WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 17 |

Итак, мы вправе ограничиться изучением такой изолированной омбилической точки, в которой кривизна поверхности больше нуля. В этом случае сферическое отображение Гаусса представляет собой диффеоморфизм малой окрестности нашей точки на некоторую область единичной сферы. Образ самой точки мы назовем северным полюсом сферы. Через центр сферы проведем плоскость, ортогональную диаметру, соединяющему северный полюс с противоположным ему южным. Сочетая сферическое отображение со стереографической проекцией сферы из южного ее полюса на описанную плоскость, мы получим диффеоморфизм между куском поверхности и некоторой плоской областью. Введя теперь обычные декартовы координаты для точек плоскости, мы можем объявить их координатами соответствующих точек поверхности. Это и будут координаты Бонне. Начало декартовых координат мы выберем в центре сферы. Тогда координаты Бонне исследуемой точки будут равны нулю.

Для каждой точки P нашей поверхности посчитаем скалярное произведение µ(P ) ее радиуса-вектора и построенного в ней вектора нормали. Так на поверхности возникает очень важная для нее функция, которую называют опорной функцией Минковского. Если точка P расположена не слишком далеко от фиксированной нами омбилической точки, мы найдем ее координаты Бонне (u, v) и вместо µ(P ) напишем µ(u, v). В результате опорная функция соответствующего куска поверхности, который мы считаем достаточно гладким, превращается в обыкновенную гладкую функцию двух вещественных переменных. Обыкновенная она потому, что среди других гладких функций не выделяется никакими особенными чертами. Но для той части поверхности, которой она обязана своим происхождением, эта функция имеет первостепенное значение, являясь для нее, как бы, аналитическим двойником, содержащим в себе всю информацию о своем геометрическом прообразе. Например, если мы нормируем функцию Минковского, полагая (u, v) =(1 +u2 + v2)µ(u, v), (1.2) 320 В. В. Иванов то получим так называемую функцию Бонне изучаемой нами части поверхности. Она интересна для нас тем, что направления линий кривизны, выраженные в координатах Бонне, это в точности собственные направления симметрической матрицы uu uv. (1.3) uv vv Для омбилической точки, имеющей координаты u = v =0, когда все направления вправе считать себя главными, эта матрица скалярная: диагональные ее элементы равны между собой, остальные равны нулю. Изолированность омбилической точки означает, что для всех других близких к ней точек матрица не является скалярной.

1.3. Удвоение аргумента. Теперь легко найти выражения для главных направлений du : dv в точке (u, v). В самом деле, каждому из них соответствует собственное число указанной выше матрицы, и если для направления du : dv оно равно, то uu du + uv dv = du, uv du + vv dv = dv. (1.4) Умножая первое из этих соотношений на dv, второе на du, а затем вычитая результаты, мы придем к уравнению (uu - vv) dudv + uv(dv2 - du2) =0. (1.5) Решая это квадратное уравнение и замечая, что при u2 + v2 = 0 его дискри минант (uu - vv)2 +(2uv)2 строго больше нуля, мы находим два главных направления du : dv, которые ортогональны не только на исходной поверхности, но и на координатной плоскости (u, v).

Чтобы освободиться от радикалов и максимально упростить задачу, мы воспользуемся услугами комплексной арифметики. А именно, рассмотрим два комплексных числа du + idv и A + iB, где A = uu - vv, B =2uv. (1.6) Возвращаясь к уравнению (1.5), мы можем теперь отметить, что оно имеет простой геометрический смысл. А именно, оно показывает нам, что радиусвектор числа (du + idv)2 ортогонален вектору B - iA, а значит, коллинеарен вектору A + iB. Но аргумент квадрата (du + idv)2 равен удвоенному аргументу комплексного числа du + idv. Поэтому индекс поля du : dv составляет ровно половину от индекса поля (A, B). Ясно, что здесь не имеет значения, о каком из двух главных направлений du : dv идет речь, поскольку они ортогональны и после удвоения их полярных углов становятся коллинеарными.

Таким образом, гипотеза Левнера об индексе омбилической точки, а тогда и гипотеза Каратеодори о двух омбилических точках будут доказаны, если мы убедимся в справедливости неравенства ind(A, B) 2. (1.7) То обстоятельство, что функция (u, v) возникла у нас как функция Бонне некоторой поверхности, не придает соответствующему полю (A, B) никаких дополнительных специфических черт, поскольку любое векторное поле вида (1.6) может быть связано в описанном выше смысле с подходящей поверхностью.

Аналитическая гипотеза Каратеодори В этом отношении можно утверждать лишь одно аналитическим поверхностям соответствуют аналитические функции Бонне и определяемые ими векторные поля.

