WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 17 |

В разд. 2.3, как и в 2.4, мы обещали не допускать особенности типа (0, ±) к дальнейшим этапам нашего исследования и разобраться с ними уже в этом параграфе. Поскольку параграф уже заканчивается, нам самое время выполнить свое обещание.

Лемма 2.6. Если особенность 0 имеет тип (0, ±), то индекс соответствующей петельки (, 0) либо равен нулю, либо равен единице, так что в любом случае неравенство (2.12) справедливо.

Доказательство. Уменьшая, если нужно, число 0, мы вправе считать, что производная q0() отлична от нуля не только при = 0, но и на всем отрезке | - 0| 0. Тогда при достаточно малых значениях >0 дуга (, 0) будет всюду иметь ненулевой наклон, а значит, она ровно один раз пересечет ось абсцисс. Но вспомогательная дуга +(, 0), дополняющая (, 0) до петли (, 0), тоже лишь один раз пересекает эту ось, причем в противоположном направлении. Если эти пересечения происходят с одной стороны от нуля, то индекс петли (, 0) нулевой, а если с разных, то положительную полуось абсцисс петелька (, 0) пересекает непременно снизу вверх, так что ее вращение равно единице. В случае особенности типа (0, +) эти утверждения иллюстрируют рис. 2.8 (a) и 2.8 (b). Мы предлагаем читателю самому нарисовать аналогичные картинки для особенности типа (0, -). Лемма доказана.

Заметим, что точно так же уже сейчас мы могли бы исследовать и любую особенность 0 типа (1, ±), для которой n0 = 3, но по соображениям эстетического характера мы не будем этого делать.

Итак, нам остается доказать неравенство (2.12) в том случае, когда особенность 0 имеет тип (1, ±) или (2, ±), а значит, устройство главных частей основных наших функций, X и Y описывается формулами (2.8) и (2.9), где A0 =0 и n0 3. Начиная с этого момента, мы фиксируем одну из таких осо бенностей 0 и всю оставшуюся часть нашей работы посвящаем ее изучению.

Нам незачем больше говорить о приведенных линиях. Они хорошо помогли нам в описанных выше построениях, но теперь их роль исчерпана, и мы возвращаемся к исходным объектам. Вместо ( ) мы снова будем говорить о контуре C( ) = k( ), а петельку (, 0) заменим гомотетичной ей петелькой c(, 0) = k(, 0). Она для нас удобнее тем, что основной ее участок задается уравнениями x = X(, ), y = Y (, ), | - 0| 0, (2.15) где функции X и Y определяются изначальными структурными формулами (1.9) и представляются рядами (1.15). Индекс у петельки c(, 0), очевидно, такой же, как и у приведенной петельки (, 0), и вся наша задача сводится к доказательству неравенства ind c(, 0) 0. (2.16) В этом месте мы вынуждены пока прервать наше исследование, чтобы обсудить важные для дальнейшего результаты комплексной теории функций и относящиеся к ним вопросы алгебры.

332 В. В. Иванов § 3. Неявные аналитические функции По смыслу исходной геометрической задачи в дальнейшем нам придется исследовать лишь вещественные аналитические функции при вещественных значениях их аргументов. Но без выхода в комплексную область нам не удалось бы рассмотреть интересующие нас детали вещественной картины. Поэтому автор настоятельно рекомендует читателю на некоторое время полностью отвлечься от наших проблем и погрузиться в тот загадочный комплексный мир, где скрываются порой истинные причины реальных явлений... Единственное, что будет напоминать нам об оставленной нами задаче, это буквы и, служившие прежде обозначениями для полярного радиуса и полярного угла, но теперь обретающие смысл совершенно свободных комплексных переменных.

3.1. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Каждая отличная от нуля функция f(, ) комплексных переменных и, определенная и аналитическая в окрестности точки (0, 0), может быть единственным способом записана в следующей асимптотической форме:

f(, ) = k(p0() + S(, - 0)). (3.1) Здесь k неотрицательное целое число, p0() аналитическая около точки 0 функция переменной, не сводящаяся к тождественному нулю, а символ S(·, ·) всюду в этом параграфе будет служить у нас общим обозначением для любой функции, аналитической при всех достаточно малых значениях указанных в скобках величин, а потому представимой в виде абсолютно сходящегося двойного степенного ряда. Если же ряд S не имеет свободного члена, и это нам важно будет подчеркнуть, вместо S мы напишем S.

Функцию p0() мы будем называть главной частью ряда f(, ). Пусть 0 служит нулем этой функции, так что p0() =A0( - 0)k (1 + O( - 0)) (3.2) при некоторых A0 =0 и k0 1. Подготовительная теорема Вейерштрасса, доказательство которой можно найти, например, в учебнике Гурса [8], утверждает, что при указанных условиях функция f(, ) вблизи точки (0, 0) допускает представление в виде произведения f(, ) =A0 kP (, )(1 + S(, - 0)), (3.3) где P (, ) означает многочлен вида 0 0-P (, ) =( - 0)k + a1( )( - 0)k +... + ak ( ), (3.4) у которого коэффициентами am( ) служат аналитические функции переменной, определенные в некоторой окрестности нуля и удовлетворяющие условию am(0) = 0.

