WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 |

Рассмотрим прежде всего случай общего положения, когда контур s не проходит через начало координат. Тогда в любом случае его индекс согласно лемме 6.4 неотрицателен и совпадает с индексом линии Cs(r), так что ind Cs(r) 0, и неравенство (9.9) в этом случае доказано. Обратимся теперь к неравенству (9.10), которое нам необходимо доказать, если речь идет о знакоопределенном варианте, причем при условии, что номер ns-1 четный и CAs-1 < 0. Но параметр a в первом из уравнений (9.14), как показывает лемма 9.1, при любых обстоятельствах либо равен нулю, либо имеет знак, противоположный знаку C. Таким образом, aAs-1 0, и нам остается еще раз сослаться на лемму 6.4, согласно которой в таком случае ind Cs(r) 1.

Теперь мы позволим контуру s при желании пересекать начало координат, но без остановки. Точнее говоря, рассмотрим тот грубый случай, когда a =0. Вспоминая о лемме 6.5, мы видим, что здесь всегда ind Cs(r) 0, так что неравенство (9.9) снова оказывается верным. Далее, как показывает лемма 9.1, при a =0 мы с неизбежностью находимся в условиях знакоопределенного варианта, причем aC < 0. Таким образом, если CAs-1 < 0, то знаки у параметра a и коэффициента As-1 совпадают. Если к тому же номер ns-1 четный, 396 В. В. Иванов то согласно второму утверждению леммы 6.5 индекс линии Cs(r) не меньше единицы, так что теперь справедливо неравенство (9.10).

Итак, нам остается изучить тот, намного более тонкий, случай, когда a =и главный контур иногда пересекает начало координат. Здесь мы сможем лишь перенести нашу задачу на следующий этап и тем самым уменьшить расстояние до конца пути еще на один шаг.

Сначала мы обсудим знакоопределенный вариант, когда функция w имеет вид (9.4), а значит, кроме номера ns-1 и коэффициента As-1 у нас есть некая отличная от нуля постоянная C. Теперь основным подспорьем наряду с леммой 9.1 нам будет служить лемма 6.7.

Отметим все те моменты, когда контур s проходит через начало координат, и пусть s будет одним из них. Это значит, что ps(s) = 0 и qs(s) = 0.

В соответствии с тем, что мы выяснили в разд. 6.5, разложение многочлена gm (u) по возрастающим степеням разности u - s имеет следующий вид:

s-s gm (u) =cs + c s(u - s) +As(u - s)n +..., (9.42) s-где cs и c s означают некоторые постоянные, коэффициент As отличен от нуля, а номер ns содержится в отрезке ns-1 ns 3. Подчеркнем, что постоянные cs и c s в дальнейшем анализе знакоопределенного варианта участия не принимают.

Иными словами, постановка задачи следующего этапа будет зависеть лишь от номера ns, коэффициента As и постоянной C. Как мы знаем, четность номера ns и знак коэффициента As определяют тип особенности s. В свою очередь, от типа особенности зависят правила построения локализующей ее петельки.

Пусть cs(r; s) означает петельку, локализующую особенность s.

Лемма 9.2. Предположим, что для каждого особого значения s петелька cs(r; s) имеет неотрицательный индекс и каждый раз, когда номер ns четный и CAs < 0, этот индекс не меньше единицы. Тогда ind Cs(r) 0, а если номер ns-1 четный и CAs-1 < 0, то ind Cs(r) 1.

Доказательство. Пусть C<0. Тогда неравенство CAs < 0 означает, что As > 0. При этом четность номера ns равносильна тому, что петелька cs(r; s) имеет тип (2, +). Иными словами, условия леммы в данном случае заключаются в том, что у любой петельки индекс неотрицателен, а для петелек типа (2, +) он не меньше единицы. Таким образом, мы оказались в условиях леммы 6.7, согласно которой ind Cs(r) 0. Если же номер ns-1 четный и CAs-1 < 0, то As-1 > 0, так что и сам контур Cs(r) имеет тип (2, +). Та же лемма 6.гарантирует нам, что в таком случае ind Cs(r) 1.

