Рис. 3.1. Типичные круговые системы.

Перенесем теперь переменную из точки 0 в другую точку 1 вдоль некоторого пути, как всегда, не покидающего пределы области D. В результате каждый элемент множества [ 0] переместится в соответствующую точку множества [ 1]. Ясно, что возникающая при этом биекция между множествами [ 0] и [ 1], вообще говоря, зависит от пути, по которому мы перешли от точки 0 к точке 1. Но все эти биекции, как легко понять, преобразуют систему c[ 0] в одну и ту же часть множества [ 1], которую естественно обозначить символом c[ 1]. Более того, множество c[ 1], очевидно, представляет собой круговую систему множества [ 1].

Итак, мы ясно видим, что число m круговых систем c1[ ],..., cm[ ], на которые при каждом значении D разбивается множество [ ], не зависит от D, причем нумерацию этих систем можно организовать так, что для всякого i = 1,..., m система ci[ ], не меняя количества своих элементов, будет непрерывно зависеть от. При этом каждый элемент системы ci[ ] окажется локально-аналитической функцией переменной. Если же мы посчитаем, например, сумму всех элементов системы ci[ ] или какой-нибудь другой симметрический многочлен от них, у нас получится уже настоящая однозначная аналитическая функция в области D. Более того, в нуле всякая такая функция будет иметь, очевидно, устранимую особенность, поскольку все элементы системы ci[ ] при 0 стремятся к 0. Таким образом, если множество ci[ ] состоит из qi элементов и мы перенумеруем их как попало, обозначив их символами i1( ),..., iq ( ), то многочлен i Qi =( - i1( ))... ( - iq ( )), (3.7) i разложенный по степеням разности - 0, будет иметь следующий вид:

i i-Qi =( - 0)q + bi1( )( - 0)q +... + biq ( ), (3.8) i где коэффициентами bij( ) служат функции, аналитические в области | | < и равные нулю при =0. Поскольку все корни ij( ) многочленов Q1,..., Qm в совокупности составляют полный набор [ ] корней многочлена Q, то Q = Q1... Qm. (3.9) Аналитическая гипотеза Каратеодори Пожалуй, стоит подчеркнуть, что ни один из многочленов Qi уже не допускает дальнейшего разложения. В самом деле, как мы только что видели, каждый нетривиальный множитель многочлена порождает по крайней мере одну круговую систему его корней, и если мы на минуту представим многочлен Qi разложенным в произведение хотя бы двух таких множителей, то на наших глазах единый цикл его корней должен будет разорваться на несколько меньших циклов, а то и вовсе рассыпаться на отдельные звенья...

Таким образом, между неприводимыми множителями многочлена Q и круговыми системами корней уравнения Q = 0 имеется замечательное взаимнооднозначное соответствие. В частности, учитывая предыдущую лемму, мы приходим к следующему важному выводу.

Лемма 3.2. Многочлен Q вида (3.6) неразложим тогда и только тогда, когда при каждом достаточно малом значении =0 уравнение Q(, ) =0 имеет ровно q различных корней и все они образуют единую круговую систему.

3.4. Ряды Пюизо простого многочлена. В нашем экскурсе в комплексную теорию неявных функций мы вплотную подошли к самому торжественному моменту. Кульминацией нашего повествования будет представление решений полиномиальных уравнений с аналитическими коэффициентами в виде многозначных дробно-степенных рядов, которые именуют рядами Пюизо.

Пусть Q означает тот же многочлен, что мы изучали в предыдущем разделе, но теперь мы считаем его неразложимым. Иными словами, мы теперь предполагаем, что для любого D все корни уравнения Q(, ) = 0 не только простые, а значит, число их равно степени q многочлена Q, но все они циклически преобразуются один в другой, когда переменная совершает обход вокруг нуля в положительном направлении. Если же мы заставим эту переменную q раз обернуться вокруг нуля против часовой стрелки, то каждый корень набора [ ] вернется к исходному своему значению. И здесь возникает неизбежная идея: давайте параметризуем переменную более медленной комплексной переменной r, полагая = rq. Тогда за один оборот новой переменной r вокруг нуля прежняя переменная совершит q таких оборотов, а значит, каждый корень системы [ ] =[rq], описав положенную ему петлю, вернется к первоначальному значению. Иначе говоря, как показывают простые аргументы вроде теоремы монодромии, каждый корень многочлена Q представляет собой однозначную аналитическую функцию переменной r, а поскольку этот корень стремится к 0 при r 0, он допускает аналитическое продолжение и в точку r =0. Это значит, что в области |r| <1/q он может быть разложен по неотрицательным степеням переменной r.

