WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 17 |

Итак, мы выяснили, как устроены дуги контура, отвечающие внутренним участкам знакопостоянства многочлена f (t), расположенным между соседними его корнями нечетной кратности. Разумеется, таких участков может и вовсе не быть. Но если среди корней многочлена f (t) найдется хотя бы один, имеющий нечетную кратность, то на отрезке от -t до t у нашего многочлена непременно будет два крайних участка, на каждом из которых он не меняет знака, а именно левый участок -t t 1 и правый участок t t, хотя 1 и вполне могут совпадать. Соответствующие этим участкам дуги мы обозначим символами L0 и L.

Исследуем теперь, какой вклад в число N() вносят дуги L0 и L. Как легко видеть, он нулевой. В самом деле, мы имеем здесь четыре варианта: участок может быть левым или правым и на каждом из них может быть f (t) или f (t) 0. Все эти варианты приведены на рис. 7.3. Нам незачем больше рисовать по этим графикам соответствующие им дуги L0 и L контура все необходимые нам выводы можно сделать и без этого. Как и раньше, концы Аналитическая гипотеза Каратеодори интересующих нас дуг не имеют отношения к пересечениям оси ординат контуром. Что касается их внутренних точек, то для них остаются в силе наши прежние замечания с той лишь разницей, что теперь график многочлена внутри каждого крайнего участка имеет столько же точек минимума, сколько у него точек максимума. Таким образом, в отрицательном случае (первая и третья картинки на рис. 7.3) просто нет никаких пересечений оси ординат контуром, учитываемых при подсчете алгебраической суммы N(). В положительном же случае (вторая и четвертая картинки на рис. 7.3) пересечения в одну сторону в точности компенсируются пересечениями в обратном направлении.

f (t) f (t) f (t) f (t) -t* t* t -t* 1 t t t* t ( ) ( ) ( ) ( ) N L0 = 0 N L0 = 0 N L = 0 N L = Рис. 7.3. Крайние участки.

Нам остается рассмотреть тот вполне возможный случай, когда у многочлена f (t) совсем нет корней нечетной кратности. В такой ситуации весь его график целиком располагается с одной стороны от оси t. Два возникающих здесь варианта представлены на рис. 7.4. Наша задача определить тот вклад, который вносит в число N() дуга контура, отвечающая отрезку |t| t. Как мы помним, эта дуга называется у нас основной частью контура, и мы обозначили ее символом. Автор надеется, что его читателю уже ясен ответ. А именно, если f (t) 0 для всех t, то вклад дуги нулевой. Подчеркнем, что в этом случае дуга имеет тип (1, -). Если же всюду f (t) 0, то точек минимума у многочлена f (t) ровно на одну больше, чем точек максимума. Это значит, что дуга, имеющая теперь тип (1, +), вносит в число N() отрицательный вклад, равный -1.

f (t) f (t) -t* t* t -t* t* t N ( ) = 0 N ( ) = -Рис. 7.4. Когда нет четных особенностей.

Не забудем, что у нас есть еще дуга +, замыкающая дугу до контура. Ее вклад в число N() лишь для контура типа (1, -) равен нулю. Во всех же остальных случаях он равен +1.

После этого замечания нам остается лишь суммировать результаты. Если L представляет собой дугу контура, у которой концы не являются точками, где этот контур пересекает ось ординат, то ее вклад в число N() мы обозначим символом N(L). В качестве L можно взять, например, или +. Заметим, что во всех случаях N() = N() +N(+). (7.11) 374 В. В. Иванов О втором слагаемом в последней сумме мы только что говорили. Посмотрим, чему равно первое из них для каждого из четырех имеющихся у нас типов линий.

Тип (1, -). В этом случае, как мы помним, =2. Легко видеть, что означает число положительных внутренних участков графика f (t). Каждый из них вносит в число N() по единичке. Остальные участки не вносят никакого вклада, и то же самое относится к дуге +. Таким образом, N() =.