Иными словами, вся геометрия для нас в этом месте заканчивается. Теперь можно полностью забыть обо всем, что говорилось выше, и начать с чистого листа. Перед нами новая задача, на наш взгляд, совершенно восхитительная, мимо которой невозможно пройти, хотя бы не полюбовавшись на нее. Впрочем, судите сами.

Нам дана вещественная функция (u, v), определенная при всех достаточно малых вещественных значениях переменных u и v. Считая ее дважды гладкой, построим по ней в соответствии с формулами (1.6) непрерывное векторное поле (A, B). Предположим, что начало координат является для него изолированной особой точкой. Ничего другого больше не нужно. Требуется доказать, что индекс этого поля в нуле удовлетворяет неравенству (1.7).

То ли своей очаровательной простотой, то ли пленительно-обманчивой доступностью, но эта задача оказала на автора столь магическое воздействие, что освободиться от ее чар можно было только одним способом найти ее решение.

Хотя бы в аналитическом случае. И если не удастся найти его у других, то придумать свое...

1.4. Полярные координаты. Чтобы посчитать индекс поля (A, B) относительно начала координат, мы заставим точку (u, v) пробежать против часовой стрелки маленькую окружность с центром в нуле и посмотрим, сколько раз вектор (A, B) обернется вокруг начала координат в том же положительном направлении. Нам удобнее будет следить за движением вектора, если в плоскости переменных u, v мы перейдем к полярным координатам,, полагая u = cos и v = sin. Теперь интересующее нас движение происходит при фиксированном значении полярного радиуса > 0 и мы должны проследить за вращением вектора (A, B), пока угловая переменная пробегает какой-нибудь отрезок длины 2.

Чтобы найти закон движения нашего вектора, нужно лишь переписать формулы (1.6) в новых переменных. Пусть (, ) означает функцию (u, v), выраженную в полярных координатах:

(, ) =( cos, sin ). (1.8) В дальнейшем функции переменных и предстоит исполнить роль первичного источника всех других аналитических и геометрических объектов, которые нам придется изучить в нашей работе. Главными из них будут две функции X и Y, определяемые равенствами X = + - 2, Y = -. (1.9) Как легко проверить элементарными вычислениями, зависимость вектора (A, B) от полярных переменных и может быть представлена теперь в следующей замечательной форме:

A cos 2 - sin 2 -X =. (1.10) B sin 2 cos 2 2Y Эта формула замечательна тем, что позволяет освободить нашу задачу от сопутствующих ей тривиальных обстоятельств. А именно, мы в состоянии теперь 322 В. В. Иванов избавиться от двойки в неравенстве (1.7), которая появилась в нем только потому, что порядок дифференциальных операторов, определяющих векторное поле (A, B), равен двум.

В самом деле, пусть N означает число оборотов, которое точка (X, Y ) совершает вокруг начала координат в положительном направлении, пока полярный угол пробегает период 2. Тогда число аналогичных оборотов, совершаемых точкой (-X, 2Y ), очевидно, будет равно -N, а что касается вектора (A, B), то формула (1.10) добавляет ему еще два лишних оборота против часовой стрелки.

Таким образом, ind(A, B) =2 - N, (1.11) так что неравенство (1.7) эквивалентно более приятному для глаза неравенству N 0. (1.12) 1.5. Аналитические поверхности. Начиная с этого момента мы считаем функцию (u, v) аналитической в том смысле, что она представима в виде суммы двойного степенного ряда, который при достаточно малом R>0 абсолютно сходится для всех значений переменных u и v, удовлетворяющих неравенствам |u|

(u, v) = ijuivj, где k 3, (1.13) i+jk причем хотя бы один из младших коэффициентов этого ряда отличен от нуля.

В результате перехода к полярным координатам функция (u, v) согласно (1.8) превращается в новую функцию (, ), определенную в области < R, - < < +. В этой полосе она допускает представление в виде суммы тригонометрического ряда, который получается из ряда (1.13) заменой каждого его монома uivj выражением i+j cosi sinj. Новый ряд, как и прежний, сходится абсолютно, а значит, мы вправе произвольно переставлять и группировать его элементы. Например, если расположить слагаемые ряда по возрастающим степеням полярного радиуса, предварительно приведя подобные, мы придем к разложению = m() m, (1.14) m=k где m() означают тригонометрические многочлены степени не выше m. Заметим, что первый из них, отвечающий индексу m = k, в соответствии с нашей договоренностью отличен от тождественного нуля.

