WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 17 |

0-X2 = rm (2(z) +rH(r, z)), p (8.37) 0-Y2 = rm (2(z) +rH(r, z)), q где функции p2(z) и q2(z) представляют собой многочлены переменной z, опре деляемые соотношениями p2(z) =p1(z), q2(z) =q1(z) + · p1(z). (8.38) p Из (8.22), (8.23) и (8.27), как легко проверить элементарными вычислениями, вытекают асимптотические формулы для новых многочленов:

1-p2(z) =K1(z - 1)n (1 + O(z - 1)), (8.39) 1-q2(z) =L1(z - 1)n (1 + O(z - 1)), где коэффициенты K1 и L1 определяются равенствами K1 = A1n1(n1 - 1), L1 = A1n1(p(k - 1) + n0 - n1)/p. (8.40) Поскольку k 3 и n0 n1 3, то K1 и L1 отличны от нуля, а их знак совпадает со знаком A1. Таким образом, при нечетном n1 мы имеем здесь знакомую особенность типа (1, ±), а в случае, когда номер n1 четный, получается особенность типа (2, ±). При этом знак особенности в каждом случае определяется знаком коэффициента A1.

Возможно, стоит отметить, что в этом месте мы пришли бы к таким же результатам, если бы в качестве (r) взяли любую другую функцию, имеющую асимптотику вида (8.36). Но мы должны помнить и о дальнейших шагах, а значит, должны учитывать, как преобразуются не только главные части уравнений, но и следующие за ними члены более высоких степеней. В самом деле, если сейчас они для нас второстепенны, то на следующих этапах они уже станут главными. И нам нужно не только предвидеть, что будет дальше, но суметь выбрать такие преобразования, которые обеспечат единообразие всем этапам нашего исследования. В этом и заключается еще одна причина, по которой коэффициент (r) в преобразовании (8.33) и в уравнениях (8.35) мы взяли в форме (8.32).

Нам остается заметить, что якобиан преобразования (8.33) равен единице, а значит, петельки c1(r, 1) и 1(r, 1) имеют одинаковый индекс. Поэтому задача дальнейшего исследования, выраженная неравенствами (8.28) и (8.29), сводится теперь к следующей: мы должны доказать, что для любой особенности первого уровня ind 1(r, 1) 0, (8.41) а в том случае, когда номер n1 четный и c1A1 < 0, справедливо более сильное неравенство ind 1(r, 1) 1. (8.42) 8.5. Базис предстоящей индукции. Если функции X2 и Y2, построенные в предыдущем разделе, непосредственно выразить через функции X0 и Y0, то мы придем ровно к тем формулам, о которых шла речь в § 5, а точнее:

1(r)/p X2 = X0, Y2 = Y0 + X0. (8.43) 1 - (1(r)/p)Аналитическая гипотеза Каратеодори Таким образом, X2 и Y2 входят в класс тех функций, о регулярности которых мы заранее позаботились, когда заменили полярный радиус переменной r. Здесь следует заметить, что X2 и Y2 как функции от r и регулярны в точке = 0, но после перехода от к переменной z они становятся функциями от r и z, регулярными в точке z = 1. Теперь мы можем окончательно определиться в выборе числа 1. А именно, будем считать, что по отношению к точке 1 оно служит локализующим радиусом как функции X2, так и функции Y2. Иначе говоря, пусть оно настолько мало, что функции X2 и Y2 могут быть представлены в следующем виде:

0-1-X2 = rm K1(z - 1)n (1 + X2(r, z)), (8.44) 0-1-Y2 = rm L1(z - 1)n (1 + Y2(r, z)), где остаточные слагаемые X2(r, z) и Y2(r, z) по абсолютной величине строго меньше единицы, когда 0 < |z - 1| 1 и 0

Заменим теперь переменную z новым параметром u, полагая z = 1 + ur.

Иными словами, прежний наш полярный угол мы записываем теперь в виде = 1(r)+ur2 = 0 + 1r + ur2. Как показывают результаты разд. 4.2, а также формулы (8.37) и (8.39), регулярные функции X2 и Y2 в новых переменных будут выглядеть следующим образом:

1-X2 = rm (p2(u) +rH(r, u)), (8.46) 1-Y2 = rm (q2(u) +rH(r, u)).