Тип (1, +). Здесь по-прежнему = 2, хотя аргументы, приводящие к нужной формуле, несколько иные. Если =0, то график f (t) не имеет точек ниже оси t. Как мы видели, в таком случае N() =-1. Но зато N(+) =+1. В результате число N() равно нулю, т. е. совпадает с. Если же 1, то график f (t) имеет ровно - 1 внутренних положительных участков. Их суммарный вклад в число N() равен их количеству. Другие участки никакого вклада не привносят, так что N() = - 1. Приятно отметить, что эта формула справедлива и при =0. Последнюю необходимую нам единичку мы находим на контуре +, так что снова N() =.

Тип (2, ±). В этих двух случаях =2 - 1, где 1. Теперь график многочлена f (t) имеет равное число положительных и отрицательных внутренних участков и это число равно - 1. Таким образом, N() = - 1. Поскольку и здесь N(+) =1, то мы и в этот раз приходим все к той же формуле N() =.

Лемма доказана.

Полученный нами результат представляет собой важный элемент доказательства леммы 7.1. Но нам нужен еще один элемент, ничуть не менее важный.

О нем и пойдет речь в следующем разделе.

7.4. Активные рядом с пассивными. Вспомним теперь об особых значениях ti контура, их кратностях ni, а также о разложениях (7.2) исходного многочлена f(t), постоянных ci и коэффициентах Ai. Основные трудности решаемой нами геометрической задачи связаны с особенностями четной кратности. Если бы их вовсе не было, все было бы намного проще. Но ничто не мешает им встречаться буквально на каждом шагу того процесса разрешения особенностей, который нас ждет впереди. И мы должны быть готовы к встрече с ними. Для этого нам и нужна лемма 7.1.

Итак, пусть особенность ti имеет четную кратность ni. Мы назовем ее пассивной, если ciAi 0. Если же ciAi < 0, мы будем считать эту особенность активной. Следующее наше утверждение представляет собой именно тот необходимый нам элемент, о котором говорилось в конце предыдущего раздела.

Лемма 7.3. Число пассивных особенностей не больше числа N().

Доказательство. Если у многочлена f (t) совсем нет корней нечетной кратности, то у контура нет ни одной четной особенности, в том числе и пассивной. Поскольку в этом случае N() = 0, доказывать больше нечего.

Пусть теперь нечетные корни у многочлена f (t) есть, так что их число не меньше единицы. Как мы помним, цепочка 1 <... < содержит все четные особенности контура. Все остальные ее элементы, если они найдутся, это простые корни многочлена f (t). Разобьем нашу цепочку на групп.

А именно, если =2, то в каждой группе будет по два соседних элемента:

{1, 2},..., {2-1, 2}. (7.12) Аналитическая гипотеза Каратеодори Если же =2 - 1, то в последней группе окажется всего один элемент:

{1, 2},..., {2-3, 2-2}, {2-1}. (7.13) Поскольку N() =, то нам, очевидно, достаточно убедиться, что ни одна из этих групп не может содержать больше одной пассивной особенности. Как мы сейчас увидим, это действительно так.

Нам незачем больше говорить о наших группах они уже сыграли свою маленькую комбинаторную роль. Мы возьмем произвольную пару соседних корней j и j+1 и покажем, что хотя бы один из них не может представлять собой пассивную особенность. Заметим, что если среди этих корней есть простой, то наша задача решена, так как простым корням вовсе не соответствуют никакие особенности. Поэтому далее мы считаем, что оба корня кратные. Нам нужно доказать, что хотя бы один из них представляет активную особенность.

Пусть ti = j. Если разложить многочлен f (t) по возрастающим степеням переменной t - j = t - ti, то младшим коэффициентом в этом разложении, как показывает формула (7.2), будет число niAi, имеющее тот же знак, что и Ai.

