WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

Используя теперь доказанную оценку (2.2) вместо (2.6), аналогичными рассуждениями несложно доказать сильную в L2( ) и слабую в H1( ) сходимость решения задачи (2.1) к решению задачи (2.3) для произвольных сходящихся последовательностей k 0, k при k. Из этой сходимости и непрерывной зависимости u0 от Q выводим равномерную по сходимость u к u(сильную в L2( ) и слабую в H1( )). Докажем теперь сильную сходимость в H1( ). Ясно, что достаточно доказать сходимость нормы u H1 к u0 H1.

( ) ( ) Этот факт вытекает из очевидных соотношений u 2 = u 2 +(u, f)L ( ) - u0 2 +(u0, f)L ( ) = u0 2.

H1( ) L2( ) 2 L2( ) 2 H1( ) Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1.1. Известно, что решения задач (2.1) и (2.3) мероморфны по в норме H1( ) и имеют в качестве особенностей простые полюса, совпадающие с собственными значениями соответственно возмущенной и предельной задач, а вычеты в указанных полюсах суть соответствующие собственные функции.

q+p-Пусть 0 = q = · · · = 0 p-кратное собственное значение предельной задачи, p 1, а B(0) замкнутый круг радиуса на комплексной плоскости с центром в точке 0. Возьмем достаточно малым так, чтобы круг B(0) не содержал собственных значений предельной задачи, не совпадающих с 0. Тогда в силу аналитичности решений задач (2.1), (2.3) по параметру и леммы 2.имеем сходимость в H1( ) 1 u d - u0 d. (2.7) 2i 2i B B Так как круг B(0) содержит (простой) полюс функции u0, правая часть в (2.7) не равна нулю. Следовательно, левая часть (2.7) также не равна нулю, т. е.

круг B(0) содержит (простой) полюс функции u. Отсюда и из произвола в выборе выводим сходимость собственных значений возмущенной задачи к собственным значениям предельной задачи.

Докажем теперь сходимость собственных функций. Прямыми вычислениk ями проверяется, что при B(0), = 0, f = 0, k = q,..., q + p - 1, решением задачи (2.3) является функция k u0 =.

0 - Подставляя последнее равенство в (2.7) и вычисляя правую часть, получаем, k что левая часть (2.7), где u решение задачи (2.1) с f = 0, и есть требуемая k линейная комбинация, сходящаяся в H1( ) к 0.

Докажем, что собственные значения возмущенной задачи k, k = q,..., q+ p-1, сходятся к 0. Пусть к 0 сходятся собственные значения j, j I0. Сово купную кратность всех собственных значений возмущенной задачи, сходящихся к 0, обозначим через l, l = |I0|. Показав, что l = p, мы, очевидно, докажем k требуемую сходимость. Так как собственные функции 0, k = q,..., q+p-1, лиj нейно независимы, соответствующие линейные комбинации функций, j I0, Асимптотики и оценки скорости сходимости k k сходящиеся к 0, также линейно независимы. Функции линейно независимы, следовательно, по теореме Штейница, число l не может быть меньше p.

С другой стороны, допустив, что l >p, аналогично доказательству леммы 2.нетрудно показать существование последовательности k 0, на которой кажj дая из (линейно независимых) функций, j I0, сходится к линейным комk бинациям функций 0, причем эти комбинации также линейно независимы.

Следовательно, число p не превосходит l, т. е. l = p. Теорема 1.1 полностью доказана.

Для доказательства теоремы 1.2 нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 2.2. При, близких к p-кратному собственному значению 0 = q = · · · = q+p-1, для решения краевой задачи (2.1) справедливо представление 0 q+p-k k u = f dx+, (2.8) k - k=q k где голоморфная по функция, ортогональная ко всем в L2( ), k = q,..., q+ p - 1. Для функции справедлива равномерная по,, и f оценка H1 C f L ( ). (2.9) ( ) Доказательство. Как отмечено при доказательстве теоремы 1.1, u голоморфная по функция, имеющая простые полюсы в точках k, вычеты в которых суть соответствующие собственные функции. Следовательно, q+p-k u = bk +, (2.10) k - k=q k где голоморфна по B(0). Умножим уравнение в задаче (2.1) на и проинтегрируем по частям. Тогда k k k -, u = f,.

Подставляя в полученные соотношения представление (2.10), выводим:

k k bk = f dx,, =0, что и доказывает (2.8). Осталось установить справедливость неравенства (2.9).