Если C>0, то неравенство CAs < 0 означает, что As < 0. Далее нужно повторить предыдущие рассуждения, заменяя тип (2, +) на тип (2, -) и обращаясь ко второй части леммы 6.7. Лемма доказана.

Мы обсудили уже три ситуации, расположив их по убыванию той вероятности, с которой они могут встречаться. Разумеется, случай общего положения, когда главный контур проходит мимо начала координат, наиболее вероятный, и в этом случае наше исследование уже закончилось. Если же контур проходит через нуль, то, скорее всего, a =0. Как мы видели, при этом условии исследова ние тоже завершается на данном этапе. Теперь мы рассматриваем тот случай, когда a =0, и здесь наиболее вероятна та ситуация, когда на первом месте в разложении функции w уже появилась постоянная C = 0. Мы назвали этот вариант знакоопределенным потому, что знак C, как показывает лемма 9.2, Аналитическая гипотеза Каратеодори полностью определяет направление дальнейшего исследования. Более того, на следующих шагах, сколько бы их ни было, постоянная C продолжает оставаться началом ряда w. Наконец, наиболее редким оказывается тот вариант, когда a =0 и ряд w имеет вид (9.3), так что у нас нет еще никакой постоянной C. Такой вариант мы назвали нейтральным. Здесь уже нет того ориентира, которым в предыдущем варианте служил знак C. Тем не менее и в этом случае мы должны уже сейчас поставить цель дальнейшего исследования, причем так, чтобы в терминах следующего этапа она включалась в нашу общую задачу, сформулированную в разд. 9.1. В этом нам помогут результаты § 7, выраженные в лемме 7.1.

Итак, пусть мы оказались в условиях нейтрального варианта. Напомним, что теперь нам нужно доказать лишь неравенство (9.9). Отметим и в этом случае все моменты, когда контур s пересекает начало координат. Пусть s будет одним из них. Подчеркнем, что в уравнениях (9.14) теперь не только a = 0, но и d =0, так что мы вправе применить здесь результаты, изложенные в § 7.

В отличие от знакоопределенного варианта разложение многочлена gm (u) по s-возрастающим степеням разности u - s, как мы выяснили в разд. 7.1, имеет следующий вид:

s gm (u) =cs + As(u - s)n +.... (9.43) s-Здесь cs также означает некоторую постоянную, коэффициент As отличен от нуля, а номер ns заключен в отрезке ns-1 ns 3. Другое отличие от предыдущего случая заключается в том, что теперь для постановки задачи следующего этапа для нас будут важны не только номер ns и коэффициент As, но и постоянная cs. Если cs =0, то особенность s мы назовем нейтральной. Для такой особенности ряд w, как мы вскоре увидим, сохраняет вид, аналогичный (9.3), и на следующем этапе. Если же cs = 0, то особенность s мы будем считать знакоопределенной. Поскольку в обсуждаемом нами нейтральном варианте буква C пока ничего не обозначает, мы вправе положить C = cs. Именно эта постоянная C появится на первом месте ряда w, когда мы выразим его в переменных нового этапа.

Лемма 9.3. Предположим, что для каждой особенности s локализующая ее петелька имеет неотрицательный индекс, а если речь идет о знакоопределенной особенности s, причем номер ns четный и CAs < 0, то индекс петельки не меньше единицы. Тогда ind Cs(r) 0.

Это утверждение полностью совпадает с леммой 7.1, если не обращать внимания на разницу в обозначениях, так что оно уже доказано.

Важно подчеркнуть, что последние две леммы в совокупности охватывают все возможные на данном этапе ситуации и при определенных условиях гарантируют нам справедливость именно тех неравенств (9.9) и (9.10), доказательство которых является задачей настоящего этапа. Таким образом, нам остается лишь разобраться в том, что означают условия наших лемм с точки зрения следующего шага. Для этого мы выберем одну из особенностей s и пройдем еще один круг уже хорошо известных нам преобразований.

9.4. Рождение новой веточки. Прежде всего выясним, какое отношение имеет особенность s к начальным функциям X0 и Y0.

