WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 17 |

Сочетание гомотопической инвариантности индекса с предыдущей леммой, в конечном счете, будет служить нам основным средством исследования вращений замкнутых линий.

Аналитическая гипотеза Каратеодори 2.2. Случай общего положения. Уже сейчас мы найдем первые применения нашим наблюдениям. Возвращаясь к интересующей нас линии C( ), заметим, что при близких к нулю значениях полярного радиуса она слишком мала, чтобы можно было хоть что-то в ней разглядеть. Впрочем, с этой проблемой легко справиться достаточно поделить уравнения нашей линии на k.

В результате мы получим гомотетичную ей приведенную линию ( ), имеющую, с одной стороны, уже вполне приемлемые размеры, а с другой тот же индекс, что и исходная линия:

ind C( ) = ind ( ). (2.1) При малых новые линии, как показывают формулы (1.16) и (1.15), практически сливаются с контуром 0, который описывается уравнениями x = p0(), y = q0(), (2.2) где p0() и q0() означают тригонометрические многочлены от угловой переменной, определяемые формулами p0() =k () - k(k - 2)k(), (2.3) q0() =(k - 1)k().

Ясно, что этому предельному контуру 0 необходимо уделить особое внимание. Мы назовем его главным контуром семейства линий C( ). Следующая лемма отражает основное для нас его свойство.

Лемма 2.2. Контур 0 представляет собой линию, правильную относительно произвольно ориентированной оси абсцисс.

Доказательство. Предположим, что нашлись такие два значения 1 < 2 полярного угла, что y(1) =y(2) =0 и y() < 0 для всех из интервала 1 < <2. В терминах функции k это означает, что k(1) =k(2) =0 и k() < 0 при 1 <<2. В таком случае, очевидно, k (1) 0 и k (2) 0.

Отсюда x(2) - x(1) =k (2) - k (1) - k(k - 2) k()d > 0, так что контур 0 правильный относительно положительно ориентированной оси абсцисс. Точно так же устанавливается правильность контура и по отношению к противоположному направлению той же оси. Лемма доказана.

Большая редкость, когда случайно нарисованная нами линия пройдет через заданную точку. Так и контур 0, как правило, не проходит через начало координат. И если это действительно так, то мы вправе говорить об его индексе, а поскольку он служит пределом для контуров ( ) при 0, его индекс будет индексом и для этих приведенных линий:

ind ( ) = ind 0. (2.4) Сопоставляя теперь равенства (2.1) и (2.4), а также опираясь на две предыдущие леммы, мы приходим к первому важному выводу.

326 В. В. Иванов Лемма 2.3. Если главный контур 0 семейства C( ) не проходит через начало координат, то ind C( ) = ind 0 0. (2.5) Итак, если мы имеем обычный случай, то наше исследование в этом месте заканчивается. Но цель у нас иная мы хотим доказать, что вывод, легко полученный нами в типичном случае, справедлив всегда. Теперь мы предположим, что контур 0 при некоторых значениях параметра пересекает начало координат. Вблизи таких значений поведение линии C( ), как и эквивалентной ей приведенной линии ( ), даже при очень малой величине полярного радиуса уже не определяется в нужной нам степени главным контуром. Здесь требуется более детальное исследование, которое будет опираться на достаточно глубокие свойства аналитических функций двух переменных. В оставшейся части параграфа мы проведем лишь необходимую для такого анализа подготовительную работу. Кроме того, мы познакомимся здесь с теми конструкциями и аргументами, которые пригодятся нам и на дальнейших этапах нашего исследования.

