WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |

Как мы знаем, в новых переменных функция w записывается в виде степенного ряда w = gm(u)rm, (9.2) m=kp у которого коэффициенты gm(u) представляют собой многочлены переменной u. Мы считаем, что для этого ряда возможны лишь два варианта: назовем их нейтральным и знакоопределенным. В нейтральном варианте gm(u) для всех m

w = CrM +... + gm(u)rm, (9.4) m=ms-390 В. В. Иванов где C =0 и pk M< ms-1, а многоточие заменяет несколько степенных чле нов gm(u)rm с постоянными или линейными относительно u коэффициентами gm(u) и показателями m из интервала M

s-1-2s Xs = rm (ps(u) +rH(r, u)), (9.7) s-1Ys = rm s (qs(u) +rH(r, u)), где ps(u) и qs(u) означают многочлены от u, у которых степени равны соответственно ns-1 - 2 и ns-1 - 1, а старшие коэффициенты имеют общий знак, совпадающий со знаком числа As-1.

Чтобы сформулировать ту задачу, к которой сводится наша проблема, нам нужны некоторые построения. Прежде всего выберем число u > 0 настолько большим, чтобы многочлены ps(u) и qs(u) не имели корней в области |u| u.

Для каждого достаточно малого r > 0 построим линию Cs (r) на плоскости (x, y), полагая x = Xs(r, u), y = Ys(r, u), где |u| u, (9.8) и предположим, что она не проходит через начало координат. Открытые четверти координатной плоскости (x, y), в которых располагаются начало и конец этой линии, при малых значениях r определяются степенями и старшими коэффициентами многочленов ps(u) и qs(u). Из высказанных выше предположений вытекает, что дуга Cs (r) относится к одному из хорошо знакомых нам четырех классов кривых, а именно: она имеет тип (1, ±) или (2, ±) в зависимости от четности номера ns-1 и знака коэффициента As-1. Замкнем эту дугу в соответствии с нашими прежними правилами, описанными в разд. 6.1. В результате у нас получится контур, который мы обозначим символом Cs(r).

Этот контур и будет главным предметом нашего исследования на данном этапе. Как мы видели в предыдущем параграфе, для достижения нашей основной цели достаточно убедиться в справедливости следующих двух утверждений:

во всех случаях ind Cs(r) 0, (9.9) а если речь идет о знакоопределенном варианте, когда ряд w имеет вид (9.4), причем номер ns-1 четный и CAs-1 < 0, то справедливо более сильное неравенство:

ind Cs(r) 1. (9.10) В зависимости от ряда обстоятельств, о которых нет нужды говорить заранее, мы либо непосредственно докажем требуемые неравенства, либо сведем Аналитическая гипотеза Каратеодори нашу задачу к точно такой же, но в которой значок s будет уже на одну единичку больше.

9.2. Анализ структурных уравнений. Здесь мы выясним, как устроены многочлены ps(u) и qs(u), определяющие главные части рядов Xs и Ys. Для этого нам придется, опираясь на приведенные в § 5 структурные уравнения для начальных рядов X0 и Y0, получить аналогичные представления функций Xs и Ys, а затем сравнить их с асимптотическими формулами (9.7). Сочетание этих двух источников информации и приведет нас к нужным выводам.

Полагая для краткости s-1(r) s-1(r) =, (9.11) p2 - s-1(r) мы придем согласно (5.17)–(5.19) к следующим соотношениям:

Xs = a(0)rm + a(1)rm-s + a(2)rm-2s /p2, m m m m=pk (9.12) Ys = s-1(r)a(0)rm +s-1(r)a(1)rm-s + b(1)rm-s /p.

m m m m=pk Участвующие здесь коэффициенты a(i) и b(1), как мы знаем, выражаются через m m многочлены s-1(r) и gm(u). Соответствующие формулы довольно громоздки, и неудобно, когда их нет перед глазами. Поэтому мы выпишем их еще раз, поближе к месту их применения, причем в максимально полной форме:

a(0) = m(2p - m)gm(u) +(2m - s - 2p)sugm(u) - s2u2gm(u), m a(1) = 2(m - s - p)s-1(r) +rs-1(r) gm(u) - 2s-1(r)sugm(u), m (9.13) a(2) = p2 - s-1(r) gm(u), m b(1) =(m - s - p)gm(u) - sugm(u).

m Вот из этих соотношений нам и предстоит извлечь необходимую информацию. Удивительно, что при невероятном разнообразии обстоятельств и определяемых ими вариантов во всех случаях мы получаем простую и ясную картину, имеющую единую для всех шагов структуру. Все, что будет доказано в этом разделе, можно суммировать в одной лемме.

Лемма 9.1. Многочлены ps(u) и qs(u) имеют следующий вид:

ps(u) =gm (u) +a, s-(9.14) qs(u) =bgm (u) - cugm (u) +d, s-1 s-где a, b, c и d представляют собой некоторые постоянные, причем вторая и третья из них выражаются через имеющиеся у нас параметры вполне конкретными формулами:

b =(ms-1 - s - p)/p, c = s/p. (9.15) Что же касается постоянных a и d, то относительно них можно высказать два важных для нас утверждения. А именно, в нейтральном варианте a =0 и d =0.