Здесь m1 = m0 + n1 = pk + n0 + n1, а главные части p2(u) и q2(u) этих асимптотических формул представляют собой алгебраические многочлены переменной u, у которых степени равны соответственно n1 -2 и n1 -1, а старшими коэффициентами служат K1 и L1. Таким образом, если разложить их по убывающим степеням u, мы придем к следующим соотношениям:

1-1-p2(u) =K1un +..., q2(u) =L1un +.... (8.47) Основная часть дуги 1(r, 1) определяется теперь уравнениями x = X2(r, u), y = Y2(r, u), |u| 1/r, (8.48) и мы снова замечаем, что новой переменной u при заданном r приходится пробегать большой отрезок от -1/r до +1/r. Но мы уже знаем, что от этого отрезка можно оставить лишь его среднюю часть, чьи размеры не зависят от r. В самом деле, согласно (8.44) уравнения основного участка линии 1(r, 1) могут быть представлены в следующем виде:

1-1-x = K1rm un (1 + X2), (8.49) 1-1-y = L1rm un (1 + Y2), где |X2| < 1 и |Y2| < 1, если выполнены условия (8.45), которые выражаются теперь неравенствами 0 < |ru| 1 и 0

Кроме того заметим, что теперь число 1/1 для нас важно лишь тем, что в области |u| 1/1 многочлены p2(u) и q2(u) не имеют корней. Поэтому мы можем заменить его любым другим числом, обладающим подобным свойством.

Итак, пусть u > 0 настолько велико, что p2(u) =0 и q2(u) =0 при |u| u.

Построим на координатной плоскости (x, y) линию C2 (r), полагая x = X2(r, u), y = Y2(r, u), |u| u. (8.51) + Пусть C2 (r) означает соответствующую замыкающую дугу, правила построения которой зависят от типа особенности 1 и хорошо нам известны. Сумма + C2 (r) +C2 (r) этих двух линий дает нам замкнутый контур, который мы обозначим символом C2(r). Как показывают только что проведенные наблюдения, новый контур имеет тот же индекс, что и породившая его петелька:

ind C2(r) = ind 1(r, 1). (8.52) Таким образом, задачу дальнейшего исследования, выраженную неравенствами (8.41) и (8.42), мы можем сформулировать в терминах контура C2(r).

Этот контур и будет основным объектом нашего внимания на следующем этапе. Но необходимые нам оценки его индекса, как можно заметить, зависят от обстоятельств, которые выражаются в терминах настоящего этапа: речь идет о четности номера n1 и взаимоотношениях между коэффициентом A1 и постоянной c1. Для того чтобы каждый этап обладал максимальной автономностью, мы должны выразить его задачу в его же внутренних терминах. Для этого нам потребуется еще одно небольшое исследование.

Мы еще не говорили о том, что происходит с основной нашей функцией w после перехода к переменной u. Здесь надо различать два случая. Если c1 =0, то пара 0, 1, как показывают соотношения (8.19) и (8.27), является тейлоровской цепочкой функции w. Регулярность этой функции, как мы выяснили в § 4, позволяет нам утверждать, что после перехода от переменной z к новой переменной u ряд (8.19) преобразуется в следующий:

w = gm(u)rm, (8.53) m=mгде gm(u) представляют собой многочлены от u. При этом первый из них имеет степень n1 и старший коэффициент A1, так что его разложение по убывающим степеням переменной u выглядит так:

gm (u) =A1un +.... (8.54) Если же c1 =0, то значение 1 уже не является тейлоровским параметром первого уровня функции w, и предыдущие выводы на этот случай не переносятся. Впрочем, это и непосредственно видно из прежних соотношений (8.19) и (8.27), которые теперь показывают, что в переменных r и u функция w выражается степенным рядом w = gm(u)rm (8.55) m=mАналитическая гипотеза Каратеодори с полиномиальными коэффициентами, причем ряд начинается в точности с номера m0 и gm (u) c1 =0. (8.56) Итак, в обсуждаемом нами случае главная часть ряда w определяется постоянной c1, а номер n1 и коэффициент A1, как может показаться, где-то затерялись в недрах этого ряда. Тем не менее и в данном случае они играют в структуре ряда w важную роль.

В самом деле, как мы отмечали в разд. 5.4, но в чем легко убедиться и заново, функция w в переменных r и z выражается рядом w = fm(z)rm-1, (8.57) m=mу которого главная часть согласно (8.27) имеет вид 1-fm (z) =A1n1(z - 1)n (1 + O(z - 1)). (8.58) Таким образом, для функции w, которая у нас также считается регулярной, пара 0, 1 служит цепочкой Тейлора. Это значит, что в переменных r и u ряд w имеет следующее устройство:

w = gm(u)rm-2, (8.59) m=mгде gm(u) означают некоторые многочлены от переменной u, а первый из них, будучи разложен по убывающим степеням указанной переменной, имеет вид 1-gm (u) =A1n1un +.... (8.60) Если же мы посчитаем производную функции w по угловой переменной, опираясь на разложение (8.55), то придем к следующему соотношению:

w = gm(u)rm-2. (8.61) m=mСопоставляя разложения (8.61) и (8.59), мы видим, что gm(u) =0 для всех m из промежутка m0 m

Нам пора подвести итоги. Как мы видим, задача следующего этапа действительно может быть поставлена в терминах тех объектов, изучению которых он посвящен. А именно, к началу нового этапа у функций X0 и Y0 накопилась совместная вещественная тейлоровская цепочка 0, 1, и с нею связаны два номера n0 и n1, удовлетворяющие неравенствам n0 n1 3. Из них мы сформировали показатель m1 = pk + n0 + n1. Далее, записав полярный угол в виде = 0 + 1r + ur2, мы выразили в переменных r и u изначальную функцию w.