Лемма 9.4. Особенность s представляет собой совместный тейлоровский параметр функций X0 и Y0 уровня s, продолжающий их общую тейлоровскую 398 В. В. Иванов цепочку 0,..., s-1. Другими словами, числа 0,..., s-1, s составляют вещественную цепочку Тейлора как для функции X0, так и для функции Y0.

Доказательство. Особенность s служит корнем для каждого из многочленов ps(u) и qs(u), определяющих главные части рядов Xs и Ys. Согласно лемме 4.3 нам достаточно показать, что s представляет собой корень и тех многочленов, которые являются главными частями функций X0 и Y0, выраженных в переменных r и u. Как показывают соотношения (9.6), если s-1(r) 0, то X0 = Xs и Y0 = Ys, так что в этом случае задача решена. Если же функция s-1(r) не сводится к тождественному нулю, то она имеет вид s-1(r) =rµ(1 + O(r)), (9.44) где =0 и 1 µ s - 1. В таком случае, очевидно, s-1-2s X0 = rm (ps(u) +rH(r, u)), (9.45) s-1-2s+µ Y0 = rm (-ps(u) +rH(r, u)).

Таким образом, главными частями функций X0 и Y0 служат многочлены ps(u) и -ps(u), так что особенность s действительно является их общим корнем.

Лемма доказана.

Итак, мы видим, что новая особенность s символизирует один из побегов, порождаемых парой (Xs, Ys). Это значит, что мы на верном пути и продолжаем подниматься по дереву Каратеодори, произрастающему из корня 0.

Теперь мы займемся выпрямлением петельки cs(r; s), локализующей особенность s. Как мы знаем, она является результатом положительного замыкания дуги контура Cs(r), описываемой уравнениями x = Xs(r, u), y = Ys(r, u), |u - s| s, (9.46) где s означает достаточно малое положительное число. В разд. 6.5 мы уже говорили о том, насколько малым оно должно быть, и у нас еще есть возможность уменьшить его, если это окажется необходимым. Вскоре мы воспользуемся этой возможностью. А пока напомним, что мы обсуждаем тот единственный оставшийся у нас случай, когда в первом из уравнений (9.14) параметр a равен нулю, так что многочлен gm (u) имеет вид (9.42). В нейтральном варианте, когда s-потребуется, мы непременно учтем, что линейный член в разложении (9.42) отсутствует, и воспользуемся формулой (9.43). Но сейчас нет нужды различать знакоопределенный и нейтральный варианты: важно только, что a =0.

Далее нам потребуются два многочлена нового поколения :

s s(r) = iri и s(r) =r s(r). (9.47) i=В точном соответствии с нашими действиями в разд. 8.4 построим функцию s(r), полагая s(r)/p s-1(r)/p s(r) = -, (9.48) 1 - (s(r)/p)2 1 - (s-1(r)/p)и рассмотрим преобразование, переводящее точку (x, y) в точку ( ) с коордиx, натами x = x, = y +s(r)x. (9.49) Аналитическая гипотеза Каратеодори Петелька cs(r, s) в результате такого преобразования превратится в новую петельку s(r, s), чья основная часть определяется уравнениями x = Xs+1(r, u), y = Ys+1(r, u), |u - s| s, (9.50) где функции Xs+1 и Ys+1 согласно (9.49) имеют следующий вид:

Xs+1 = Xs, Ys+1 = Ys +s(r)Xs. (9.51) Для дальнейшего важно заметить, что петельки cs(r, s) и s(r, s) имеют одинаковый индекс. В самом деле, преобразование (9.49) лишь перекашивает любой рисунок в направлении оси ординат, оставляя на месте точки самой оси.

Впрочем, можно ограничиться тем замечанием, что якобиан этого преобразования равен единице. Таким образом, в условиях лемм 9.2 и 9.3 прежние петельки cs(r, s) можно заменить петельками s(r, s).

