WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 17 |

Контур конечное число раз пересекает ось ординат или задевает ее. Поэтому мы можем выбрать настолько малый круг B с центром в нуле, что внутри него контур не будет иметь общих точек с осью ординат, кроме нуля. Пусть число >0 таково, что отрезки [t0 -, t0 + ], которые мы построим для каждого из имеющихся у нас особых значений t0, не пересекаются между собой и лежат в интервале (-t, t). Для каждого из указанных отрезков выделим на дуге соответствующую ему часть (t0). Уменьшая, если нужно, число, мы вправе считать, что участок (t0) целиком располагается в пределах диска B, а его скорость всюду, как и в момент t = t0, имеет отличную от нуля соответствующую компоненту.

+ + p(t0 ) > 0 p(t0 ) < Рис. 6.2. Случай p (t0) =0.

362 В. В. Иванов Соединим теперь конец дуги (t0) с ее началом вспомогательной дугой +(t0), которую построим специальным образом. Прежде всего эта дуга должна оставаться внутри круга B. Кроме того, в случае p (t0) =0 она имеет ровно одну общую точку с осью ординат, где и пересекает ее, причем происходит это выше нуля, если p (t0) > 0, и, напротив, ниже, если p (t0) < 0. Два таких примера по одному для каждого варианта приведены на рис. 6.2. Если же p (t0) =0, дуга +(t0) лишь один раз пересекает ось абсцисс, причем непременно справа от нуля, а что касается оси ординат, то дуге (t0) разрешается иметь с ней лишь минимально необходимое число общих точек. Эти требования иллюстрирует рис. 6.3.

+ + Рис. 6.3. Случай p (t0) =0.

Теперь, подобно нашим действиям в разд. 2.4, мы перестроим контур, заменяя каждый его участок (t0) дугой -(t0), которая отличается от +(t0) лишь направленностью. В результате у нас возникнет некий новый контур. Мы обозначим его символом. Если наш читатель уже достаточно хорошо ориентируется в ситуации, для него должно быть очевидно, что контур наследует важнейшее свойство исходного контура быть правильным относительно оси ординат, направленной в отрицательную сторону. Мы лишь заметим, что именно здесь сказываются наши предосторожности, связанные с пересечениями оси ординат вспомогательными дугами.

Новый контур в отличие от не проходит через начало координат. Ясно, что глобальный тип у перестроенного контура такой же, как у главного, а значит, определяется четностью показателя n и знаком коэффициента A. Поэтому, опираясь на лемму 6.2 точно так же, как при доказательстве леммы 6.4, мы приходим к следующему выводу: всегда ind 0, а в случае, если номер n четный и A>0, справедливо более сильное неравенство ind 1.

Как уже отмечалось, при r 0 линии (r) равномерно стремятся к дуге. В частности, если для каждого особого значения t0 обозначить символом (r, t0) участок линии (r), отвечающий отрезку t0 - t t0 +, то при достаточно малых r >0 начало и конец дуги (r, t0) попадут в те же открытые четверти плоскости (x, y), где расположены соответствующие граничные точки дуги (t0). Разумеется, мы можем и для линий (r, t0) построить замыкающие дуги +(r, t0) в соответствии с только что описанными правилами, причем легко сделать так, что при r 0 они будут стремиться к +(t0). Аналогично предыдущим нашим действиям для любого достаточно малого r построим контур (r), заменяя каждую дугу (r, t0) в контуре (r) дугой -(r, t0) =-+(r, t0).

Кроме того, из двух дуг (r, t0) и +(r, t0) мы образуем петельку (r, t0), локализующую особенность t0. В итоге контур (r) окажется представленным в виде формальной суммы замкнутых линий, ни одна из которых не проходит Аналитическая гипотеза Каратеодори через начало координат, а именно:

(r) = (r) + (r, t0), (6.13) tгде суммирование ведется по всем особым значениям t0 главного контура.

Как мы уже говорили, в таком случае ind (r) = ind (r) + ind (r, t0). (6.14) tПоскольку (r) при r 0, индекс (r) равен индексу, для которого мы уже имеем нужные оценки. Это значит, что для завершения доказательства леммы нам достаточно установить неотрицательность индекса любой локализующей петельки (r, t0).

Мы будем рассуждать здесь фактически так же, как и при доказательстве леммы 2.6. Пусть, например, p (t0) = 0. Тогда при достаточно малом r > скорость линии (r, t0) на всем ее протяжении имеет отличную от нуля первую координату, поскольку почти не отличается от скорости предельной линии (t0). В таком случае (r, t0) ровно один раз пересекает ось ординат. Но вспомогательная дуга +(r, t0) построена так, что и она пересекает ту же ось только один раз, причем в противоположном направлении. Как мы видим, если эти пересечения происходят с одной стороны от начала координат, то ind (r, t0) =0, а если с разных, то еще лучше тогда ind (r, t0) =1. Если же p (t0) =0, то q (t0) =0, и мы можем повторить наши аргументы, заменив ось ординат осью абсцисс. Лемма доказана.

(a) (b) Рис. 6.4. Невозможный вариант.