Найдем также номер i >i, для которого ti = j+1. Разлагая теперь многочлен f (t) по возрастающим степеням переменной t - j+1 = t - ti, как и выше, мы убеждаемся, что младшим коэффициентом в новом разложении будет число ni Ai. Но между j и j+1 у многочлена f (t) могут быть корни лишь четной кратности. Поэтому всюду на интервале j < t < j+1 он сохраняет знак.

Говоря более определенно, если Ai > 0, то f (t) 0, если же Ai < 0, то f (t) 0.

Что же касается момента t = j+1, то здесь многочлен f (t) проходит через нуль, меняя свой знак на противоположный, совпадающий теперь со знаком Ai. Это значит, что коэффициенты Ai и Ai имеют разные знаки.

Ключевым моментом в наших рассуждениях является следующее наблюдение. Если Ai > 0, то ci >ci. Если же Ai < 0, то, напротив, ci

Наше доказательство завершает миниатюрное логическое кружево. Пусть Ai > 0. Если особенность j пассивна, так что ciAi 0, то ci 0. Но ci >ci.

Следовательно, ci > 0. С другой стороны, в данном случае Ai < 0. Отсюда ci Ai < 0. Это значит, что особенность j+1 активная. Таким образом, хотя бы один из корней j и j+1 представляет собой активную особенность. Аналогично если Ai < 0 и особенность j пассивна, то снова ciAi 0, но здесь это уже означает, что ci 0. С другой стороны, в этом случае ci < ci, так что ci < 0. Поскольку теперь Ai > 0, мы приходим к прежнему выводу: ci Ai < 0, и особенность j+1 вновь оказывается активной. Лемма доказана.

7.5. Ключ к разгадке. Теперь уже легко доказать лемму 7.1. Автор рекомендует читателю еще раз просмотреть разд. 6.5 и вспомнить о построенных нами вспомогательных дугах +(ti), замыкающих критические участки (ti) контура, а также об аналогичных дугах (r, ti) и +(r, ti) контуров (r) и о петельках (r, ti) =(r, ti)++(r, ti), локализующих особенности ti.

376 В. В. Иванов Доказательство леммы 7.1. Перестроим контур подобно тому, как мы это делали в разд. 6.5. А именно, каждый его критический участок (ti) мы заменим дугой -(ti), которая отличается от +(ti) лишь ориентацией. В результате у нас получится новый контур, который мы обозначим символом.

Напомним, что если в разд. 6.4 аналогичный контур унаследовал правильность оригинала, то здесь, увы, это совсем не так.

Проведем такую же операцию над контуром (r), заменяя каждый его участок (r, ti) дугой -(r, ti). Получившийся в результате контур обозначим символом (r). Подчеркнем, что контуры и (r) не проходят через начало координат, так что мы вправе говорить об их индексах, а поскольку (r) при r 0, то ind (r) = ind. (7.15) С другой стороны, если для контура мы определим число N( ) подобно тому, как в разд. 7.2 мы это сделали для, то оно, очевидно, и будет индексом нового контура:

ind = N( ). (7.16) Выясним теперь, чем N( ) отличается от N(). Для этого нужно вспомнить, как по отношению к оси ординат вели себя дуги (ti), и сравнить это с поведением заменивших их дуг -(ti). Рассмотрим все четыре имеющиеся у нас варианта.

Особенность типа (1, -). Дуга (ti) проходит через начало координат, пересекая вертикальную ось справа налево. Это пересечение не учитывается в числе N(). Новая дуга -(ti) пересекает ту же ось в том же направлении строго ниже нуля, так что она не дает вклада в число N( ).

Особенность типа (1, +). Дуга (ti) проходит через начало координат, пересекая вертикальную ось слева направо. Такое пересечение мы учитывали как отрицательное, так что вклад дуги (ti) в число N() равен -1. Новая дуга -(ti) тоже один раз пересекает ось ординат в том же направлении, причем строго выше нуля, так что она дает такой же вклад в число N( ).