388 В. В. Иванов Как мы видели, возможны два варианта: либо ряд w имеет вид (8.53), либо он выглядит следующим образом:

w = CrM +... + gm(u)rm. (8.62) m=mВ этом разложении C = c1 и M = m0 = pk + n0, и нам важно подчеркнуть, что C =0 и M< m1. Многоточие здесь заменяет несколько степенных членов с постоянными коэффициентами и показателями от M +1 до m1 - 1, хотя на более далеких этапах нашего анализа наряду с постоянными коэффициентами в аналогичном отрезке могут оказаться и линейные функции от u. Наконец, многочлен gm (u) в любом из двух случаев имеет вид (8.54), так что он заключает в себе информацию о важных для нас номере n1 и коэффициенте A1.

Напомним, что функции X0 и Y0 еще в самом начале нашего исследования были построены специальным образом по функции w. В свою очередь, они в соответствии с формулами (8.43) и (8.31) порождают характерные для обсуждаемого этапа две новые функции X2 и Y2. В переменных r и u их асимптотика описывается формулами (8.46) и (8.47), которые показывают нам, что главными частями рядов X2 и Y2 служат многочлены p2(u) и q2(u), имеющие соответственно степени n1 - 2 и n1 - 1, а знаки их старших коэффициентов совпадают со знаком A1.

Далее мы выбрали число u > 0 с тем расчетом, чтобы в области |u| u многочлены p2(u) и q2(u) не имели корней. Затем по формулам (8.51) мы по строили дугу C2 (r), параметризованную отрезком |u| u, которая имеет тип (1, ±) или (2, ±) в зависимости от четности номера n1 и знака коэффициента A1. Замыкая эту дугу по установленным ранее правилам, мы пришли, наконец, к контуру C2(r), который и становится теперь главным объектом нашего исследования. Как мы видели, наша задача сводится к доказательству следующего утверждения: во всех случаях ind C2(r) 0, (8.63) а если функция w представима в форме (8.62), где многочлен gm (u) имеет четную степень n1 и его старший коэффициент A1 связан с постоянной C неравенством CA1 < 0, то ind C2(r) 1. (8.64) Формально говоря, мы вполне готовы перейти к индукционному шагу. Но очень может быть, что с содержательной точки зрения лучше было бы уделить внимание еще одному или двум конкретным этапам. Дело в том, что ко второму шагу, задачу которого мы только что описали, успели проявиться далеко не все интересные черты изучаемых нами линий и связанные с ними проблемы.

Например, если бы мы перешли сейчас к детальному анализу контура C2(r), то обнаружили бы, что в случае четного номера n1 постоянная C обязана быть равной нулю, так что вариант, когда CA1 < 0, на самом деле пока не может встретиться. Другой пример устройство ряда w, выраженного в переменных, возникающих на более поздних этапах. Если в разложении (8.62) заменить mна ms-1, где s означает номер шага в процессе разрешения особенности 0, то при достаточно больших s, как мы вскользь заметили выше, коэффициенты перед степенями rm, где M

Но мы надеемся, что любой читатель, до сих пор не покинувший нас, легко проведет самостоятельный анализ еще нескольких начальных шагов, если его вдохновят на это наши заключительные рассуждения.

§ 9. Индукционный шаг В конце предыдущего параграфа мы подробно описали ситуацию, возникшую к началу нового второго этапа исследования, и поставили задачу, решение которой означало бы завершение нашей работы. Теперь мы обобщим эту задачу, считая, что речь идет о шаге с номером s 2. Ясно, что при s =общая задача должна по крайней мере включать прежнюю.

9.1. Задача индукции. Пусть вещественные числа 0,..., s-1 составляют совместную тейлоровскую цепочку функций X0 и Y0. Мы считаем, что с каждым из этих чисел i связан некий номер ni, причем n0... ns-1 3.

Образуем из них сумму ms-1 = kp + n0 +... + ns-1, (9.1) где k 3 и p 1 означают прежние два натуральных параметра, появившиеся еще на самом начальном этапе нашего пути. Как мы предупреждали в разд. 5.2, важную роль в дальнейшем играют многочлены s-1(r) и s-1(r), построенные выше по формулам (5.10). Первый из них мы используем для перехода от полярного угла к новой переменной u, полагая = s-1(r) +urs.

Pages:     | 1 |   ...   | 12 | 13 || 15 | 16 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.