WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Март апрель, 2003. Том 44, № 2 УДК 517.11:518.5 АРИФМЕТИКА ВТОРОГО ПОРЯДКА И АВТОНОМНАЯ ВЫЧИСЛИМОСТЬ Е. В. Гайлит Аннотация: Автономный процесс может быть описан либо в рамках арифметики второго порядка, либо близкой к ней теории Цермело Френкеля (без аксиомы степени), что удобно. Ключевую роль играет следующий результат: доказывается, что если какой-нибудь автономный оракул дает модель для арифметики второго порядка, то он автоматически дает модель для теории Цермело Френкеля (без аксиомы степени), которая естественно интерпретируется на наследственно-счетных множествах, легко представимых посредством счетных деревьев с обрывом цепей.

Вообще, любой автономный процесс может быть описан в системе Цермело Френкеля (без аксиомы степени), причем это описание абсолютное относительно любой оракульной модели. Следовательно, не может быть автономного процесса, дающего модель для полной теории арифметики второго порядка.

Ключевые слова: оракул, итерированная клиниевская вычислимость, автономная нумерация, арифметика второго порядка, система Цермело Френкеля без аксиомы степени, лемма Хартогса Данная статья относится к теории обобщенной вычислимости и продолжает исследования по оракульному моделированию арифметики второго порядка (A2), начатому в работах [1, 2]. Основным инструментом исследования будет итерированная клиниевская вычислимость. Все нужные определения читатель найдет в [3, 4], здесь по мере надобности будем вкратце их напоминать.

В [2] построена автономная нумерация, у которой замыкающий оракул давал модель для двукванторного фрагмента A2. Построенная модель неравномерна в том смысле, что, хотя в ней выполняется надлежащий вариант схемы аксиом свертывания, область истинности формулы (x) (соответствующего вида), будучи разрешимой, не является тем не менее равномерно разрешимой.

(Имеется в виду равномерность по геделевским номерам функциональных параметров формулы.) Вопрос об устранимости этого недостатка остается открытым.

Упомянутый оракул построен при помощи автономной процедуры, содержащей в себе моделирование описанного в [1] пульсирующего процесса. Этот процесс в принципе дает возможность построить оракульную модель для всей арифметики второго порядка, однако является менее эффективным по сравнению с автономными процедурами. Его эффективизация средствами автономной вычислимости, выводящая за рамки двукванторного фрагмента A2, встречает трудности, связанные с вышеупомянутой неравномерностью. Возникает предположение, что полностью промоделировать A2 в рамках автономной вычислимости невозможно.

В этой статье показано, что во всяком случае не может существовать автономной нумерации, которая давала бы равномерную (в указанном выше смысле) модель для всей арифметики второго порядка.

© 2003 Гайлит Е. В.

304 Е. В. Гайлит Автор выражает благодарность Н. В. Белякину за постановку проблемы и внимание к работе.

1. Арифметика второго порядка (A2) это теория, описывающая то, что можно назвать элементарным анализом. Объектами этой теории являются натуральные числа и числовые функции (или числовые множества), а также различные, представимые через них, математические объекты (как то: вещественные числа, непрерывные функции, борелевские множества, счетные ординалы, наследственно-счетные множества и т. д.). Нас эта теория будет интересовать не как способ представления анализа, а как возможность описывать в ней оракульную вычислимость и обобщенно-конструктивные модели. Отметим некоторые простейшие факты, относящиеся к арифметике второго порядка. Условимся обозначать числовые переменные через x, y,..., а функциональные через,,.... Аксиомами A2 являются аксиомы Пеано, включая схему аксиом индукции (записанную в языке A2), а также следующая схема аксиом свертывания:

x ((x) = 0 (x)).

Поскольку A2 содержит арифметику Пеано, все основные свойства рекурсивных функций в ней выразимы и верифицируемы. В частности, поведение любой машины Тьюринга с любыми входными данными за любое число шагов можно описать при помощи A2-формулы, не содержащей функциональных переменных. Лишь несколько сложнее выглядит в арифметике второго порядка изложение вопросов вычислимости с частичным оракулом. Так как частичные числовые функции всегда можно заменить их графиками, такие оракулы легко представимы как допустимые значения функциональных переменных. Поэтому нетрудно построить формулу без функциональных кванторов (z, x, t, y, ), описывающую работу машины с оракулом в нужном смысле. Пусть z геделевский номер машины, x кортеж входных данных (закодированный натуральным числом), t число шагов, числовая функция, которая в вышеуказанном смысле представляет оракул, y код машинного слова. Тогда выражает утверждение: машина z с аргументом x за t шагов, соединенная с оракулом, останавливается с результатом y. С помощью этой формулы не составляет труда выразить многие понятия, а именно легко определить B(F ) множество кодов тотальных F -вычислимых функций, а также понятие регулярности оракула и доказать в A2 простейшие свойства регулярных оракулов. (Напомним, что оракул F называется регулярным, если существует F -вычислимая процедура, которая по геделевскому номеру F -вычислимой функции указывает некоторый элемент ее области определения, если таковая непуста.) Кроме того, в теории A2 доказывается следующий факт: если F -вычислимая функция имеет F -разрешимую область определения, то ее область значений тоже разрешима при условии регулярности оракула F.