2.3. Классификация особенностей. Как мы договаривались, функция k() отлична от тождественного нуля. Более того, мы можем и будем считать, что она не является постоянной, поскольку иначе контур 0 сводился бы к точке, лежащей на оси абсцисс в стороне от начала координат, а это тривиальный частный случай уже решенной задачи. Легко понять, что теперь ни один из тригонометрических многочленов p0() и q0() не может быть тождественно равен нулю, а значит, каждый из них имеет в пределах одного периода не более 2k вещественных корней, даже с учетом их кратности. Выберем среди них общие корни наших многочленов. Именно в те моменты, когда угловая переменная совпадает с одним из таких корней, контур 0 проходит через начало системы отсчета. Мы назовем эти моменты особыми значениями начального, или нулевого, уровня.

Пусть 0 будет одним из них:

p0(0) =0, q0(0) =0. (2.6) Чтобы двигаться дальше, мы должны хорошо представлять, как выглядит главный контур вблизи каждой особой точки. Различных вариантов здесь не так уж и много.

Мы скажем, что значение 0 полярного угла является особенностью типа (0, +), если q0(0) > 0. Иначе говоря, в момент 0 линия 0 переходит из нижней полуплоскости в верхнюю, имея при этом строго положительную вертикальную компоненту скорости.

Рис. 2.3. Особенности типа (0, +).

Аналитическая гипотеза Каратеодори На рис. 2.3 приведены все возможные виды картинок, соответствующих особенностям типа (0, +). Близкие к особому значению участки главного контура изображены сплошной линией. Для экономии места на этом же рисунке мы указали пунктирными линиями некоторые вспомогательные дуги, играющие в дальнейшем важную роль. Мы подробно расскажем о них чуть ниже.

Следующий класс особенностей вполне аналогичен предыдущему. А именно, будем считать, что особенность 0 имеет тип (0, -), если q0(0) < 0. Теперь в момент 0 линия 0 переходит, напротив, из верхней полуплоскости в нижнюю, имея строго отрицательную вертикальную компоненту скорости. Этот класс особенностей дает, очевидно, те же самые локальные формы главного контура, что и в предыдущем случае, меняя лишь их направленность. Эти формы иллюстрирует рис. 2.4. Как можно заметить, вспомогательные пунктирные линии выглядят здесь уже совсем иначе.

Рис. 2.4. Особенности типа (0, -).

Как мы вскоре убедимся, особенности типа (0, ±) не доставят нам серьезных хлопот. Во всяком случае, мы завершим их исследование уже в этом параграфе. Более перспективными окажутся те особенности 0, для которых q0(0) =0. И если объем нашей статьи когда-нибудь выйдет за пределы разумных границ, то виной тому будут именно такие особенности. Для каждой из них, как показывают соотношения (2.6) и (2.3), k(0) =k(0) =k (0) =0. (2.7) Отсюда следует, что функция k() допускает представление k() =A0( - 0)n (1 + O( - 0)), (2.8) где A0 = 0 и n0 3, а тогда функции p0() и q0() могут быть записаны в следующей асимптотической форме:

0-p0() =A0n0(n0 - 1)( - 0)n (1 + O( - 0)), (2.9) 0-q0() =A0n0(k - 1)( - 0)n (1 + O( - 0)).

Вид контура 0 около таких особых точек, очевидно, полностью определяется четностью номера n0 и знаком коэффициента A0. При нечетном n0 будем считать 0 особенностью типа (1, +) или (1, -), смотря по тому, A0 > 0 или A0 < 0. В случае же четного номера n0 мы считаем 0 особенностью типа (2, +) или (2, -) в той же зависимости от знака A0. Все возможные здесь варианты изображены на рис. 2.5.

Эти четыре типа особенностей являются для нас главными, как указано в надписи к последнему рисунку, не только по той причине, что практически все дальнейшее наше исследование будет посвящено именно им. Они главные еще 328 В. В. Иванов (1, +) (1, -) (2, +) (2, -) Рис. 2.5. Главные типы особенностей.

и потому, что новые линии, которые будут возникать на каждом этапе нашего пути, почти всегда будут иметь в точности такие же особенности. Во всяком случае каждый раз, когда мы встретим иные особенности, мы легко сможем довести их исследование до конца, не переходя к следующим этапам.