Выясним, как выглядят главные части уравнений, параметризующих основной участок выпрямленной петельки. Замечая, что ss s(r) = rs + O(rs+1), (9.52) p и учитывая асимптотические формулы (9.7), мы можем записать новые функции Xs+1 и Ys+1 в следующем виде:

s-1-2s p Xs+1 = rm (s+1(u) +rH(r, u)), (9.53) s-1-s Ys+1 = rm (s+1(u) +rH(r, u)), q где роль главных частей выполняют многочлены ps+1(u) и qs+1(u) переменной u, определяемые соотношениями ss ps+1(u) =ps(u), qs+1(u) =qs(u) + · ps(u). (9.54) p Из формул (9.14), (9.15) и (9.42), как легко проверить элементарными вычислениями, вытекают следующие асимптотические представления новых многочленов:

s-ps+1(u) =Ks(u - s)n (1 + O(u - s)), (9.55) s-qs+1(u) =Ls(u - s)n (1 + O(u - s)), где коэффициенты Ks и Ls определяются равенствами Ks = Asns(ns - 1), (9.56) Ls = Asns(p(k - 1) + n0 +... + ns-1 - sns)/p.

Поскольку k 3 и n0... ns-1 ns 3, то Ks и Ls отличны от нуля и имеют общий знак, совпадающий со знаком As. В дальнейшем это замечание для нас также будет крайне важным.

Если построенные выше функции Xs+1 и Ys+1 выразить непосредственно через X0 и Y0, то, учитывая соотношения (9.6), мы придем к формулам s(r)/p Xs+1 = X0, Ys+1 = Y0 + X0. (9.57) 1 - (s(r)/p)Если учесть еще лемму 9.4, то можно сказать, что функции Xs+1 и Ys+1 построены по совместной тейлоровской цепочке регулярных рядов X0 и Y0 ровно по тем формулам, о которых говорилось в § 5. Это значит, что они относятся 400 В. В. Иванов к числу тех функций, регулярность которых мы заранее обеспечили, заменив полярный радиус подходящей переменной r. Возможно, здесь стоит напомнить, что, говоря о регулярности, мы имеем в виду функции, изначально зависящие от переменных r и. При этом условие регулярности относится к точке = 0.

Именно такой смысл имеет утверждение о регулярности функций Xs+1 и Ys+1.

Но после перехода от к переменной u те же функции, зависящие уже от r и u, становятся регулярными в точке u = s.

Теперь настало время окончательно определиться в выборе числа s. Мы будем считать его настолько маленьким, чтобы по отношению к точке s оно служило локализующим радиусом как для функции Xs+1, так и для функции Ys+1. Тогда согласно (9.53) и (9.55) эти функции могут быть представлены в следующем виде:

s-1-2s s-Xs+1 = rm Ks(u - s)n (1 + Xs+1(r, u)), (9.58) s-1-s s-Ys+1 = rm Ls(u - s)n (1 + Ys+1(r, u)), где остаточные слагаемые Xs+1(r, u) и Ys+1(r, u) по абсолютной величине строго меньше единицы, когда 0 < |u - s| s и 0

s-2(s+1) Xs+1 = rm (ps+1(v) +rH(r, v)), (9.61) s-(s+1) Ys+1 = rm (qs+1(v) +rH(r, v)).

Здесь ms = ms-1 + ns = pk + n0 +... + ns, а главные части ps+1(v) и qs+1(v) этих асимптотических формул представляют собой алгебраические многочлены переменной v, у которых степени равны соответственно ns - 2 и ns - 1, а старшими коэффициентами служат числа Ks и Ls, как мы знаем, имеющие общий знак, совпадающий со знаком коэффициента As.

Основная часть дуги s(r, s) определяется теперь уравнениями x = Xs+1(r, v), y = Ys+1(r, v), |v| s/r. (9.62) Как и должно быть, если путь задан, а скорость уменьшена, то приходится расплачиваться временем. Так, нашей новой переменной v при заданном r нужно пробежать отрезок от -s/r до +s/r, чтобы параметризовать весь основной участок дуги s(r, s). Но мы уже не раз убеждались, что от этого отрезка можно оставить лишь его среднюю часть, чьи размеры не зависят от r, и нам остается лишь повторить наши аргументы. Пользуясь соотношением (9.58), представим уравнения основного участка линии s(r, s) в следующем виде:

s-2(s+1) s-x = Ksrm vn (1 + Xs+1), (9.63) s-(s+1) s-y = Lsrm vn (1 + Ys+1).

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.