Пусть (rq) будет одним из таких корней, и мы запишем его в виде суммы степенного ряда:

(rq) =0 + jrj. (3.10) j=Если теперь предложить переменной r пробежать q-ю часть окружности в положительном направлении и понаблюдать за соотношением (3.10), мы обнаружим любопытнейшую вещь. А именно, с одной стороны, поскольку точка rq за это время совершит ровно один оборот вокруг нуля, корень (rq) превратится в следующий за ним по циклу новый корень. С другой же стороны, если новую сумму ряда (3.10) мы захотим выразить через первоначальное значение r, то нам всего лишь нужно будет каждый коэффициент j умножить на j-ю 338 В. В. Иванов степень комплексного числа e2i/q. Ясно, что описанную процедуру можно повторить, применив ее к новому ряду, и так за несколько шагов у нас получатся аналитические представления всех корней.

Чтобы выразить соотношение (3.10) в терминах исходной переменной, всюду заменим в нем r на 1/q, и тогда ряд Тейлора для функции (rq) превратится в дробно-степенной ряд Пюизо для корня ( ):

( ) =0 + j( 1/q)j. (3.11) j=Сказанное выше показывает нам, что q различным значениям выражения 1/q соответствуют q различных корней многочлена Q. Таким образом, все эти корни фактически представляются одним рядом, но зависящим от многозначной (при q >1) переменной 1/q. Невозможно не восхититься этим совершенно потрясающим результатом, и мы не могли бы обойти его молчанием. Но, все же, нам удобнее будет иметь дело с q различными рядами, выражающими в совокупности все интересующие нас корни, и мы уже знаем, как найти их аналитические выражения. Действительно, если с каждым коэффициентом j связать цепочку 1j = j, 2j = 1je2ij/q,..., qj = q-1,je2ij/q, (3.12) а затем для каждого выбрать какое-нибудь одно из значений выражения 1/q, то ряды l( ) =0 + lj( 1/q)j, l =1,..., q, (3.13) j=сходящиеся по крайней мере в диске | | <, и дадут нам полный набор корней 1( ),..., q( ) многочлена Q. В результате сам многочлен окажется представленным в виде произведения:

Q =( - 1( )) ·... · ( - q( )). (3.14) Следует подчеркнуть, что формула (3.14) справедлива только в том случае, если при вычислении сумм (3.13) всюду используется одно и то же значение корня 1/q. Если же мы решим заменить его другим, это приведет лишь к перестановке множителей в произведении (3.14).

3.5. Цепочки Тейлора регулярной функции. Мы давно уже не вспоминали о функции f(, ), которая послужила источником для всего этого параграфа, но пока осталась забытой в разд. 3.1. Теперь мы легко завершим описание ее локального устройства. Прежде всего многочлен P, тесно связанный с нею теоремой Вейерштрасса, мы разложим на простые множители с единичными старшими коэффициентами. Каждый из них, как мы только что видели, порождает одну круговую систему рядов Пюизо, причем число элементов в системе равно степени множителя. Таким образом, с многочленом P, имеющим степень k0, связана система из k0 таких рядов, и мы обозначим их символами P1,..., Pk. Тогда, разумеется, P =( - P1( )) ·... · ( - Pk ( )), (3.15) но чтобы эта формула имела смысл, нужно еще указать, как вычисляется ее правая часть. Мы имеем в виду, что для каждой круговой системы рядов Пюизо, входящей в цепочку P1,..., Pk, выбирается хотя и произвольное, но общее Аналитическая гипотеза Каратеодори для всех ее представителей значение соответствующего корня из переменной.

Для разных круговых систем никакого согласования, даже если оно возможно, не требуется. Подчеркнем также, что среди множителей, участвующих в разложении (3.15), в отличие от (3.14) вполне могут оказаться равные.