2.4. Перестройка главного контура. Теперь, когда мы познакомились со всеми особенностями начального уровня, мы начинаем подготовку к следующему этапу исследования. Как мы помним, наша конечная цель доказательство неотрицательности индекса контура C( ). Но при малых значениях полярного радиуса этот контур практически стянут в точку и устройство его почти невозможно разглядеть. Чтобы понапрасну не перенапрягать зрение себе и читателю, мы будем до поры до времени говорить о приведенном контуре ( ), имеющем тот же индекс. Остаток параграфа мы посвятим решению трех задач. Во-первых, общее вращение контура ( ) мы намерены разложить в суперпозицию, так скажем, его глобального вращения и нескольких локальных вращений, каждое из которых связано с отдельной особой точкой.

Во-вторых, мы докажем, что глобальная компонента вращения неотрицательна. В-третьих, уже здесь, в этом параграфе, мы должны убедиться, что и локальная компонента вращения, отвечающая особенности типа (0, ±), также не может быть меньше нуля. Таким образом, после выполнения намеченного плана нам останется исследовать лишь особые точки типа (1, ±) и (2, ±).

Выберем какое-нибудь неособое значение угловой переменной и отметим все особенности 0, оказавшиеся строго между и +2. Пусть 0 означает настолько малое положительное число, что для всех отмеченных особенностей 0 заключающие их отрезки [0 -0, 0 +0], во-первых, не пересекаются между собой, а во-вторых, содержатся в интервале между и +2. Если мы изобразим все эти особенности в виде точек на тригонометрической окружности, у нас получится что-то вроде рис. 2.6.

y x Рис. 2.6. Изоляция особенностей. Рис. 2.7. Локализующий диск.

В дальнейшем нам придется не раз уточнять, насколько малым должно быть число 0. А пока, каким бы оно в итоге ни оказалось, с каждой особенностью 0 из рассмотренного выше интервала свяжем дугу (0) контура 0, Аналитическая гипотеза Каратеодори описываемую уравнениями x = p0(), y = q0(), где | - 0| 0. (2.10) На плоскости, где лежат изучаемые нами линии, построим диск B с центром в нуле, взяв его настолько маленьким, чтобы в его пределах контур 0 не пересекал осей координат, за исключением тех случаев, когда он проходит через общее их начало (рис. 2.7). Уменьшая, если нужно, число 0, будем считать, что для каждой особенности 0 локализующая ее дуга (0) лежит внутри круга B. Ясно, что тогда половина этой дуги, предшествующая моменту 0, располагается в одной из открытых четвертей, на которые плоскость разбивается осями координат, другая же ее часть, следующая за этим моментом, целиком расположена в какой-то из оставшихся трех четвертей.

Теперь для каждой дуги (0) нам нужно специальным образом построить некую вспомогательную, или замыкающую, дугу +(0). Способ ее построения будет зависеть от типа особой точки 0. Именно эта дуга изображена пунктирной линией на рис. 2.3–2.5. Во всех случаях эта линия соединяет конец дуги (0) с ее началом, располагается внутри локализующего диска B и имеет с осью абсцисс не более одной общей точки. Кроме того, в зависимости от типа особой точки 0 должны быть соблюдены следующие правила.

Правило 0. В случае особенности типа (0, +) дуга +(0) пересекает ось абсцисс слева от нуля. Если особенность 0 имеет тип (0, -), дуга +(0) пересекает ту же ось уже справа от нуля.

Правило 1. В случае особенностей типа (1, +) или (1, -) вспомогательная дуга, не задевая оси абсцисс, переходит из первой четверти во вторую или соответственно из третьей в четвертую.