Эта замечательная теорема показывает, что при достаточно малых =0 и значениях, близких к точке 0, уравнение f(, ) =0 эквивалентно полиномиальному уравнению P (, ) =0. Теперь нам предстоит выяснить, как устроено множество решений полиномиального уравнения с аналитическими коэффициентами. Ясно, что каждому значению отвечает с учетом кратности ровно k0 корней нашего уравнения, причем все они при 0 стремятся к 0. Но весь вопрос в том, можно ли для каждого отдельного значения перенумеровать эти корни таким образом, чтобы в результате их зависимость от имела Аналитическая гипотеза Каратеодори сколь-нибудь регулярный характер. Чтобы разобраться в этом, нам потребуется немного алгебры и комплексного анализа.

Разумеется, все эти вопросы давно изучены, и мы хотим лишь помочь нашему читателю, для которого они, быть может, еще не успели попасть в сферу его геометрических интересов. Потратив несколько, казалось бы, лишних страничек, мы постараемся внушить читателю уверенность в правомерности последующих наших действий.

3.2. Ростки и результанты. Естественно, прежде всего, разложить наш многочлен на неприводимые множители. Но чтобы в дальнейшем иметь возможность применить соответствующие алгебраические конструкции, нам необходимо придать точный смысл ряду используемых ниже понятий. Учитывая локальный характер нашего интереса к полиномиальному уравнению с аналитическими коэффициентами, мы не станем указывать, насколько мала та окрестность нуля, где заданы эти коэффициенты, и не будем заботиться о том, насколько нам придется уменьшить ее в процессе изучения уравнения, чтобы обеспечить справедливость тех или иных наших утверждений. Иными словами, коэффициенты многочлена нам важны лишь как представители соответствующих ростков аналитических функций. Каждый такой представитель любого ненулевого ростка однозначно записывается в виде c m(1 + O( )), (3.5) где коэффициент c отличен от нуля, показатель m представляет собой неотрицательное целое число, а символ O( ) означает степенной ряд относительно переменной без свободного члена, сходящийся при всех достаточно малых значениях. При этом главная часть c m указанного разложения и коэффициенты ряда O( ) для всех представителей данного ростка одни и те же.

Пусть T означает множество всех ростков аналитических около нуля функций, или, что то же самое, всех тейлоровских рядов, каждый из которых имеет положительный радиус сходимости. Естественные операции сложения и умножения превращают это множество в коммутативное кольцо с единицей. В кольце T, очевидно, нет делителей нуля. Обратимые его элементы, как легко понять, это ростки вида (3.5), где m =0. Можно было бы еще заметить, что кольцо T служит прекрасным примером кольца главных идеалов, и даже евклидова кольца. Действительно, чтобы убедиться в этом, достаточно объявить число m порядком или степенью ростка (3.5). Впрочем, это замечание могло бы оказаться для нас полезным лишь одним своим следствием (см. [9, § 17, 18]), которое в нашем случае и без того очевидно: каждый отличный от нуля элемент кольца T единственным образом с точностью до обратимых множителей разлагается в произведение простых, или неразложимых, элементов.

Приятно отметить, что эту теорему единственности, справедливую для кольца T, наследует и кольцо многочленов с коэффициентами из T, как это, вслед за Гауссом, показано, например, в [9, § 30]. Но для нас важнее другой вытекающий отсюда вывод. Пусть L означает поле отношений, отвечающее кольцу T. Всякий многочлен над кольцом T мы можем считать многочленом над полем L. Так вот, если какой-то из таких многочленов оказался разложимым над этой более широкой алгебраической системой, то он разлагается и как многочлен над исходным кольцом T. Все об этих немудреных вещах читатель может найти в книге [9], хотя и здесь мы могли бы обойтись без помощи алгебры. В самом деле, в нашем случае поле отношений L, очевидно, реализуется 334 В. В. Иванов как множество ростков функций, аналитических в проколотой окрестности нуля, которые имеют в нуле либо полюс, либо и вовсе устранимую особенность.

Каждая такая функция определяется своим лорановским рядом и асимптотически представляется в форме (3.5) с той лишь разницей, что теперь показатель m может быть любым целым числом. Учитывая эти замечания, наш читатель вполне элементарными рассуждениями легко убедится сам в справедливости высказанного выше утверждения о разложимости многочленов.