Разложение (3.15) вместе с формулой Вейерштрасса (3.3) показывает нам, что функция f(, ) в некоторой окрестности точки (0, 0) может быть записана следующим образом:

f(, ) =A0 k( - P1( )) ·... · ( - Pk ( ))(1 + S(, - 0)), (3.16) где символ S, как мы помним, означает степенной ряд относительно переменных и - 0 без свободного члена. Правая часть этой формулы имеет тот же смысл, что и в разложении (3.15) многочлена P. Теперь мы видим, что среди всех пар (, ), достаточно близких к точке (0, 0), уравнению f(, ) =при =0 удовлетворяют в точности те из них, которые связаны соотношением = Pi( ) при некотором i.

Нам остается представить изложенные выше классические результаты в той форме, которая будет наиболее удобной для последующего их применения. В некотором смысле, мы совершим сейчас небольшой шаг назад, поскольку выводы, к которым мы придем, непосредственно вытекают уже из формулы (3.10).

Мы непременно воспользовались бы ею, если бы устояли перед искушением рассказать нашему читателю о круговых системах рядов Пюизо...

Итак, если перейти от к переменной r, полагая = rp, где p может быть пока произвольным натуральным числом, то функция f(, ), имеющая вид (3.1), превратится в новую аналитическую функцию F (r, ) = f(rp, ), а формулу (3.1) заменит асимптотическая формула F (r, ) =rk (p0() +rS(r, - 0)), (3.17) где k = pk. С другой стороны, если ту же замену применить к дробностепенному ряду от переменной 1/q, где q нацело делит число p, и вместо 1/q всюду написать rp/q, то он превратится в обычный тейлоровский ряд относительно переменной r. Таким образом, если в качестве p взять общее кратное степеней всех неразложимых множителей многочлена P, то функция F (, ) согласно (3.16) представится в следующей замечательной форме:

F = A0rk ( - T1(r)) ·... · ( - Tk (r))(1 + S(r, - 0)), (3.18) где Ti(r) однозначные аналитические функции от r, определенные в некоторой окрестности нуля и равные 0 при r = 0. Иначе говоря, каждая из них записывается в виде суммы степенного ряда Ti(r) =0 + ijrj, (3.19) j=сходящегося при всех достаточно малых значениях переменной r.

Любую аналитическую функцию F переменных r и, допускающую представление вида (3.18), где коэффициент A0 отличен от нуля, k 0, а ряды Ti(r) определяются выражениями вида (3.19), мы будем называть регулярной в точке r =0, = 0. Ясно, что такая функция F может быть только одним способом представлена в виде (3.18), если не учитывать очередность сомножителей.

Поэтому для каждого s 1 семейство 1s,..., k,s полностью с точностью 340 В. В. Иванов до перестановки определяется самой функцией F. Элементы этого семейства в дальнейшем именуются тейлоровскими параметрами функции F уровня s.

Начальные отрезки коэффициентов рядов (3.19) мы назовем цепочками Тейлора нашей функции. Если среди них найдется цепочка вида 0,..., s-1, s, то о коэффициенте s мы скажем, что он продолжает тейлоровскую цепочку 0,..., s-1 порядка s - 1. Число 0 мы считаем началом всех этих цепочек.

Подводя итоги сказанному, подчеркнем еще раз, что любая аналитическая функция вида (3.1), (3.2) путем подходящей степенной замены первой ее переменной превращается в регулярную функцию. Так как последующие замены степенного характера не нарушают уже достигнутой регулярности, мы имеем возможность для всякого конечного набора функций обсуждаемого типа выбрать общий для них регуляризующий показатель.

§ 4. Преобразования регулярных рядов Уже скоро мы сможем применить рассмотренные выше результаты комплексного анализа к исследованию тех функций, которые мы оставили на время в конце второго параграфа. Но чтобы вернуться к этим функциям во всеоружии, нам нужны еще несколько простых утверждений о формальном строении рядов, описывающих регулярные функции. В частности, нам предстоит выяснить, как они преобразуются при некоторых специальных заменах переменных.

4.1. Замедление времени. Те семейства линий, которые нас ждут впереди, будут описываться аналитическими функциями двух переменных r и. При этом r будет играть роль индекса, или номера, линии в семействе, а будет служить параметризующей переменной. Мы лучше разглядим, как устроена линия в том месте, где параметр близок к тому или иному критическому значению 0, если перейдем от переменной к новой переменной z, полагая = 0 + zr. Смысл этого перехода в том, что если новое время z течет с обычной скоростью, то прежняя переменная при малом r изменяется очень медленно, и мы не спеша движемся вдоль малого участка изучаемой линии, успевая рассмотреть более тонкие ее черты.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.