Нетрудно видеть, что есть решение задачи (2.1) с правой частью q+p- k k f - (f, ), k=q голоморфное по B(0). Поэтому для B(0) верна равномерная по,, и f оценка q+p- k k H1 C f - f, C f L ( ), ( ) k=q L2( ) которая в силу принципа максимума для голоморфных функций имеет место и для B(0). Лемма доказана.

282 Д. И. Борисов § 3. Асимптотики собственных значений возмущенной задачи В настоящем параграфе мы докажем теорему 1.2 об асимптотиках собственных значений возмущенной задачи, а также в ее условиях теорему 3.1 об асимптотиках соответствующих собственных функций.

Доказательство теоремы 1.2. Асимптотики будем строить на основе метода составных разложений [22] и метода многих масштабов [23]. Вначале будет проведено формальное построение асимптотических разложений, а затем будет строго доказано, что формально построенные разложения действительно являются асимптотиками собственных элементов возмущенной задачи. Формальное построение удобно разделить на два случая в зависимости от того, простое или кратное собственное значение задачи (1.5) соответствует предельному собственному значению. В формальном построении мы подробно остановимся на случае простого собственного значения задачи (1.5); случай кратного собственного значения имеет лишь некоторые незначительные отличия, которые ниже будут пояснены отдельно.

Начнем формальное построение. Пусть 0 = M2 + 2, где простое собственное значение задачи (1.5), 0(x) = 0(x ) cos Mx3 соответствующая собственная функция, 0 L () =1, собственное значение возмущенной задачи, сходящееся к 0.

Асимптотику собственного значения будем строить в виде = 0 + 1(, ). (3.1) Асимптотику соответствующей собственной функции мы строим в виде суммы двух разложений: внешнего разложения и пограничного слоя. Внешнее разложение выглядит следующим образом:

ex (x, ) =(0(x ) +1(x,, )) cos Mx3, (3.2) а пограничный слой имеет вид bl + (, s, x3, ) =v1 (, s,, ) cos Mx3, (3.3) где =(1, 2) =(-1, x3-1 - /2), расстояние от точки до границы, измеренное в направлении внутренней нормали. Пограничный слой вводится для того, чтобы удовлетворить граничным условиям на и. Кроме того, при построении пограничного слоя также применяется метод многих масштабов, роль медленного времени здесь играет переменная x3.

Перейдем к построению асимптотик, т. е. к определению функций 1, 1, + v1. Вначале подставим (3.1) и (3.2) в уравнение (1.1) и соберем коэффициенты при первой степени. Эта стандартная процедура дает уравнение для функции 1:

( x + )1 = -10, x. (3.4) Краевое условие для функции 1 будет определено при построении погранично+ го слоя. Выведем граничные условия для функции v1. В соответствии с метоex bl дом составных разложений потребуем, чтобы сумма функций и асимптотически (по ) удовлетворяла краевым условиям (1.2) на и. Из этого + требования вытекают граничные условия для функций v1 :

+ v+ v1 = -D, (g), =, (g), (3.5) 2 Асимптотики и оценки скорости сходимости где (a) ={ : 2 =0, |1 - j|

1 1 0 n + Для того чтобы вывести уравнения для функций v1, вначале запишем оператор Лапласа в переменных (s,, x3):

1 1 x = H + +, H =1 +K, (3.6) H s H s xK = K(s) = ( (s), n(s))R2, n = n(s), (s) двумерная вектор-функция, задающая кривую, K C(). Теперь подставим (3.1), (3.3), (3.6) в (1.1), перейдем к переменным и выпишем коэффициент при наименьшей степени.

+ Тогда получим следующее уравнение для функции v1 :

+ v1 =0, 2 > 0. (3.7) Согласно методу составных разложений мы должны построить решение задачи (3.5), (3.7), экспоненциально убывающее при 2 +.

Пусть V (a) пространство -периодических по 1 функций из C({ :

2 > 0}\{ : =(±a + j), j Z}), экспоненциально убывающих при 2 + вместе со всеми своими производными равномерно по 1. Обозначим = { :

2 > 0, |1|

Введем в рассмотрению функцию X(, a) = Re ln(sin z + sin2 z - sin2 a) - 2, z = 1 + i2 комплексная переменная. Прямыми вычислениями проверяем, что X(, a) V (a) H1( ) гармоническая функция в полуплоскости 2 > 0, четная по 1 и удовлетворяющая следующим граничным условиям:

X X = ln sin a, x (a), = -1, x (a). (3.8) Следовательно, решение задачи (3.5), (3.7) имеет вид + v1 (, s,, ) =-(s)X(, g(s)). (3.9) Тогда в силу граничных условий (3.8) + v1 (, s,, ) =-(s) ln sin g(s) на (g(s)).