Если же вариант знакоопределенный, то aC 0, так что либо a =0, либо знаки a и C противоположны.

Доказательство. Мы рассмотрим отдельно два случая.

392 В. В. Иванов Случай s-1 = 0. При этом условии в разложении (9.12) функции Xs средняя часть отсутствует, а последняя начинается с члена a(2) rm /p2, ms-1 s-1-2s s-1-2s который равен gm (u)rm согласно третьей из формул (9.13). Что касаs-ется первой части, то ее вид зависит от того, какой нам попался вариант. А именно, если вариант нейтральный, то младшая степень r здесь равна ms-1.

Таким образом, s-1-2s Xs = rm gm (u) +rH(r, u). (9.16) s-Если же вариант знакоопределенный, то младшим членом первой части ряда Xs, как легко видеть, служит моном asrM, где M(M - 2p) as = - C. (9.17) pЗаметим, что возникший у нас параметр as непременно отличен от нуля и имеет знак, противоположный знаку C, как это вытекает из неравенств M - 2p (k - 2)p > 0. В такой ситуации асимптотика ряда Xs может иметь вид (9.7) лишь при условии, что M ms-1 - 2s. (9.18) Если это неравенство строгое, то ряд Xs снова устроен, как в (9.16). Если же M = ms-1 - 2s, то вместо (9.16) мы имеем соотношение s-1-2s Xs = rm gm (u) +a + rH(r, u), (9.19) s-где a = as, так что aC < 0.

Как мы видим, в обсуждаемом случае многочлен ps(u) действительно устроен так, как об этом сказанно в лемме. Нам остается заметить, что это верно и в отношении второго многочлена qs(u), изучение которого здесь существенно проще. Действительно, поскольку s-1 =0, то в разложении (9.12) функции Ys первое и второе слагаемые пропадают и остается лишь третье. Младшая степень, с которой r входит в это разложение, согласно условию (9.7) должна быть равна ms-1 - s, а значит, ряд Ys имеет следующую асимптотическую форму:

s-1-s Ys = rm bgm (u) - cugm (u) +rH(r, u), (9.20) s-1 s-где коэффициенты b и c определяются равенствами (9.15). Подчеркнем, что в рассмотренном нами случае всегда d = 0, каким бы ни оказался вариант, нейтральным или знакоопределенным.

Случай s-1 =0. Это условие означает, что в цепочке 1,..., s не все числа равны нулю. Пусть µ будет первым отличным нуля ее элементом. Таким образом, многочлен s-1(r) теперь имеет вид s-1(r) =µµrµ(1 + O(r)), (9.21) где µ = 0 и 1 µ s - 1. Соответственно и разложение функции s-1(r) начинается с той же степени r, а именно:

µµ s-1(r) = rµ(1 + O(r)). (9.22) pПосмотрим прежде, как устроены ряды Xs и Ys, когда вариант нейтральный. Младшие степени, с которыми переменная r входит в каждую из трех частей разложения (9.12) функции Xs, равны соответственно ms-1, ms-1 - s + µ, ms-1 - 2s. (9.23) Аналитическая гипотеза Каратеодори Для ряда Ys аналогичная цепочка выглядит следующим образом:

ms-1 + µ, ms-1 - s +2µ, ms-1 - s. (9.24) Как мы видим, у ряда Xs наименьшая степень r равна ms-1 - 2s, у ряда Ys она равна ms-1 - s. При этом соответствующими коэффициентами перед указанными степенями, как показывают формулы (9.12) и (9.13), служат многочлены gm (u) и bgm (u)-cugm (u), где b и c имеют указанный в лемме вид. Итак, s-1 s-1 s-согласно (9.7), в нейтральном варианте мы вновь приходим к нужным нам выводам. А именно, многочлены ps(u) и qs(u) определяются равенствами (9.14), в которых нужно взять a =0 и d =0.

Намного больше хлопот доставит нам знакоопределенный вариант, к изучению которого мы теперь и переходим. Здесь нам придется очень внимательно отнестись к устройству начального отрезка ряда w и выделить два подслучая.

По условию каждый из многочленов gm(u) при M< m < ms-1 либо сводится к постоянной, либо представляет собой линейную функцию от u.

