WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

Пусть x (x) некоторая ZFC--формула. Предположим, что она абсо лютна на совокупности всех F -множеств в MF. Переводом x (x) является формула MF : ()M & ()M. Докажем ее двустороннюю абсолют F F ность. Абсолютность вверх очевидна, достаточно показать абсолютность вниз.

Предположим, что формула MF : ()M & () верна на совокупности F тотальных числовых функций. В силу адекватности перевода формула x (x) 308 Е. В. Гайлит верна в универсуме наследственно-счетных множеств. Далее, ввиду предпо ложенной абсолютности этой формулы имеем x MF &((x))M. Возьмем F это x. Поскольку x есть F -множество, оно представимо посредством некоторой F -вычислимой функции, для которой верно (). В силу отмеченной абсолютности E1 имеет место ()M. При этом для рассматриваемого с F учетом индукционного предположения верна ()M. Тем самым теорема до F казана.

4. Напомним определение итерированной клиниевской вычислимости, являющееся естественным обобщением клиниевской вычислимости. Пусть однозначная ординальная нумерация длины ||. Через обозначим началь ный отрезок длины. Каждому || ставится в соответствие оракул H,G (где G функционал типа 2). Этот оракул определяется почти так же, как и клиниевский, но с одним дополнением: посредством вопросов подходящего вида H,G разрешает графики оракулов H,G, <, равномерно по -номерам. Кроме того, используя прием из [3, 7], можно добиться того, чтобы все эти оракулы были регулярными. Далее, нам понадобится факт, установленный в [3]: если нумерации 1 и 2 m-эквивалентны, то для каждого оракулы H,G и H взаимно вычислимы. Это можно использовать следующим образом.

,G Зафиксируем произвольное n и ограничимся лишь такими, что все -номера ||+m превосходят n. Тогда для m n можно определить оракул H,G (используя числа 0, 1,..., n в качестве вспомогательных номеров). В силу отмеченного факта если продолжим нумерацию до некоторой нумерации, то оракулы ||+m H||+m будут эквивалентны соответствующим оракулам H,G. Это заме,G чание позволяет определить (в рамках ZFC-) естественный класс нумераций, которые будут называться автономными. Каждая такая нумерация задается с помощью некоторого автономного генератора, т. е. пары [w, n], где n > 0, а w наперед заданная машина (с аргументом 0), вычисляющая -номер с оракулом H+n для каждого < ||. Такие нумерации можно порождать шаг за шагом,G в ходе очевидного трансфинитного процесса. Этот процесс обрывается, если на очередном шаге w ничего не вычисляет или вычисленный номер повторяется.

Как показано в [8], для любой автономной нумерации вычислительная сила H,G зависит только от и не зависит от выбора. В этом смысле (а также с учетом простоты самого автономного процесса) такие нумерации естественно признать (в интуитивном смысле) достаточно эффективными.

Слегка модифицируя описанный в п. 1 индуктивный процесс построения клиниевских оракулов, можно получить аналогичный процесс для построения семейства итерированных клиниевских оракулов, навешенных на нумерацию. В случае, когда G = E1, этот процесс можно описать посредством ZFC-формулы (с параметром ) и, как легко проверить, эта формула будет абсолют ной относительно модели MF, если оракул F удовлетворяет свойствам, указанным в п. 3. Определение автономности тоже легко описывается посредством абсолютных формул, и в результате получим формулу (q,, z), выражающую принадлежность z графику оракула H,E, где автономная нумерация с генератором q (здесь ординальная переменная, а q, z пробегают множество ).

В ZFC- с помощью леммы Хартогса можно показать, что каждый автономный процесс когда-нибудь оборвется. Значит, если оракул F обладает вышеука занными свойствами, то это утверждение верно в соответствующей модели MF.

Арифметика второго порядка и автономная вычислимость А в силу абсолютности формулы (q,, z) обрыв произойдет на некотором F вычислимом ординале.