Правило 2. Если речь идет об особенности типа (2, +), то теперь замыкающая дуга сначала переходит из первого квадранта во второй, пересекая ось ординат выше нуля, затем она переходит через отрицательную полуось абсцисс и оказывается в третьей четверти, после чего, снова перейдя ось ординат, но уже ниже нуля, попадает в четвертый квадрант, где устремляется к началу исходной дуги. Что же касается особенности типа (2, -), то для нее картина симметрична только что описанной.

Пусть -(0) означает дугу +(0), пробегаемую в обратном направлении, т. е. от начала дуги (0) к ее концу. Если теперь каждый участок (0) контура 0 заменить дугой -(0), у нас получится новый контур, который мы обозначим символом 0. В отличие от 0 перестроенный контур не проходит через начало координат, но при этом в полной мере наследует главное свойство оригинала быть правильным относительно оси абсцисс.

Лемма 2.4. Перестроенный контур 0 представляет собой замкнутую линию, правильную относительно произвольно ориентированной оси абсцисс, а значит, имеет неотрицательный индекс:

ind 0 0. (2.11) Как мы надеемся, читатель не нуждается в наших комментариях по поводу этого очевидного утверждения и самостоятельно проведет необходимую проверку.

330 В. В. Иванов 2.5. Локализация задачи. Для каждого из особых значений 0, рассмотренных в предыдущем разделе, выделим на контуре ( ) участок ( ; 0), отвечающий отрезку 0 - 0 0 + 0 углового параметра. При малых значениях дугу ( ; 0) практически невозможно отличить от дуги (0).

В частности, дуга ( ; 0) начинается и заканчивается в тех же четвертях координатной плоскости, где лежат соответственно начало и конец дуги (0).

Это позволяет нам построить для ( ; 0) вспомогательную дугу +(0, ) в соответствии с теми правилами, что описаны в разд. 2.4. При желании нетрудно провести новые дуги так, чтобы они непрерывно зависели от, а при стремились к соответствующим дугам +(0), выбранным выше для контура 0. Читатель вполне может считать, если ему так будет уютнее, что эти дополнительные предосторожности соблюдены, хотя формальной необходимости в них нет никакой.

(a) (b) (c) (d) Рис. 2.8. Локализующие петельки.

Дуги (, 0) и +(, 0) сочетаются между собой таким образом, что из них можно составить маленький ориентированный замкнутый контур. Мы обозначим его символом (, 0) и назовем петелькой, локализующей особенность 0. Несколько таких петелек приведены на рис. 2.8, где сплошные линии означают участки (, 0) контура ( ), штрих-пунктирные это аналогичные участки (0) главного контура 0, пунктирные же линии изображают соответствующие замыкающие дуги.

Лемма 2.5. Неравенство ind ( ) 0 будет установлено, если для каждого особого значения 0 начального уровня мы докажем, что локализующая его петелька (, 0) имеет неотрицательный индекс:

ind (, 0) 0. (2.12) Доказательство. Пусть -(, 0) означает дугу, которая отличается от +(, 0) лишь направленностью. Заменим в контуре ( ) каждый его участок (, 0) дугой -(, 0). Новый контур, который получается в результате этих операций, мы обозначим символом ( ). Очевидно, он гомотопически эквивалентен контуру 0, так что ind ( ) =ind 0. (2.13) Заметим теперь, что контур ( ) мы можем представить себе как формальную сумму перестроенного контура ( ) и конечного семейства петелек (, 0), причем ни одна из названных замкнутых линий не проходит через начало координат. В этих условиях аддитивность индекса позволяет нам разложить вращение контура ( ) в сумму вращений его слагаемых :

ind ( ) =ind ( ) + ind (, 0). (2.14) Аналитическая гипотеза Каратеодори Роль упоминавшегося выше глобального вращения контура ( ) здесь выполняет индекс перестроенного контура ( ). Согласно (2.11) и (2.13) этот индекс неотрицателен. Локальные же вращения это индексы петелек (, 0), и нам действительно достаточно убедиться в том, что они также неотрицательны. Лемма доказана.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.