WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 17 |
Сибирский математический журнал Март апрель, 2002. Том 43, № 2 УДК 514.752 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГИПОТЕЗА КАРАТЕОДОРИ В. В. Иванов Аннотация: Цель статьи дать читателю реальную возможность убедиться в том, что индекс изолированной омбилической точки аналитической поверхности не может быть больше единицы. Для поверхности, гомеоморфной сфере, это означает, в частности, что на ней непременно найдутся по крайней мере две омбилические точки, как и предполагал Каратеодори. Ил. 24, библиогр. 9.

Точку, где нормальные кривизны поверхности во всех направлениях одинаковы, называют омбилической. Вблизи такой точки поверхность очень похожа на кусочек сферы или плоскости. Согласно классической гипотезе, которую традиция с давних времен приписывает Каратеодори, на любой достаточно гладкой замкнутой выпуклой поверхности существуют как минимум две омбилические точки.

Единственный реальный способ доказательства этой гипотезы, известный в настоящее время, основан на ее редукции к более смелому утверждению, которое связывают с именем Левнера. Его предположение заключается в том, что индекс изолированной омбилической точки не может быть больше единицы. Так ли это на самом деле все еще остается загадкой. Чуть ниже мы подробнее расскажем об этой замечательной задаче, которая, несмотря на свой вдохновляюще локальный характер, оказалась на удивление сложной и глубокой. В самой общей своей постановке она, по-видимому, еще долго будет ждать своего решения. При этом трудно сказать наперед, к чему может привести та патологическая свобода, которой обладают даже бесконечно дифференцируемые функции и описываемые ими поверхности. Не ограниченные никакими условиями регулярности, они способны преподнести любые сюрпризы. Если же речь идет об аналитической поверхности, когда сколь угодно сложные особенности рассыпаются на простейшие за конечное число шагов, то, казалось бы, вся проблема лишь в том, чтобы найти в себе силы совершить эти шаги...

Прошло более полувека с тех пор, как Гамбургер [1] и Бол [2] предложили первые доказательства гипотезы Левнера для аналитических поверхностей, и свыше сорока лет после выхода в свет работы Клотц [3], где изложено доказательство, более короткое, чем в [1], и более правильное, чем в [2]. Спустя полтора десятка лет Титус публикует большую работу [4], посвященную доказательству обобщенной гипотезы Левнера, по-прежнему содержащей в себе гипотезу Каратеодори. Но, судя по всему, за прошедшие долгие годы эти доказательства, как и другие, более поздние, так и не убедили математическую общественность. В этом отношении показательна, например, вполне современная статья [5], где авторы, соблюдая осторожность, выражают свой основной результат в форме импликации: если гипотеза Левнера справедлива для аналитических поверхностей, то гипотеза Каратеодори верна и в том случае, когда на поверхности есть омбилическая точка, удовлетворяющая условию Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований.

© 2002 Иванов В. В.

Аналитическая гипотеза Каратеодори Лоясевича... Иными словами, и для аналитических поверхностей вопрос как бы остается не закрытым. Во всяком случае психологически.

Впрочем, с общим настроением в полной мере коррелирует и наш собственный горький опыт. Когда коллеги рассказали нам о гипотезе Каратеодори и драматичной ее истории, мы с энтузиазмом взялись за изучение работы Клотц. Поначалу хотелось верить, что единственная проблема, оставшаяся после указанной работы без удовлетворительного решения, это проблема ясного изложения. Такая проблема действительно осталась. Но утверждать, что она единственная, мы уже не можем это означало бы грешить перед истиной...

Обращаясь снова и снова к уже знакомым нам рассуждениям, мы каждый раз замечали, что в какой-то момент почва начинала уходить из-под наших ног, концы с концами не соединялись, а индукционный шаг, как нам казалось, обретал такую самодостаточность, что уже никакие узы не связывали его ни с прошлым, ни с будущим...

Мы не станем судить здесь о том, кто истинный виновник в сложившемся положении непонятые авторы или непонятливые читатели, вроде нас. Чтобы разобраться в этом, нам потребовалось бы намного больше времени, чем на решение самой задачи, и мы оставляем подобные исследования тем, кто имеет к этому вкус. Нам же интересно было только одно верна гипотеза или нет. И мы очень надеемся, что наша работа позволит внести ясность в этот вопрос. Во-первых, имея в виду аналитические поверхности, мы со всей ответственностью заявляем, что Каратеодори был прав. Во-вторых, мы знаем, как это может быть строго доказано. В-третьих, мы намерены изложить здесь доказательство, которое, на наш взгляд, убедит любого читателя, если только он действительно готов преодолеть вместе с нами долгий и совсем не легкий путь. Но мы не сможем отправиться в наше путешествие с легким сердцем, если забудем о тех, кому обязаны этой возможностью, кто открыл для нас истинные глубины необычайно красивой проблемы, подаренной нам знаменитым классиком. Теперь, когда мы знаем ответ и знаем дорогу, ведущую к нему, мы со всей определенностью утверждаем, что смогли пройти весь путь до конца только потому, что важнейшие его этапы были изведаны задолго до нас.