Как было сказано в начале статьи, наша задача заключается в том, чтобы показать, что ни для какой автономной нумерации (относительно E1) ника кой оракул H,E не дает равномерную модель A2. Интуитивно ясно, что если бы такая нумерация существовала, то должно быть точкой насыщения (т. е.

B(H ) = B(H)) [3]. Проверим, что это действительно так. Пусть < не точка насыщения автономной нумерации. Тогда, как показано в [3], ора кул H равносилен клиниевскому оракулу HB,E для подходящего числового множества B.

Рассмотрим HB,E -вычислимое дерево (назовем его D), каждой вершине u которого сопоставлена числовая пара xu, lu и выполняются следующие условия:

1) D дерево с обрывом цепей (или, что эквивалентно, с обрывом всех HB,E -вычислимых цепей);

2) для любого u D множество пар xv, lv, где v принадлежит Du (отростку, выходящему из вершины u), является графиком функции fD : xv lv;

u 3) все xu имеют вид 2t+1 или 5y+1, причем 0, если t B, a) если xu = 2t+1, то lu = 1, если t B, / D b) если xu = 5y+1, то y B(fD) и lu = E1(t{y}f (t)).

Очевидно, что это дерево представимо посредством HB,E -вычислимого объекта типа 1. С другой стороны, если некоторое дерево D вышеописанного вида удовлетворяет условиям 1–3, то индукцией по его высоте легко доказывается, что стоящая в его корневой вершине пара x, l удовлетворяет требованию l = HB,E (x ). Отсюда следует, что область определения оракула HB,E представима в форме MH t R(x, (t)), где R предикат, ре 1 B,Eкурсивный относительно B. Эту форму можно, в свою очередь, представить в виде релятивизованной к MH A2-формулы. Однако ее область истинности B,Eзаведомо не принадлежит MH.

B,EОбратимся теперь к рассмотрению случая, когда точка насыщения ав тономной нумерации, и допустим, что H,E дает равномерную модель A2. В силу теоремы 1 MH есть модель ZFC-, следовательно, в этой модели имеет B,Eместо утверждение о том, что процесс построения нумерации обрывается на некотором шаге MH. Согласно отмеченной выше абсолютности нуме B,Eрация действительно должна оборваться в момент, а поскольку точка насыщения, то, как показано в [3], имеем < ||. Значит, построенная нуме рация должна оборваться раньше, чем она действительно обрывается. Тем самым доказана Теорема 3. Никакая автономная нумерация (относительно E1) не порождает равномерную модель A2.

На самом деле вышеописанная формализация происходила в рамках какого-то фрагмента ZFC-, в котором схемы выделения и подстановки были ограничены формулами с некоторым фиксированным числом кванторов. Невозможно построить равномерную модель для фрагмента A2, в котором схема свертывания ограничена не более чем n кванторами для некоторого фиксированного n.

310 Е. В. Гайлит ЛИТЕРАТУРА 1. Гайлит Е. В. Арифметика второго порядка и пульсирующие иерархии // Сиб. мат. журн.

.

2002. Т. 43, № 1. С. 33–40.

2. Гайлит Е. В. Моделирование пульсирующего процесса // Алгебра и Логика. 2002 (в печати).

3. Белякин Н. В. Итерированная клиниевская вычислимость // Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30,.

№ 6. С. 27–32.

4. Ганов В. А., Белякин Н. В. Общая теория вычислений с оракулами. Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989.

5. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1976.

6. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М.: Мир, 1972.

7. Никифирова Е. Г. Об одном обобщении итерированной клиниевской вычислимости / Ред. Сиб. мат. журн. Новосибирск, Деп. в ВИНИТИ; № 5638-В86.

8. Белякин Н. В. Эффективные иерархии // Алгебра и логика. 1990. Т. 29, № 4. С. 385–397.

Статья поступила 10 сентября 2002 г.

Гайлит Евгения Валерьевна Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск regina@math.nsc.ru

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.