Мы очень сожалеем, что доказательство достаточно очевидного утверждения заняло у нас много места, но порой очень трудно выразить словами то, что легко показать на картинке при живом общении... Последнее наше замечание в этом разделе, как мы надеемся, поможет читателю по достоинству оценить то влияние, которое оказывает на изучаемые нами линии специфическая структура уравнений (6.1), чьи параметры связаны условиями (6.2). А именно, представим на минуту, что в обсуждавшемся выше случае a >0 нам попалась особая точка t0, для которой дуга (t0) выглядит так же, как на последней картинке рис. 6.3, но идет снизу вверх. Как нам тогда строить дугу +(t0), замыкающую такой участок Если мы проведем ее так, чтобы она пересекала ось абсцисс слева от нуля, как показано на рис. 6.4 (a), то возникающая вслед за этим локализующая петелька (r, t0) снова будет иметь неотрицательный индекс, но контур утратит свою правильность относительно оси ординат, направленной вниз. Между тем, именно это его свойство служило основой доказательства указанных выше оценок для индекса перестроенного контура (r).

364 В. В. Иванов Если же вспомогательная линия будет пересекать ось абсцисс справа от нуля, как на рис. 6.4 (b), то контур получится правильным, но петелька (r, t0) будет вращаться не туда, куда нужно, и ее индекс вполне может оказаться отрицательным. Теперь мы видим, какое счастье, что для изучаемых нами линий рассмотренный вариант невозможен.

6.5. Сложные особенности. По-прежнему считая, что построенные в разд. 6.2 контуры (r) при малых r >0 не пересекают начала координат, продолжим изучение вопроса об их индексе. Напомним, что в разд. 6.3 мы уже исчерпали этот вопрос в случае общего положения, когда главный контур семейства (r) не проходит через нуль. Если же a =0, то и без этого предпо ложения мы в полной мере решили нашу задачу в разд. 6.4. В этом грубом случае мы смогли получить необходимые для дальнейшего выводы буквально за один шаг только потому, что все особенности главного контура оказались простыми. Теперь пришло время обратиться к более тонкой ситуации. А именно, в этом разделе мы считаем, что a = 0, а значит, многочлены p(t) и q(t), параметризующие основной участок контура, задаются уравнениями p(t) =f (t), (6.15) q(t) =bf (t) - ctf (t) +d.

Кроме того, предположим, что эти многочлены обладают хотя бы одним общим вещественным корнем.

Выясним, прежде всего, как устроен контур вблизи каждого такого особого значения. Пусть ti будет одним из них. Поскольку f (ti) = p(ti) = 0, разложение многочлена f(t) по возрастающим степеням разности t - ti имеет следующий вид:

i f(t) =ci + c i(t - ti) +Ai(t - ti)n +..., (6.16) где ci и c i означают некоторые постоянные, коэффициент Ai отличен от нуля, а номер ni не меньше трех.

Применяя это разложение к формулам (6.15), а также учитывая условие bc i + d = q(ti) =0, мы легко посчитаем асимптотику многочленов p(t) и q(t) при t ti. При этом выяснится, что характер асимптотики существенно зависит от того, равен нулю корень ti или нет. Так, в последнем случае главные члены асимптотических формул окажутся пропорциональными:

i-p(t) =Aini(ni - 1)(t - ti)n +..., (6.17) i-q(t) =-ctiAini(ni - 1)(t - ti)n +....

Последние две формулы позволяют лишь найти направление, в котором контур в момент ti входит в начало координат и выходит из него. Но этой информации нам явно недостаточно.

Чтобы в любом случае картина стала совершенно прозрачной, подвергнем контур линейному преобразованию x = x, = y + ctix, (6.18) каким бы ни оказалось значение ti. В результате он превратится в новый контур, который на участке |t| t описывается уравнениями x = :=p(t), p(t) (6.19) = :=q(t) +ctip(t).

q(t) Аналитическая гипотеза Каратеодори Новые многочлены p(t) и q(t), как нетрудно проверить, могут быть представле ны в следующей асимптотической форме:

i-p(t) =Aini(ni - 1)(t - ti)n (1 + O(t - ti)), (6.20) i-q(t) =Aini(b - c(ni - 1))(t - ti)n (1 + O(t - ti)).

Напомним, что у нас 3 ni n, так что ni - 2 1 и b - c(ni - 1) b - c(n - 1) > 0. (6.21) Таким образом, главные члены предыдущих асимптотических формул имеют положительные степени, причем у p(t) она на единицу меньше, чем у много члена q(t), а коэффициенты перед этими степенями имеют одинаковый знак, совпадающий со знаком Ai. Иными словами, мы имеем здесь четыре знакомых варианта, которые встречались нам еще во втором параграфе. А именно, значение ti для контура является особенностью типа (1, ±) или (2, ±) в зависимости от четности номера ni и знака коэффициента Ai.

(1, +) (1, -) (2, +) (2, -) Рис. 6.5. Особенности контура.

