WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 17 |

Возвращаясь теперь к семейству (r), выделим на каждом из этих контуров участки (r, ti), соответствующие отрезкам |t - ti|, и построим вспомогательные дуги +(r, ti), которые ведут себя подобно дугам +(ti) и стремятся к ним при r 0. Заменим в контуре (r) каждый участок (r, ti) дугой -+(r, ti), которая отличается от +(r, ti) лишь ориентацией. В результате у нас получится контур (r). Наконец, для каждого особого значения ti мы образуем локализующую его петельку (r, ti) =(r, ti)++(r, ti). В результате каждый контур (r) разлагается в сумму конечного числа замкнутых линий, не проходящих через начало координат:

(r) = (r) + (r, ti) + (r, ti) + (r, ti). (6.32) (1,±) (2,-) (2,+) Поскольку при r 0 контур (r), очевидно, стремится к контуру, то ind (r) = ind. Это равенство вместе с предыдущим разложением, а также леммой 6.6 приводит нас к следующему выводу.

368 В. В. Иванов Лемма 6.7. Предположим, что у всех петелек (r, ti) индексы неотрицательны, а у тех из них, что локализуют особенности типа (2, +), они не меньше единицы. Тогда ind (r) 0, а если контур (r) имеет тип (2, +), то ind (r) 1.

Пусть, как и выше, индексы у всех петелек (r, ti) неотрицательны, но теперь известно, что в случае особенностей типа (2, -) эти индексы не меньше единицы. Тогда снова ind (r) 0, а если контур (r) имеет тип (2, -), то ind (r) 1.

Заметим, что здесь мы впервые встречаем столь неприятное обстоятельство, как неправильность перестроенного контура, и нам необходимо отнестись к нему с полным вниманием. На самом деле, как будет ясно из дальнейшего, именно здесь, наконец, начинается настоящее сопротивление со стороны гипотезы, которую мы пытаемся доказать. Как показывает последняя лемма, если нам достался контур, имеющий четные особенности разных знаков, то для установления нужных нам оценок его индекса уже недостаточно неотрицательности индексов локализующих петелек от некоторых из них мы ждем, что их вращение строго положительно. Теперь нам предстоит научиться заранее угадывать, от каких петелек мы можем это ожидать, а от каких нет.

§ 7. Ключевой момент То, о чем говорилось в предыдущем параграфе, не могло бы удивить никого из наших предшественников. Теперь мы обсудим такие свойства изучаемых нами линий, которые мы не смогли обнаружить в известных нам работах. Между тем, как нам представляется, без учета этих свойств доказательство гипотезы Каратеодори вряд ли возможно... Иными словами, если нам и довелось внести какой-то вклад в решение знаменитой проблемы, то главное его содержание заключено в этом параграфе. Все остальное только следствия и дело техники.

7.1. Невидимые знаки перемен. Предметом нашего внимания снова будут линии (6.5), а точнее отвечающие им контуры (r), которые мы построили в разд. 6.2. Как и ранее, мы считаем, что при достаточно малых r >эти контуры не проходят через начало координат. Нам предстоит изучить здесь тот случай, когда в уравнениях (6.1) не только a =0, но и d =0, а значит, многочлены p(t) и q(t) имеют особенно простой вид:

p(t) =f (t), (7.1) q(t) =bf (t) - ctf (t).

Именно такие многочлены будут возникать на первых этапах ожидающего нас исследования. Принципиально важно уже в самом начале пути правильно сформулировать его конечную цель. Вся драматичность изучаемой нами проблемы заключается в том, что цель эта определяется такими обстоятельствами, которые рождаются порой намного раньше, чем начинают проявляться. Представьте себе снежный ком, который в какой-то момент срывается с места и, увлекая за собой все новые и новые снежные массы, превращается в мощную и грозную лавину, стремительно несущуюся к подножью горы. И мирная долина, еще ни о чем не подозревающая и продолжающая жить своей размеренной жизнью, уже обречена...

В отличие от (r) главный контур этого семейства вправе пересекать начало координат. Отметим все моменты ti, когда это происходит. Заметим, что указанные критические значения, как показывают соотношения (7.1), представляют собой в точности все вещественные корни производной f (t) многочлена Аналитическая гипотеза Каратеодори f(t) кратности два или выше. Таким образом, для каждого i разложение многочлена f(t) по возрастающим степеням разности t - ti имеет следующий вид:

i f(t) =ci + Ai(t - ti)n +..., (7.2) где ci означает некоторую постоянную, коэффициент Ai отличен от нуля, а номер ni не меньше трех.