Особенности типа (2, ±). Ни в одном из этих случаев дуга (ti) не пересекает оси ординат и не влияет на число N(). С другой стороны, в каждом из обсуждаемых вариантов новая дуга -(ti), напротив, пересекает указанную ось, и даже дважды: один раз ниже нуля, что нам безразлично, а другой раз выше, причем слева направо. Таким образом, ее вклад в число N( ) отрицательный и равен -1.

Итак, мы приходим к следующему выводу: число N( ) меньше числа N() ровно на столько, сколько имеется особенностей типа (2, ±). Каждая такая особенность либо пассивная, либо активная. Поэтому, если обозначить символами Np и Na число пассивных и активных особенностей, предыдущий вывод можно выразить точной формулой:

N( ) =N() - Np - Na. (7.17) Нам остается заметить, что контур (r) у нас представлен в виде суммы контура (r) и всех локализующих петелек (r, ti). Таким образом, ind (r) = ind (r) + ind (r, ti) + ind (r, ti), (7.18) (1,±) (2,±) Аналитическая гипотеза Каратеодори где первое суммирование ведется, разумеется, по всем особенностям нечетного типа, второе по четным особенностям. Учитывая предыдущие наши замечания, в частности формулы (7.15)–(7.17), мы можем представить это равенство в следующем виде:

ind (r) =N() - Np - Na + ind (r, ti) + ind (r, ti) + ind (r, ti), (7.19) (1,±) (2,p) (2,a) где первый знак суммирования имеет прежний смысл, во втором имеются в виду пассивные особенности, в третьем активные. Поскольку N() Np согласно лемме 7.3, мы приходим к следующему неравенству:

ind (r) ind (r, ti) + ind (r, ti) + ind (r, ti) - Na. (7.20) (1,±) (2,p) (2,a) Мы видим, что и в самом деле, если петельки (r, ti) типа (1, ±), а также пассивные петельки типа (2, ±) имеют, хотя бы, неотрицательный индекс, в то время как у каждой активной петельки типа (2, ±) он не меньше единицы, то ind (r) 0. Лемма доказана.

В заключение параграфа буквально несколько слов о смысле того, что мы обнаружили. Вычисление или, скажем, доказательство неотрицательности индекса того или иного контура не является задачей локального анализа.

Но устройство контура вблизи некоторых критических точек, где он очень близко подходит к началу координат, бывает настолько сложно разглядеть, что приходится расщепить задачу на две части: изучение поведения контура в целом и анализ его маленьких, но сложно устроенных частей. В результате вращение контура складывается из его глобального вращения и вращений его локализованных участков. При этом выясняется, что такие участки бывают разные. Одни из них совсем безобидные, и в нашем случае это те, что локализуют особенности типа (1, ±). Они не вмешиваются в общее вращение, и если их собственный индекс не меньше нуля, то никто от них большего и не ждет.

Но бывают участки агрессивные у нас они связаны с особенностями типа (2, ±). Для собственных нужд они заимствуют у общего вращения определенную долю. Но они тоже бывают разные. Часть из них у нас это активные участки ведет себя так, что сколько отнимает от общего вращения, столько и прибавляет к нему. Другие же ведут себя подобно паразитам читатель, разумеется, уже догадался, что речь идет об участках, локализующих пассивные особенности. Они только отнимают, не привнося взамен ничего полезного.

В таком случае остается одна надежда что глобальное вращение контура компенсирует эти локальные потери.

Смысл доказанного нами заключается в том, что в условиях леммы 7.именно так и происходит. Замечательно, что эти условия действительно будут всегда выполнены, на каких бы этапах ожидающего нас исследования ни возникали те линии, о которых мы здесь говорили.

Pages:     | 1 |   ...   | 10 | 11 || 13 | 14 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.