Далее, в рамках арифметики второго порядка можно говорить о счетных ординалах, поскольку каждый такой ординал можно представить как вполне упорядоченное множество натуральных чисел (ординальную нумерацию) либо как счетное дерево с обрывом цепей. Можно ввести формулу (), означающую, что функция является изображением ординала (например, в виде дерева с обрывом цепей). Благодаря этому можно, в частности, определить в языке A2 понятие слабо фундированного оракула. Так называется оракул, у которого множество T (F ) кодов F -вычислимых деревьев с обрывом цепей F -перечислимо Арифметика второго порядка и автономная вычислимость (т. е. является областью определения F -вычислимой функции). Подчеркнем, что формула () содержит один функциональный квантор.

Отметим, что в этом языке очевидным образом выразимы функционалы E и E1:

0, если t ((t) = 0), 0, если t (((t)) = 0), E() = E1() = 1 в противном случае, 1 в противном случае, где (t) = (0),..., (t - 1).

В частности, предикат E1() = i выражается A2-формулой:

E1() = i (i = 0 & t (((t)) = 0)) (i = 1 & t (((t)) = 0)) Как известно из [4], если оракул регулярный и слабо фундированный, то с ним вычислим функционал E (т. е. для любой тотальной функции, вычислимой с этим оракулом, значение E() тоже вычислимо с этим оракулом равномерно по геделевскому номеру ). Этот факт доказуем в A2.

Используя эти наблюдения, можно воспроизвести в рамках A2 трансфинитный процесс построения клиниевских и итерированных клиниевских оракулов, релятивизованных к функционалам E и E1 (и, возможно, к числовому множеству B). Напомним, что клиниевским оракулом, релятивизованным к функционалу G типа 2 и к множеству B, называется минимальный частичный оракул HG,B, вычисляющий G и разрешающий множество B при подходящем кодировании задаваемых оракулу вопросов; точнее, HG,B есть минимальная частичная функция, удовлетворяющая условиям:

0, если y B, HG,B(2y+1) = (a) 1 в противном случае, G,B HG,B(5y+1) = G(t{y}H (t)), (b) если y код HG,B-вычислимой тотальной функции. Построить такой оракул можно посредством итерации подходящего монотонного оператора (обозначим его через G,B). Такой оператор порождает трансфинитную последователь ность оракулов H, которая определяется следующим образом:

1) H =, +2) H = G,B(H ), 3) для предельного полагаем H = H.

< Искомый оракул HG,B есть результат стабилизации этой последовательности. Аналогичным образом строятся оракулы итерированной клиниевской вычислимости, определение которых напомним в нужный момент. В качестве G будем использовать E и E1.

Сам по себе упомянутый трансфинитный процесс описывается без затруднений. Сложности возникают в связи с установлением стабилизации описанной последовательности, для чего нужна лемма Хартогса [5, гл. 4, § 4]. Ее доказательство (в контексте теории множеств) зависит от схемы подстановки, которая в A2 отсутствует. Поэтому наше рассмотрение лучше делать в рамках подходящего фрагмента (ZFC-) системы Цермело Френкеля. Установим связь между означенным фрагментом и теорией A2 (в аспекте оракульного моделирования).

2. Рассмотрим формальную систему ZFC-, язык которой обычный, теоретико-множественный. Она содержит обычные аксиомы: экстенсиональности, 306 Е. В. Гайлит регулярности, пары, суммы, бесконечности, схемы аксиом выделения и подстановки. Кроме того, в качестве аксиомы примем следующее утверждение: всякое множество можно вполне упорядочить. В контексте ZFC это утверждение эквивалентно аксиоме выбора, но в доказательстве эквивалентности используется аксиома степени, которая отсутствует в ZFC-. Рассмотрим следующее утверждение, которое представляет собой модификацию утверждения Хартогса из [5, гл 4, § 4] и которое в дальнейшем будем называть леммой Хартогса.

Лемма (ZFC-). Пусть M произвольное множество. Тогда любая формульно заданная, монотонная (по включению) последовательность {a :

On}, a M, стабилизируется на некотором ординальном шаге.

Доказательство. Предположим, что это не так, т. е. существуют сколь угодно большие On такие, что a \ a = (на шаге произошло рас < ширение). Выделим последовательность {, On} тех, на которых эта разность непуста. Последовательность этих тоже формульно определима.