Как мы увидим, дальнейшая программа изучения особенности ti будет зависеть от четности номера ni, а в четном случае еще и от соотношения между знаками постоянной ci и коэффициента Ai. Подчеркнем, что многочлен f(t) участвует в формулах (7.1) только под знаком производной и постоянная ci к поведению контура, казалось бы, не имеет отношения. Каждую такую постоянную, отдельно взятую, можно вовсе опустить, и это не отразится на уравнениях (7.1). Но ансамбль этих постоянных, отвечающий полному набору критических значений, разумеется, не столь беззащитен перед подобным произволом. Как мы вскоре убедимся, он довольно жестко организован и, кроме того, тесно связан с набором кратностей корней многочлена f (t) и отвечающих им начальных коэффициентов. Именно с этим связан тот резерв, который мы используем при решении проблемы Каратеодори.

В предыдущем параграфе мы уже выяснили, как выглядит контур около каждой особенности ti, и с каждой из них связали специальным образом построенную локализующую ее петельку (r, ti). Дальнейший анализ этих петелек, разумеется, невозможен без дополнительной информации о свойствах остаточных функций H(r, t) в уравнениях (6.5). Но здесь наша задача указать цель такого анализа. Когда в дальнейшем нам встретятся линии, описываемые столь компактными и красивыми уравнениями, нам каждый раз важно будет знать, что индексы соответствующих контуров неотрицательны. Так вот, мы и намерены здесь понять, какими должны быть индексы петелек (r, ti), чтобы это было действительно так. При этом, конечно же, речь идет о таких условиях, которым на самом деле удовлетворяют линии, возникающие в исходной нашей геометрической задаче. Следующая лемма и доставляет нам такие условия.

Лемма 7.1. Предположим, что ind (r, ti) 0(7.3) для каждого особого значения ti, а в случае, если номер ni четный и ciAi < 0, выполнено более жесткое условие ind (r, ti) 1. (7.4) Тогда индекс контура (r) неотрицателен:

ind (r) 0. (7.5) Именно это утверждение полностью определит нам логическую схему предстоящего исследования. Его доказательству посвящена вся оставшаяся часть текущего параграфа.

7.2. Корни нечетной кратности. Итак, пусть многочлены p(t) и q(t), параметризующие основную часть контура, определяются формулами (7.1).

Поскольку в этих формулах исходный многочлен f(t) нигде не встречается в чистом виде, для описания контура нам вполне достаточно производной f (t).

И здесь мы должны сделать маленькое техническое заявление. А именно, мы 370 В. В. Иванов не только имеем право, но и будем считать, что все корни многочлена f (t) по модулю строго меньше t. В самом деле, число t было выбрано выше всего лишь с тем расчетом, чтобы в области |t| t многочлены p(t) и q(t) не имели корней. Если же теперь мы увеличим его, как нам захочется, это не изменит индекса контура (r) при малых r >0 и не прибавит особых точек ti главному контуру. Словом, ничто не мешает нам считать число t настолько большим, что производная f (t) отлична от нуля при |t| t. Это дополнительное требование, не имеющее никакого принципиального значения, мы принимаем лишь для того, чтобы немного упростить наши рассуждения.

Пусть упорядоченная цепочка s1 <... < sl будет полным набором вещественных корней многочлена f (t), а числа m1,..., ml означают их кратности.

Подчеркнем, что каждое особое значение ti содержится среди корней s1,..., sl, причем если ti = sj, то mj = ni - 1 2. Таким образом, особенности контура, имеющие нечетный тип, представлены теперь корнями многочлена f (t) четной кратности, а особенности четного типа корнями нечетной кратности, не меньшей трех. Все остальные корни sj многочлена f (t), не соответствующие никаким особенностям, простые, так что для них mj =1.

Зная все вещественные корни многочлена f (t) и их кратности, мы можем однозначно записать его в виде 1 l f (t) =nA(t - s1)m... (t - sl)m f0(t), (7.6) где f0(t) означает многочлен без вещественных корней и с единичным старшим коэффициентом, так что он имеет четную степень и всюду больше нуля. Если его степень равна m0, то m0 + m1 +... + ml = n - 1. (7.7) Поскольку число m0 четно, сумма m1 +...+ml, как это следует из предыдущей формулы, имеет ту же четность, что и степень n - 1 многочлена f (t).

Нас особенно будут интересовать корни нечетной кратности. Очевидно, именно они представляют собой те моменты, когда многочлен f (t) меняет знак.

Найдем все такие корни, если они есть, и тоже упорядочим их по возрастанию:

1 <... <. Обозначая символами µ1,..., µ кратности этих корней, заметим, что суммы µ1 +... + µ и m1 +... + ml (7.8) имеют одинаковую четность, поскольку первая получается из второй удалением всех ее четных слагаемых. Но последняя сумма имеет ту же четность, что и число n - 1, как мы заметили выше. Поэтому четность суммы µ1 +... + µ противоположна четности степени n исходного нашего многочлена f(t).

Теперь ясно, что если степень n многочлена f(t) нечетная, так что контур имеет тип (1, ±), то число, напротив, четно, и его можно записать в виде = 2. В случае, когда обсуждаемых корней нет, мы полагаем = 0. Если же степень n четная, а значит, представляет собой контур типа (2, ±), то интересующие нас корни непременно существуют и число их нечетное, так что = 2 - 1, где 1. В любом случае у нас возникает вполне конкретное неотрицательное целое число, играющее в дальнейшем важную роль.