Ввиду (3.5) последнее равенство позволяет получить граничное условие для 1:

1 = ln sin g, x. (3.10) Условие разрешимости краевой задачи (3.4), (3.10) получаем стандартным путем: умножаем обе части уравнения (3.4) на 0 и интегрируем по частям. Полученное таким образом равенство и нормировка 0 приводят к формуле (1.8).

Для того чтобы обосновать формально построенные первые члены асимптотик, необходимо построить дополнительные члены в асимптотике для. В пограничном слое следует добавить два слагаемых; в результате пограничный слой принимает вид bl + + (, s, x3, ) = v1 (, s,, ) +2v2 (, s,, ) cos Mx+ 2v2 (, s,, ) sin(Mx3). (3.11) 284 Д. И. Борисов ± Уравнения для функций v2 получаем подстановкой (3.1), (3.6) и (3.11) в (1.1) и выписыванием коэффициентов при одинаковых степенях отдельно для cos(Mx3) и sin(Mx3):

+ + v1 v+ v2 = -K, v2 =2M, 2 > 0. (3.12) 2 ± Граничные условия для v2 выводим так же, как и (3.5):

+ v2 v=, =0, (g), (3.13) 2 1 где значение нормальной производной функции 1 на, = (s,, ).

1 1 Обозначим Y (, a) = Im ln(sin z + sin2 z - sin2 a) - + 1.

Непосредственно проверяется, что Y V (a) H1( ) нечетная по 1 гармоническая функция, вместе с X удовлетворяющая условиям Коши Римана:

X Y X Y =, = -. (3.14) 1 2 2 Решения задач (3.12), (3.13) можно получить в явном виде:

+ + v2 (, s,, ) = K(s)(s)2X(, g(s)) + X(1, t, g(s)) dt - (s,, )X((, g(s)), (3.15) + v2 (, s,, ) =-K(s)M(s)2Y (, g(s)) + Y (1, t, g(s)) dt.

± Ясно, что v2 H1( ) V (g).

Далее нам понадобятся следующие вспомогательные леммы.

Из определения множества V (a), принадлежностей X, Y V (a), четности X и нечетности Y по 1 вытекает Лемма 3.1. Верны равенства X k =0, Y =0, 1 =, k Z.

1 Лемма 3.2. Пусть функция v V (a)L2( ) для всех 2 > 0 удовлетворяет / v равенству v() d1 =0 и L2( ). Тогда верна оценка -/ v v L ( ).

1 L2( ) Доказательство. Для 2 > 0 в силу неравенства Пуанкаре имеем /2 /2 / 2 2 v v v2 d1 d1 2 d1.

2 1 -/2 /2 /Интегрируя теперь полученное неравенство по 2 (0, +), приходим к утверждению леммы. Лемма доказана.

Всюду в следующей лемме посредством C будем обозначать различные неспецифические константы, не зависящие от a.

Асимптотики и оценки скорости сходимости Лемма 3.3. При a (0, /2] функции X и Y обладают следующими свойствами.

(1) Для всех 2 > 0 справедливо равенство / X(, a) d1 =0.

-/(2) Выполнены соотношения X L ( ) = Y L ( ) C, 2X L ( ) = 2Y L ( ) X L ( ), 2 2 2 2 X L ( ) = | ln sin a|1/2, 2X L ( ) = 2Y L ( ) = X L ( ), 2 2 2 + + X(1, t, a) dt = Y (1, t, a) dt X L ( ).

2 L2( ) 2 L2( ) X Y (3) Для функций, V (a) L2( ), a a + + X(1, t, a) dt, X(1, t, a) dt V (a) H1( ) a a 2 имеют место соотношения X Y ctg a| ln cos a|1/ = =, a a L2( ) L2( ) X 2 X 2 Y =, a a a L2( ) L2( ) L2( ) + + X X(1, t, a) dt = Y (1, t, a) dt.

a a a L2( ) 2 L2( ) L2( ) Доказательство. Всюду в доказательстве, не оговаривая особо, при различных интегрированиях по частям мы будем пользоваться граничными условиями для X и Y из леммы 3.1.