Чтобы освободить себя от скучной обязанности каждый раз указывать, кому именно принадлежит та или иная конкретная мысль, то или иное наблюдение или рассуждение, Клотц в упомянутой выше статье заранее предупреждает читателя, что будет идти путем Бола, исправляя и дополняя его в тех местах, где это окажется необходимым. Следуя этому замечательному примеру, мы тоже заранее объявляем, что будем идти, пока это возможно, вдоль работы Клотц, наслаждаясь ландшафтами, обустроенными первопроходцами, и описывая увиденное своими словами. Но после начального этапа исследования наши пути разойдутся. Далее нам придется решительно изменить логическую схему изложения, взяв за основу те дополнительные резервы вращения, которые доселе таили в себе симпатичные алгебраические линии, естественно возникающие в обсуждаемой нами геометрической задаче. Кроме того, мы должны будем полнее использовать теорию Вейерштрасса неявных аналитических функций.

Наконец, для достижения большей ясности и простоты, мы применим иные преобразования при разрешении особенностей указанных выше алгебраических линий. Тем не менее, и здесь мы часто будем опираться на многое из того, чему научились у Тиллы Клотц.

Наша главная задача в этой статье убедить читателя в справедливости гипотезы Каратеодори для аналитических поверхностей. Но, быть может, еще в большей степени автору хотелось поделиться тем очарованием, которое он сам испытал, познакомившись поближе с этой захватывающей проблемой, где 316 В. В. Иванов в чудесном переплетении заново соединились разные области математики, где все красиво и живые образы дифференциальной геометрии, и строгая логика комбинаторных схем, и анализ, который выплескивается порой за пределы действительных чисел, чтобы в таинственных недрах мнимых величин найти себе оправдание и опору... И пусть простит нам опытный и зрелый исследователь наши наивно-восторженные пассажи и восклицания, и лишь одна его снисходительно-усталая улыбка будет нам маленьким упреком. Но прежде всего мы будем помнить о юном читателе, у которого все еще впереди. Ему и посвящаются эти строки...

*** Очень удобно, когда текст, занимающий многие страницы, снабжают тем или иным путеводителем, например, в виде краткого описания его структуры и содержания основных разделов. Мы надеемся, что в данном случае таким подспорьем читателю послужит приводимая ниже схема нашей статьи.

1. От геометрии к анализу 1.1. Индекс омбилической точки 1.2. Главные направления 1.3. Удвоение аргумента 1.4. Полярные координаты 1.5. Аналитические поверхности 2. Введение в доказательство Бола и Клотц 2.1. Вращение правильной линии 2.2. Случай общего положения 2.3. Классификация особенностей 2.4. Перестройка главного контура 2.5. Локализация задачи 3. Неявные аналитические функции 3.1. Подготовительная теорема Вейерштрасса 3.2. Ростки и результанты 3.3. Круговые системы корней 3.4. Ряды Пюизо простого многочлена 3.5. Цепочки Тейлора регулярной функции 4. Преобразования регулярных рядов 4.1. Замедление времени 4.2. Тейлоровские преобразования 4.3. Локализующий радиус 4.4. Схема разрешения особенности 4.5. Обрывание совместных цепочек 5. Опережение событий 5.1. Замена полярного радиуса 5.2. Деревья Каратеодори 5.3. Регуляризация задачи 5.4. Замена полярного угла 5.5. Что нас ждет впереди Аналитическая гипотеза Каратеодори 6. Комбинаторика правильных линий 6.1. Четыре типа контуров 6.2. Основной класс линий 6.3. Вращение главного контура 6.4. Простые особенности 6.5. Сложные особенности 7. Ключевой момент 7.1. Невидимые знаки перемен 7.2. Корни нечетной кратности 7.3. Уроки рисования 7.4. Активные рядом с пассивными 7.5. Ключ к разгадке 8. Разрешение особенностей 8.1. Уточнение задачи 8.2. Переход к новому уровню 8.3. Главный контур первого порядка 8.4. Выпрямление локализующих петелек 8.5. Базис предстоящей индукции 9. Индукционный шаг 9.1. Задача индукции 9.2. Анализ структурных уравнений 9.3. Логика решающего шага 9.4. Рождение новой веточки 9.5. К вершинам Каратеодори Как можно заметить, помимо специальных вопросов, прямо относящихся к нашей задаче, мы касаемся и ряда общих тем. Мы очень надеемся, что это, слегка увеличив статью, существенно сэкономит время ее читателю.