Выберем для каждого из a \ a наименьший элемент (предваритель < но вполне упорядочив множество M). Обозначим выбранные элементы через y, On. Эти элементы для различных различны и в совокупности образуют множество в силу аксиомы выделения и формульной определимости последовательности {y, On}. (Подразумеваемое здесь вполне упорядочение множества M фигурирует в качестве параметра в формуле, описывающей данную последовательность.) Тем самым мы построили формульно определимое разнозначное отображение ( y ), заданное на всех ординалах, область значений которого есть множество. Применяя схему аксиом подстановки к обратному отображению, получаем, что совокупность всех ординалов является множеством, что неверно. Лемма доказана.

Естественной моделью для ZFC- служит совокупность всех наследственно счетных множеств. Проверка всех аксиом ZFC- на этом универсуме производится тривиально. Более того, в этой модели выполняется утверждение, что всякое множество счетно и, значит, вполне упорядочиваемо по типу. Наследственно счетные множества легко представимы в виде объектов типа 1, а именно счетными деревьями с обрывом цепей. (Делается это трансфинитной индукцией по высоте деревьев: каждому такому дереву ставится в соответствие наследственно счетное множество, элементы которого суть такие же множества, сопоставленные его отросткам.) Отношения равенства и принадлежности наследственно счетных множеств, представленных указанным способом, могут быть описаны в языке A2. Это дает возможность перевода ZFC--формул в равнозначные по смыслу A2-формулы.

3. Возвращаемся к оракульной математике. Пусть оракул F регулярный, слабо фундированный и такой, что совокупность MF тотальных, F -вычислимых функций образует равномерную модель A2. (Очевидно при этом, что Eбудет вычислим.) Этот же оракул задает модель в языке теории множеств, универсум которой состоит из совокупности MF всех F -множеств, т. е. наследственно счетных множеств, которые соответствуют F -вычислимым деревьям с обрывом цепей. Коды этих деревьев одновременно являются и кодами соответствующих F -множеств.

Легко понять, что отношение равенства и -отношение между F -множествами будут полуразрешимы (т. е. F -распознаваемы по их кодам). СоответствуАрифметика второго порядка и автономная вычислимость ющая процедура является модификацией известного способа сравнения высот рекурсивных деревьев с обрывом цепей по их геделевским номерам [6, гл. 16].

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть оракул F регулярный, слабо фундированный. Пусть совокупность тотальных F -вычислимых функций образует модель арифметики второго порядка, которая является равномерной. Тогда совокупность F множеств образует модель ZFC-.

Доказательство. Все аксиомы, кроме аксиом выделения и подстановки, выполняются тривиально. Аксиома выделения следует из предположения о равномерности модели теории A2, даваемой оракулом F. (Достаточно сослаться на вышеотмеченный факт о переводимости ZFC--формул в A2-формулы.) Займемся схемой подстановки. Предположим, что x ! y (x, y). Если возьмем в качестве x и y любые два F -множества, то по их кодам можно узнать (с оракулом F ), истинна (x, y) или нет. Если зафиксируем какое-нибудь F множество x0, то тогда множество всех F -кодов всех таких y, для которых верно (x0, y), будет F -перечислимым. В силу регулярности оракула можно найти код того единственного y, который соответствует x0. Такая машина строится эффективно по x0 и геделевскому номеру. Возьмем произвольное множество a. Оно задано как код некоторого дерева. При помощи рекурсивной процедуры можно получить последовательность кодов всех его отростков. Считаем, что x пробегает a, так что можно устроить перебор кодов всех x a. На очередном шаге перебора для x a можно найти нужное F -множество y. Итак, мы получили F -вычислимую функцию, у которой область определения есть F -разрешимое множество, состоящее из кодов всех отростков дерева a. Множество значений этой функции в силу регулярности оракула тоже F -разрешимо; из кодов всех y, принадлежащих этой области значений, можно построить код F -множества, являющегося -образом множества a.

Как уже отмечено, оракул F рассматриваемого вида определяет две мо дели: одну в языке A2, а именно MF, другую в теории множеств (MF ).

A2-формула, определяющая функционал E1, является MF -абсолютной. Это непосредственно следует из того, что для рассматриваемого F обрыв всех цепей равносилен обрыву всех F -вычислимых цепей. Докажем также следующую теорему.

Теорема 2. Если некоторая формула ZFC- абсолютна относительно MF, то ее перевод в язык A2-формул будет абсолютной формулой относительно модели MF.

Доказательство проведем индукцией по числу кванторов. Как отмечено выше, функционал E1 абсолютен относительно модели MF. Отсюда следует, что перевод любой атомной ZFC--формулы на язык A2 будет абсолютной формулой; если теорема верна для формул 1, 2, то она, очевидно, верна и для 1 & 2. То же можно сказать и о любой пропозициональной комбинации абсолютных формул.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.