Возвращаясь к нашему многочлену P, оставшемуся в разд. 3.1, где он был представлен выражением (3.4), запишем его в виде произведения неразложимых многочленов над кольцом T. Поскольку произведение старших коэффициентов этих множителей равно единице, то все они представляют собой обратимые элементы кольца T. Вынося их за скобки, мы придем к разложению многочлена P в произведение неприводимых многочленов с единичными старшими коэффициентами. Пусть Q будет одним из таких простых множителей:

Q =( - 0)q + b1( )( - 0)q-1 +... + bq( ), (3.6) где 1 q k0 и bm T для всех m =1,..., q. Поскольку корни многочлена Q являются одновременно корнями и многочлена P, то все они при 0 стремятся к 0, а значит, bm(0) = 0. Главный же итог наших наблюдений заключен в следующем утверждении.

Лемма 3.1. При каждом достаточно малом значении = 0 уравнение Q(, ) =0 имеет ровно q различных корней.

Доказательство. Прежде всего заметим, что при q =1 наше утверждение тривиально. Предположим теперь, что q >1.

Благодаря Эйлеру и Сильвестру, как говорит об этом Ван дер Варден [9], мы легко можем узнать, когда два многочлена положительных степеней с коэффициентами из некоторого поля имеют общий множитель в виде многочлена над тем же полем и тоже положительной степени. А именно, такой множитель найдется тогда и только тогда, когда результант наших многочленов, представляющий собой элемент данного поля, равен нулю.

Пусть означает результант многочлена Q и его производной Q по переменной. Мы утверждаем, что он как аналитическая в окрестности нуля функция переменой отличен от нуля. В самом деле, мы вполне можем считать Q и Q многочленами над полем L, и если их результант был бы равен нулю, то они имели бы общий множитель в виде многочлена положительной степени с коэффициентами из поля L. В частности, это означало бы, что многочлен Q разложим над указанным лорановским полем. Но тогда, как мы уже знаем, он разлагался бы и как многочлен над исходным тейлоровским кольцом T, вопреки истинному положению дел.

Итак, =0. В таком случае, благодаря внутренней теореме единственно сти для аналитических функций одной переменной, ( ) =0 для всех доста точно малых =0. Применяя еще раз теорему о результантах но теперь уже в ее классическом варианте мы заключаем, что при указанных значениях многочлены Q(, ) и Q(, ) переменной, чьими коэффициентами служат обыкновенные комплексные числа, не имеют общих множителей. Такое бывает лишь в том случае, если у многочлена Q(, ) все корни простые, а значит, число различных его корней равно его степени q. Лемма доказана.

Это небольшое алгебраическое отступление нам нужно было для того, чтобы уточнить рассуждения Гурса в том месте, где у читателя могли бы возникнуть резонные вопросы [8, п. 356].

Аналитическая гипотеза Каратеодори 3.3. Круговые системы корней. Итак, изучая устройство множества решений полиномиального уравнения P (, ) =0, мы вправе заменить многочлен P одним из неразложимых его множителей Q вида (3.6). Впрочем, в этом разделе нам незачем считать многочлен Q неразложимым для нас важна будет лишь простота корней уравнения Q(, ) =0, соответствующих достаточно малым значениям =0. Пусть число >0 таково, что указанное условие выполнено в комплексной области D, определяемой неравенствами 0 < | | <.

Таким образом, каждому значению D мы можем поставить в соответствие полный набор корней интересующего нас уравнения, который мы обозначим символом [ ], и всякий раз это множество будет содержать ровно q различных элементов.

Когда переменная непрерывно меняется, оставаясь в области D, ансамбль соответствующих корней [ ] также непрерывно движется как единое целое.

При этом ни один из корней в силу его простоты не теряет своей индивидуальности и мы сколь угодно долго можем следить за его перемещением.

Более того, каждый корень из набора [ ] не только непрерывно зависит от, но локально представляет собой голоморфную функцию этой переменной, как вытекает, например, из той же теоремы Вейерштрасса.

Самое интересное здесь происходит в тот момент, когда переменная, описав петлю в области D, возвращается в исходное положение. Тогда и набор корней [ ] в конце пути, очевидно, совместится с первоначальным набором.

Но это вовсе не означает, что каждый отдельно взятый корень займет свое прежнее место. Можно утверждать лишь одно каждый корень либо вернется в исходную точку, либо займет место одного из своих собратьев, которому в таком случае придется также найти себе новое пристанище среди оставшихся q - 1 точек. Словом, с каждой петлей, описанной переменной, связана определенная перестановка набора [ ], отвечающего тому значению, где начинается и заканчивается петля.

Если переменная, описав одну петлю, продолжит свое движение и снова вернется в исходное положение, у нас появятся уже две перестановки. Ясно, что итоговое преобразование корней в таком случае выразится обычной суперпозицией перестановок. Заметим также, что обратному ходу вдоль заданной петли соответствует обратная перестановка. Наконец, гомотопически эквивалентные петли порождают, очевидно, одну и ту же перестановку корней. Например, если петля не охватывает точку =0, а значит, гомотопически тривиальна, то отвечающая ей перестановка тождественна и каждый корень в конце путешествия возвращается в исходную точку.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.