Как легко убедиться, в рассматриваемой нами области ряд (1.14) можно почленно дифференцировать по каждой из полярных переменных, причем сколько угодно раз. В частности, для функций X и Y, определенных выше Аналитическая гипотеза Каратеодори формулами (1.9), это означает, что теперь они выглядят следующим образом:

X = (m() - m(m - 2)m()) m, m=k (1.15) Y = (m - 1)m() m.

m=k Для дальнейшего исключительно важно подчеркнуть, что функция, а вслед за ней и функции X и Y допускают естественное аналитическое продолжение в двумерно-комплексную область, содержащую все комплексные пары (, ), удовлетворяющие неравенству | |e| Im |

Итак, подводя итоги нашим приготовлениям, еще раз уточним, что мы имеем и что хотим. Прежде всего у нас есть функция, представленная рядом (1.14), о происхождении и свойствах которого мы только что говорили. Далее, эта функция согласно формулам (1.9) порождает две новые функции X и Y, чьи аналитические выражения имеют вид (1.15). Теперь для каждого достаточно малого >0 построим на плоскости (x, y) замкнутую линию C( ), полагая x = X(, ), y = Y (, ), (1.16) и предположим, что ни одна из этих линий не проходит через начало координат. Символом ind C( ) мы обозначим число оборотов, которое совершает линия C( ) в положительном направлении вокруг начала координат за один период.

В зависимости от настроения и контекста мы будем называть это целое число либо вращением линии C( ), либо ее индексом. Ясно, что индекс линии C( ) не зависит от. Нам остается лишь доказать, что он неотрицателен:

ind C( ) 0. (1.17) Именно это неравенство будет итогом нашего исследования. Но пока нас отделяет от него долгий и совсем не легкий путь. Хочется верить, что мы придем к заветной цели вместе с нашим читателем...

§ 2. Введение в доказательство Бола и Клотц Поведение линии C( ) во многом определяется свойствами ее главного контура, который описывается одним лишь младшим тригонометрическим многочленом k() ряда. Так, в случае общего положения, когда этот контур не проходит через начало координат, его индекс равен индексу самой линии, и наша задача сводится к очень простому и симпатичному вопросу. О нем прежде всего и пойдет речь в этом параграфе.

2.1. Вращение правильной линии. На плоскости (x, y) рассмотрим прямую линию L и выберем на ней определенное направление. Пусть означает такой вектор нормали к L, для которого пара (, ) ориентирована так же, как оси x и y. Ту из двух открытых полуплоскостей, примыкающих к линии L, на которую указывает вектор, мы назовем нижней, другую же будем считать верхней (рис. 2.1).

Дугой мы будем называть кривую на плоскости (x, y), параметризованную некоторым числовым отрезком. Дугу, как и любую другую параметризованную 324 В. В. Иванов линию, мы всегда будем считать направленной в сторону возрастания параметра. Пусть дуга такова, что ее начало и конец лежат на прямой L, а все остальные ее точки оказались в нижней полуплоскости. В этом случае мы скажем, что дуга опирается на L снизу. Такую дугу мы назовем правильной относительно прямой L, если ее конец располагается строго справа от ее начала. Если же речь идет о произвольной направленной линии на той же плоскости, то мы считаем ее правильной относительно данной ориентированной прямой, если каждая ее дуга, опирающаяся снизу на эту прямую, правильная. Пример такой линии приведен на рис. 2.2.

+ + C L L Рис. 2.1. Низ и верх. Рис. 2.2. Правильная линия.

В дальнейшем нам придется иметь дело лишь с аналитическими или, в крайнем случае, кусочно-аналитическими линиями, у которых нет прямолинейных участков. Любая дуга такой линии может иметь с той или иной прямой лишь конечное число общих точек. Если линия замкнута, то для подсчета ее вращения, или индекса, относительно точки, через которую она не проходит, достаточно совершить следующие действия: (1) провести через эту точку прямую и ориентировать ее; (2) отметить все моменты в течение одного периода, когда кривая пересекает прямую справа от изучаемой точки; (3) посчитать разность между числом пересечений снизу вверх и числом пересечений в обратном направлении. Это и будет искомый индекс. Например, для той линии, что указана на рис. 2.2, ее индекс относительно точки, отмеченной на том же рисунке, равен единице. Мы надеемся, что после этих замечаний у читателя не возникнет сомнений в справедливости следующего утверждения.

Лемма 2.1. Замкнутая линия, правильная по отношению к какой-нибудь направленной прямой, имеет неотрицательный индекс относительно любой точки прямой, не принадлежащей самой линии.

Говоря об индексе той или иной замкнутой линии C, мы не станем больше указывать, относительно какой точки он вычисляется, поскольку впредь всегда будем иметь в виду вращение вокруг начала координат, обозначая это число символом ind C.

Две замкнутые линии, не проходящие через начало координат, условимся называть гомотопически эквивалентными, если существует непрерывная деформация одной из них в другую, при которой промежуточные линии также не пересекают начала координат. Ясно, что в таком случае наши линии имеют общий индекс.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.