§ 1. От геометрии к анализу Здесь мы расскажем о тех давно известных классических конструкциях, которые сводят нашу геометрическую задачу к замечательной аналитической проблеме. Более подробное и традиционное изложение этих вопросов можно найти, например, в обзоре [6]. Мы же хотим, не вдаваясь в детали и опуская вычисления, пройти вместе с нашим читателем галерею славных имен и помочь ему разобраться в том, каким образом задачу геометрии в целом можно заменить задачей локального характера. Как мы увидим, дело сводится к изучению индекса особой точки специального векторного поля на обычной евклидовой плоскости, которое допускает удивительно компактное и симметричное выражение при помощи двух гиперболических дифференциальных операторов второго порядка, представленных в канонической форме.

1.1. Индекс омбилической точки. В каждой неомбилической точке среди всех направлений на поверхности выделяются два главных, а именно направление меньшей кривизны и ортогональное ему направление большей кривизны [7]. Так внешний вид поверхности определяет в неомбилической ее области два вполне конкретных поля направлений. Интегральные линии этих 318 В. В. Иванов полей называют линиями кривизны. Все вместе они дважды покрывают неомбилическую область поверхности, образуя на ней ортогональную сеть, имеющую всюду одинаковое и очень простое локальное устройство. Совсем иначе выглядит картина вблизи тех мест, где располагаются омбилические точки и где нет возможности выделить главные направления. Но об этом чуть позже, а пока подчеркнем, что сеть линий кривизны и полный ансамбль омбилических точек это первое, что возникает на поверхности, дополняя ее внутреннюю геометрию, когда она устраивается в трехмерном евклидовом пространстве, и это важнейшие ее черты, характерные для ее внешнего облика.

Рассмотренных понятий уже вполне достаточно, чтобы сформулировать целый ряд естественных вопросов, относящихся к внешней геометрии поверхностей. Оставляя в стороне проблемы геометрии в целом, мы укажем здесь лишь на одну задачу локальной геометрии. Представим себе изолированную омбилическую точку и выделим на поверхности содержащую ее маленькую область. Интересно было бы выяснить, какие бывают узоры, образуемые линиями кривизны в указанной области. Никто не знает ответа на этот вопрос даже в том случае, когда поверхность аналитическая и локально может быть заменена полиномиальной. Впрочем, непосредственно к нашей теме относится лишь часть этой общей проблемы, причем, как мы сейчас увидим, самая простая.

Индексом изолированной омбилической точки мы будем считать вращение относительно нее любого из полей главных направлений, которое выражается одним и тем же для обоих полей целым или полуцелым числом. Если поверхность замкнута и все ее омбилические точки изолированы, то сумма их индексов согласно теореме Пуанкаре Хопфа равна эйлеровой характеристике поверхности топологическому инварианту, который для сферы равен двум.

Поскольку замкнутая выпуклая поверхность гомеоморфна сфере, то гипотеза Каратеодори, как мы видим, действительно вытекает из гипотезы Левнера, согласно которой индекс изолированной омбилической точки не бывает больше единицы. На самом деле именно это утверждение и служит предметом обсуждения практически во всех работах, посвященных гипотезе Каратеодори. В этом плане не будет исключением и наша статья.

Рис. 1.1. ind = 3/2.

Гипотеза об индексе омбилической точки, безусловно, является более глубоким и содержательным утверждением, чем исходная гипотеза. Во-первых, оно никак не связано с топологией поверхности, поскольку относится к ее малой части. Во-вторых, оно указывает важную причину, по которой на сфероподобной поверхности уже не обязательно выпуклой должна быть вторая омбилическая точка. В-третьих, оно доставляет нетривиальную информацию об устройстве сети линий кривизны около изолированной омбилической точки.

В самом деле, если какое-либо из двух семейств линий кривизны вблизи омбилической точки распадается на несколько узловых секторов, e эллиптических Аналитическая гипотеза Каратеодори и h гиперболических, то индекс этой точки можно посчитать по формуле e - h ind = 1 +, (1.1) которую связывают с именем Бендиксона. Как мы видим, неравенство ind означает, что число эллиптических секторов не может превосходить числа гиперболических: e h. Например, топологическое строение сети линий кривизны по крайней мере аналитической поверхности никогда не бывает таким, как это изображенно на рис. 1.1.

1.2. Главные направления. Дифференциальные уравнения главных направлений обретают особенно компактную и элегантную форму, когда для описания поверхности используются так называемые координаты Бонне. Чуть ниже мы расскажем, как строятся эти координаты в окрестности точки, где гауссова кривизна поверхности отлична от нуля. Между тем, интересующая нас омбилическая точка вполне может оказаться плоской. В таком случае полезно содержащий ее кусок поверхности подвергнуть инверсии относительно какой-нибудь сферы лишь бы только ее центр не лежал в касательной плоскости к поверхности в исследуемой точке. В результате плоская точка превратится в омбилическую точку новой поверхности, где кривизна будет уже строго положительна. При этом новая сеть линий кривизны около нее сохранит топологическую структуру прежней сети, так что индекс новой точки окажется равным индексу исходной.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 17 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.