Утверждение п. (1) легко получить, проинтегрировав по частям в равенствах (t >0):

Xd =0, 2 Xd =0.

{:2>t} {:2>t} Переходим к доказательству пп. (2), (3). Принадлежности + + X Y,, X(1, t, a) dt, X(1, t, a) dt V (a) L2( ) a a a a 2 устанавливаются непосредственно с использованием явного вида X и Y. Производные по 1, 2 последних двух функций равны в силу условий Коши X Y Римана (3.14) функциям,, что доказывает принадлежность функций a a 286 Д. И. Борисов + + X(1, t, a) dt, X(1, t, a) dt пространству V (a) H1( ). Существоa a 2 вание остальных норм из пп. (2), (3) нетрудно доказать на основе явного вида функций X и Y. Докажем теперь равенство соответствующих норм X и Y из пп. (2), (3). Используя условия Коши Римана (3.14) и интегрируя по частям, для 2 > 0 получаем /2 /2 / Y X Y d1 =2 Y d1 =2 Y d2 2 /2 /2 //2 /2 / Y X = -2 Xd1 =2 Xd1 = X2 d1, 1 2 /2 /2 /откуда /2 / Y d1 = X2 d1, 2 > 0.

/2 /Полученное равенство доказывает формулы X L ( ) = Y L ( ), 2X L ( ) = 2 2 2Y L ( ). Равенства остальных норм для X и Y устанавливаются аналогично.

Переходим к доказательству оценок и остальных равенств из пп. (2), (3).

В [13, § 3] показано, что X L ( ) непрерывная по a [0, /2] функция, откуда и следует необходимая оценка для этой функции. В [11] доказано, что X d1 = - 2a, Xd1 = -2a ln sin a. (3.16) (a) (a) Интегрируя по частям в равенстве X Xd = 0, получаем X |X|2 d = - ln sin a d1 + Xd1, (a) (a) откуда и из (3.16) вытекает утверждаемая формула для X L ( ). Равенства X 2 0 = 2X Xd = - 2|X|2 d - 2 2X d = - 2X 2 + X 2 (3.17) L2( ) L2( ) дают требуемое выражение для 2X L ( ). Из леммы 3.2 и п. (1) выводим соотношения 2 X 2X L ( ) 2X L ( ) = X L ( ).

2 2 1 L2( ) На основе уже доказанных равенств и оценок из пп. (2), (1), леммы 3.2 и (3.14), устанавливаем, что + + X X(1, t, a) dt (1, t, a) dt = Y L ( ) = X L ( ).

2 2 L2( ) 2 L2( ) Асимптотики и оценки скорости сходимости П. (2) доказан. Прямыми вычислениями несложно проверить, что + 1 X X1(, a) =- 2 (1, t, a) dt H1( ) V (a) 2 a четное по 1 решение задачи X X1() =, 2 > 0, a + (3.18) X1 1 X X1 =0, = - (1, t, a) dt, 2 =0.

2 2 a Так как при 1 (a, /2] + + 2 X (1, t, a) dt = - X(1, t, a) dt =0, 1 a t2a 0 ввиду четности и -периодичности X по 1 получаем (1 (a, /2]) + + X X(1, t) dt = (/2, t, a) dt = ctg a ln cos a.

a a 0 Опираясь теперь на утверждение п. (1) и интегрируя по частям, с учетом последнего равенства и (3.18) имеем 2 X X X X Xd = - ctg a d = - ctg a d a a a a a /+ = X(1, 0, a) - ctg a X(1, 2, a) d2da a a / = ctg a ln cos a X(1, 0, a) - ctg a d1 = - ctg2 a ln cos a.

a a Аналогично (3.17) доказывается равенство X 2 X =, a a L2( ) L2( ) что вместе с вытекающей из (1) и леммы 3.2 оценкой X 2X 2 X a 1a L ( ) a L2( ) L2( ) приводит ко второй оценке п. (3). Третья оценка этого пункта доказывается на основе (1), леммы 3.2 и условий Коши Римана (3.14):

+ Y X X(1, t, a) dt =.

a a a L2( ) L2( ) L2( ) Лемма доказана.

288 Д. И. Борисов Лемма 3.4. Пусть существует >0 такое, что норма Г g C2+ ельдера () ограничена по. Тогда имеет место равномерная по и оценка 1 C2 C(| ln | +1).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.