Пусть число N+() означает, сколько раз контур пересекает положительную полуось ординат справа налево. Отметим также все моменты, когда наш контур пересекает неотрицательную полуось ординат слева направо. Число таких пересечений мы обозначим символом N-(). Важно подчеркнуть, что Аналитическая гипотеза Каратеодори здесь в отличие от предыдущего случая мы учитываем и проходы контура через начало координат. Пусть, наконец, N() = N+() - N-(). Как мы сейчас увидим, эта разность полностью определяется числом корней многочлена f (t) нечетной кратности.

Лемма 7.2. N() =.

На самом деле это утверждение имеет ясный геометрический смысл, но чтобы понять его, нужно научиться строить контур по одному лишь виду графика многочлена f (t). Автор настоятельно рекомендует читателю овладеть соответствующим мастерством и самому убедиться, насколько увлекательное это занятие, чем-то напоминающее построение фазового портрета консервативной системы Ньютона по графику ее потенциальной энергии...

7.3. Уроки рисования. В нашем случае правила построения сводятся к следующим элементарным положениям. На каждом участке переменной t, где многочлен f (t) возрастает, контур расположен в полуплоскости x 0, поскольку x = p(t) =f (t) 0. (7.9) Аналогично, пока f (t) убывает, x = f (t) 0 и контур лежит в полуплоскости x 0. На оси ординат контур оказывается в те моменты t, когда f (t) =0, причем соответствующая этому моменту точка контура имеет ординату y = q(t) =bf (t) - ctf (t) =bf (t), (7.10) а значит, лежит выше нуля, если f (t) > 0, и ниже, если f (t) < 0. Если же f (t) = 0, она попадает точно в начало координат. В те моменты t, когда f (t) =0, график многочлена f (t) имеет горизонтальную касательную. Если это перегиб, то функция f (t) не меняет характера монотонности, так что в этот момент контур лишь задевает ось ординат, оставаясь с одной стороны от нее. Как нетрудно убедиться, хотя нам это и неважно, на самом деле вблизи такой точки контур имеет форму клювика: он не касается оси ординат, но клюет ее с соответствующей стороны, тут же отскакивая от нее. Самое же интересное для нас это точки экстремума многочлена f (t). В эти моменты его график меняет характер монотонности, а значит, контур пересекает ось ординат. При этом точкам минимума, очевидно, соответствуют пересечения слева направо, а точкам максимума пересечения справа налево. Что касается места, где происходит каждое такое пересечение, то об этом мы уже говорили оно определяется значением f (t). Сказанного вполне достаточно, чтобы по заданной форме графика многочлена f (t) мы смогли описать все существенные для нас черты контура.

Доказательство леммы 7.2. Выясним сначала, как ведет себя дуга Lj контура, соответствующая отрезку j t j+1, где j и j+1 означают два соседних корня многочлена f (t) нечетной кратности.

y f (t) x j j+1 t f (t) 0 N(Lj ) = Рис. 7.1. Отрицательный участок.

372 В. В. Иванов На рис. 7.1 представлен случай, когда на интересующем нас участке f (t)0.

Здесь все точки, где дуга Lj пересекает ось ординат, находятся либо строго ниже нуля, либо прямо в начале координат. Но последнее случается лишь тогда, когда мы имеем точку максимума графика f (t), а значит, дуга переходит через особую точку справа налево. Как читатель помнит, при подсчете числа N() такие переходы не учитываются. Заметим также, что концы дуги Lj не являются точками, где контур пересекает ось ординат. Таким образом, никакого вклада в число N() участок Lj не вносит.

Совсем иная картина складывается, когда на изучаемом участке f (t) 0.

Этот случай изображен на рис. 7.2. Теперь дуга Lj пересекает ось ординат только в точках, расположенных не ниже нуля, причем через начало координат наша дуга проходит слева направо, поскольку в этот момент график f (t) может иметь только минимум. Как и в предыдущем варианте, концы Lj не являются точками пересечения контуром оси ординат. Заметим, что на любом участке у любого графика минимумы и максимумы чередуются. Но в данном случае, как легко понять, цепочка экстремумов начинается и заканчивается точками максимума. Это значит, что суммарный вклад, который вносят в число N() все такие точки дуги Lj, равен +1.

f (t) y t x j j+f (t) 0 N(Lj ) = Рис. 7.2. Положительный участок.

Возможно, следует подчеркнуть, что на самом деле во втором случае картина вовсе не иная, как мы оценили ее чуть выше. Напротив, она абсолютно эквивалентна, или, лучше сказать, симметрична, предыдущей. И если мы пришли к разным выводам о вкладах, которые вносят в число N рассмотренные две дуги, то лишь потому, что сами при определении этого числа установили неравноправие между положительной и отрицательной полуосями ординат.

Pages:     | 1 |   ...   | 9 | 10 || 12 | 13 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.