Теперь легко понять, как выглядит вблизи особенности ti исходный наш контур. Достаточно заметить, что он получается из контура обратным к (6.18) преобразованием:

x = y = - ctix. (6.22) x, Результаты обратного перехода, при котором мы сохраняем название типа особой точки, иллюстрирует рис. 6.5. Как мы видим, здесь появляется некая асимптотическая линия, которая определяется уравнением y + ctix = 0 и вместе с осью ординат разделяет плоскость (x, y) на четыре открытых сектора.

Каждый из двух маленьких участков контура, примыкающих к особому значению ti с той или иной стороны, лежит в одном из этих секторов, а в начале координат касается указанной линии.

Следующая наша задача в этом разделе перестройка контура. Подобно тому, как мы уже поступили дважды, нарисуем вокруг начала координат маленький диск B. При этом мы возьмем его настолько маленьким, чтобы ни один участок контура, оказавшийся внутри диска, не имел общих точек с осью ординат, кроме нуля. Выберем теперь число >0 так, чтобы на каждом из участков ti - t < ti и ti < t ti + контур располагался в одном из указанных выше секторов, оставаясь внутри диска B. Обозначим символом (ti) дугу контура, отвечающую отрезку |t - ti|.

Построим еще вспомогательную дугу +(ti), как это показано на рис. 6.5.

Подчеркнем, что во всех случаях дуга +(ti) соединяет конец дуги (ti) с ее началом и целиком лежит внутри круга B. В отношении переходов через ось ординат она должна подчиняться тем правилам, о которых мы говорили в 366 В. В. Иванов разд. 6.1. Пусть -(ti) означает только что построенную дугу, но пробегаемую в противоположном направлении. Если, наконец, мы заменим участок (ti) контура дугой -(ti), и эту операцию повторим для всех остальных особых значений, сколько бы их ни оказалось, у нас получится новый контур, который мы обозначим все тем же символом.

В отличие от контур не проходит через начало координат, и это позволяет нам говорить об его индексе. Другое отличие имеет уже негативный характер. А именно, согласно лемме 6.3 в обсуждаемом нами случае контур правильный относительно оси ординат, как бы ее ни ориентировать. Что же касается контура, то он, вообще говоря, не обладает этим свойством, причем в самом ужасном смысле этих слов он может оказаться неправильным относительно оси ординат, как бы ее ни ориентировать. Тем не менее и в этой ситуации можно указать полезные для нас оценки его индекса.

Лемма 6.6. Пусть N(2, +) означает число особенностей контура, имеющих тип (2, +). Тогда ind -N(2, +), (6.23) а если сам контур имеет тип (2, +), то ind 1 - N(2, +). (6.24) Аналогично если число особенностей контура, имеющих тип (2, -), равно N(2, -), то во всех случаях ind -N(2, -), (6.25) а если и контур имеет тип (2, -), то ind 1 - N(2, -). (6.26) Доказательство. Обратимся сначала к первой паре неравенств. Прежде всего заметим, что если у контура совсем нет особенностей типа (2, +), так что N(2, +) = 0, то контур будет все же правильным по крайней мере по отношению к отрицательно ориентированной оси ординат. В этом случае неравенства (6.23) и (6.24) непосредственно вытекают из леммы 6.2.

(2, +) (2, -) Рис. 6.6. Вращение в долг.

Теперь мы предположим, что у контура есть хотя бы одна особенность типа (2, +), и пусть ti будет одной из них. Ясно, что теперь перестроенный контур утрачивает правильность относительно отрицательно направленной оси ординат. А именно, входящая в его состав дуга -(ti) имеет неправильный участок, поскольку она пересекает ось ординат сначала ниже нуля, а затем выше, как это ясно видно на рис. 6.6.

Попробуем заменить эту дугу другой дугой (ti), которая, оставаясь строго справа от оси ординат, соединяет начало дуги (ti) с ее концом, как показано Аналитическая гипотеза Каратеодори на первом из рис. 6.6. Разумеется, эту замену мы должны осуществить для каждой особенности типа (2, +). Для остальных же особых значений никаких изменений мы не вносим. В результате у нас появится новый контур, связанный с контуром очевидным формальным равенством:

= + (-(ti) - (ti)). (6.27) (2,+) Контур обладает тем приятным для нас свойством, что он правильный относительно отрицательно направленной оси ординат, а его глобальный тип, очевидно, тот же самый, что и у контура. Таким образом, согласно лемме 6.в любом случае ind 0, (6.28) а если контур имеет тип (2, +), то ind 1. (6.29) Что же касается дуг -(ti) - (ti), участвующих в разложении (6.27), то каждая из них, как легко понять, представляет собой петельку, совершающую один оборот вокруг начала координат по часовой стрелке (см. первый из рис. 6.6), а значит, ind(-(ti) - (ti)) = -1. (6.30) Таким образом, индекс контура согласно (6.27) вычисляется по формуле ind = ind - N(2, +). (6.31) Нам остается соединить это равенство с оценками (6.28) и (6.29), чтобы получить неравенства (6.23) и (6.24).

Ясно, что вторая часть леммы вполне аналогична первой здесь контур нужно перестроить около каждого из особых значений типа (2, -), если таковые найдутся, обращаясь при этом за помощью ко второму из рис. 6.6. Лемма доказана.

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.