Предположим сначала, что линейных функций среди этих многочленов нет, так что все они постоянны. Посмотрим, каковы тогда младшие степени, с которыми переменная r входит в каждую из трех частей разложений (9.12). Для функции Xs они равны M, ms-1 - s + µ, ms-1 - 2s, (9.25) а для ряда Ys мы получаем следующую цепочку:

M + µ, ms-1 - s +2µ, ms-1 - s. (9.26) Коэффициент as перед степенью rM в разложении Xs, как и выше, определяется формулой (9.17), и мы уже знаем, что он отличен от нуля. Но здесь нам важнее коэффициент ds перед степенью rM+µ в разложении Ys, на который стоит посмотреть:

µµ µµ ds = M(2p - M)C = as. (9.27) p3 p Таким образом, он также отличен от нуля. Поэтому, как показывают формулы (9.26), условие (9.7) может быть выполненным только в том случае, если M + µ ms-1 - s. (9.28) Если это неравенство строгое, то Ys имеет вид (9.20) и многочлен qs(u) определяется формулой (9.14), где d = 0. Если же M + µ = ms-1 - s, то qs(u) снова выражается формулой (9.14), но в которой уже d = ds. Что же касается многочлена ps(u), то ему все эти тонкости безразличны: поскольку согласно неравенству (9.28) M ms-1 - s - µ>ms-1 - 2s, (9.29) то ряд Xs, как показывает цепочка (9.25), имеет вид (9.16), так что многочлен ps(u) определяется формулой (9.14), где a =0.

Отметим, что здесь впервые у параметра d появляется возможность быть отличным от нуля. Это тот самый момент, когда после перехода к следующему этапу в начальном отрезке разложения функции w могут возникнуть коэффициенты, линейно зависящие от новой переменной.

Нам остается проанализировать тот подслучай знакоопределенного варианта, когда среди многочленов gm(u), где M< m< ms-1, есть хоть один 394 В. В. Иванов линейный. Пусть N означает наименьший номер в интервале M< N < ms-1, которому отвечает многочлен gN(u) первой степени, а значит, его производная gN(u) =gN представляет собой отличную от нуля постоянную величину. Здесь важно напомнить, что при переходе от полярного угла к переменной u функция w представляется степенным рядом, у которого согласно лемме 4.1 первые s коэффициентов постоянны. Это значит, что N pk + s. (9.30) Еще раз опираясь на формулы (9.13), (9.21) и (9.22), выпишем младшие степени, с которыми r входит в каждую из трех частей разложений (9.12). Для функции Xs мы получим цепочку M, N - s + µ, ms-1 - 2s, (9.31) а для функции Ys аналогичные показатели равны M + µ, N - s +2µ, N - s. (9.32) Обратимся прежде ко второй строчке. Коэффициент перед степенью rN-s в разложении функции Ys имеет вид b(1) N - s - p N = gN, (9.33) p p откуда следует, что он отличен от нуля. В самом деле, gN =0 в соответствии с выбором номера N. С другой стороны, согласно (9.30) N - s - p pk - p = p(k - 1) > 0. (9.34) Но N - s заведомо меньше ms-1 - s. Поэтому разложение Ys может иметь вид (9.7) лишь при условии, что моном, отвечающий степени rN-s, погашается мономом, отвечающим степени rM+µ, а для этого необходимо равенство M +µ = N - s, или M = N - s - µ. (9.35) Оставим на минуту цепочку (9.32) и посмотрим на строчку (9.31). Теперь ясно, что в ней первый показатель меньше второго. Поскольку коэффициент as перед степенью rM в разложении Xs отличен от нуля, то условие (9.7) снова требует выполнения неравенства (9.18). Отсюда следует, что многочлен ps(u) имеет вид (9.14), причем для параметра a есть две возможности: либо a =0, либо a = as, и тогда знак a противоположен знаку C.

Снова обращаясь к разложению (9.12) функции Ys, мы завершим теперь описание ее главной части, учитывая вновь появившееся у нас неравенство M ms-1 - 2s. Как показывают формулы (9.11) и (9.13), все слагаемые вида s-1(r)a(0)rm (9.36) m при m

9.3. Логика решающего шага. Пусть означает дугу на плоскости s (x, y), параметризованную уравнениями x = ps(u), y = qs(u), где |u| u. (9.39) Тип этой дуги, как мы помним, зависит от четности номера ns-1 и знака числа As, которые представляют собой соответственно степень и старший коэффициент многочлена gm (u). Положительное замыкание дуги мы обозначим s-1 s символом s и назовем главным контуром семейства Cs(r).

Как мы выяснили в предыдущем разделе, контур s, а значит, и семейство Cs(r) относятся к тому классу линий, которые мы изучали в § 6, 7. Теперь мы в полной мере воспользуемся полученными там результатами. Но прежде нам необходимо убедиться, что коэффициенты b и c, определенные равенствами (9.15), удовлетворяют условиям b >(ns-1 - 1)c >0. Второе из этих неравенств очевидно. Для доказательства первого из них заметим, что ms-1 = pk + n0 +... + ns-1 pk + sns-1. (9.40) Отсюда и вытекает нужный нам вывод:

ms-1 - s - p (ns-1 - 1)s b - (ns-1 - 1)c = - k - 1 > 0. (9.41) p p Теперь мы готовы решить задачу индукционного шага. А именно, либо мы уже сейчас докажем неравенства (9.9) и (9.10), либо убедимся, что они вытекают из точно таких же неравенств следующего этапа.

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.