WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
Сибирский математический журнал Март апрель, 2004. Том 45, № 2 УДК 517.956 АСИМПТОТИКИ И ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ТРЕХМЕРНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ С ЧАСТОЙ СМЕНОЙ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Д. И. Борисов Аннотация: Рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача на собственные значения оператора Лапласа в цилиндре с частой сменой типа граничного условия на боковой поверхности. Смена граничных условий задается путем разбиения боковой поверхности на большое число узких полос, на которых поочередно задаются условия Дирихле и Неймана. Исследуется случай, когда усредненная задача содержит краевое условие Дирихле на боковой поверхности. В случае полос медленно меняющейся ширины построены первые члены асимптотических разложений собственных элементов, а в случае полос быстро меняющейся ширины получены оценки скорости сходимости.

Ключевые слова: асимптотика, сингулярное возмущение, оператор Лапласа.

Введение Статья посвящена изучению трехмерной краевой задачи с частой сменой типа граничного условия. Характерной чертой описания такого рода краевых условий является разбиение границы области на две части, на одной из которых задается граничное условие одного типа (например, условие Дирихле), а на другой части другого типа (например, условие Неймана). Предполагается, что одна из этих частей границы зависит от малого параметра и состоит из непересекающихся компонент, причем при стремлении малого параметра к нулю число компонент неограниченно растет, а мера каждой отдельной компоненты стремится к нулю. Вопросы усреднения такого рода задач изучены достаточно хорошо (см., например, [1–8]). Основной результат усреднения, полученный в этих работах, кратко можно сформулировать так. Решения краевых задач с частой сменой граничных условий сходятся к решениям задач с классическими краевыми условиями, тип которых определяется соотношением мер частей границы с разными граничными условиями в исходной задаче.

В работах [5, 7, 9, 10] рассматривалось чередование первого краевого условия со вторым или третьим и были получены оценки скорости сходимости в предположении, что каждая связная компонента с граничным условием одного из типов стягивается к точке. Асимптотики решений задач с частой сменой граничных условий построены в [11–20]. Двумерные задачи исследовались в [11– 16]. В [17] построено асимптотическое разложение решения краевой задачи для Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02–01–00693), программы Ведущие научные школы (НШ–1446.2003.1) и программы Университеты России Минобразования РФ.

© 2004 Борисов Д. И.

Асимптотики и оценки скорости сходимости уравнения Пуассона в многомерном слое в случае периодического чередования краевых условий на множествах, стягивающихся к точке. В работах [18, 19] построены полные асимптотические разложения собственных элементов оператора Лапласа в круговом цилиндре с частым чередованием граничных условий Дирихле и Неймана на узких полосах постоянной ширины, лежащих на боковой поверхности. В [18] рассматривался случай усредненной задачи с краевым условием Дирихле на боковой поверхности с дополнительным предположением, что ширина полос с граничным условием Дирихле имеет тот же порядок малости, что и ширина с граничным условием Неймана. В [19] изучался случай, соответствующий усредненной задаче со вторым или третьим краевым условием на боковой поверхности. В обоих случаях было показано, что исходная возмущенная задача содержит только простые и двукратные собственные значения. Кроме того, в [19] для цилиндра произвольного сечения и полос переменной медленно меняющейся ширины в случае усредненной задачи со вторым или третьим краевым условием на боковой поверхности были построены первые члены асимптотических разложений собственных значений, сходящихся к простым предельным собственным значениям, и первые члены асимптотик соответствующих собственных функций.

В настоящей работе рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача на собственные значения лапласиана в цилиндре с краевым условием Дирихле на верхнем основании и условием Неймана на нижнем основании. Боковая поверхность разбивается на большое число узких полос переменной ширины, описываемых двумя характерными параметрами. На этих полосах поочередно задаются граничные условия Дирихле и Неймана. Рассматривается случай, когда усредненная задача содержит краевое условие Дирихле на боковой поверхности. В предположении медленно меняющейся ширины полос построены первые члены двупараметрических асимптотических разложений собственных элементов. Вид этих асимптотических разложений позволяет утверждать, что в случае общего положения происходит расщепление всех кратных собственных значений усредненной задачи и возмущенная задача имеет только простые собственные значения. Рассмотрен также случай кругового цилиндра и показано, что в зависимости от ширины полос могут реализовываться как прежняя ситуация полного расщепления кратных собственных значений, так и ситуация, когда расщепления не происходит. Приведены достаточные условия, при выполнении которых спектр возмущенной задачи содержит двукратное собственное значение. В случае полос быстро меняющейся ширины получены оценки скорости сходимости собственных значений возмущенной задачи.

Результаты настоящей работы частично анонсированы в [20].

§ 1. Постановка задачи и формулировка результатов Пусть x = (x1, x2), x = (x, x3) декартовы координаты в R2 и R3, R2 односвязная ограниченная область с бесконечно дифференцируемой границей, = [0, H], H>0, 1, 2 верхнее и нижнее основания цилиндра, 1 = {x : x, x3 = H}, 2 = {x : x, x3 =0}. Через s будем обозначать натуральный параметр кривой. Будем считать, что N натуральное число, стремящееся к бесконечности; = H/(N) малый положительный параметр.

На боковой поверхности цилиндра мы задаем подмножество, состоящее из N узких полос:

= {x : x, |x3 - (j +1/2)|

В работе рассматривается сингулярно возмущенная краевая задача на собственные значения:

- =, x, =0, x 1, (1.1) =0, x 2. (1.2) Здесь внешняя нормаль к границе, а множество определяется как дополнение до боковой поверхности. Всюду далее задачу (1.1), (1.2) будем называть возмущенной.

В работе [4] исследовано усреднение уравнения Пуассона с граничными условиями (1.2) в случае, когда единичный круг, g 1. Установлено, что при выполнении равенства lim ln () = 0 (1.3) решение такой задачи сходится в норме H1( ) к решению того же уравнения Пуассона с прежними граничными условиями на основаниях и граничным условием Дирихле на боковой поверхности. Аналогичное утверждение будет доказано и в настоящей работе для задачи (1.1), (1.2).

Теорема 1.1. Пусть выполнено равенство (1.3). Тогда собственные значения возмущенной задачи при 0 сходятся к собственным значениям предельной задачи - 0 = 00, x, 0 =0, x 1, =0, x 2. (1.4) Для всякой собственной функции 0, соответствующей собственному значению 0, существует сходящаяся к ней в H1( ) линейная комбинация собственных функций возмущенной задачи, соответствующих собственным значениям, сходящимся к 0. Совокупная кратность собственных значений возмущенной задачи, сходящихся к одному и тому же предельному собственному значению, совпадает с кратностью этого предельного собственного значения.

Асимптотики и оценки скорости сходимости Задача (1.4) легко решается разделением переменных: 0 = M2+, 0(x) = 0(x ) cos Mx3, где M = (l +1/2)H-1, l 0, целое число, и 0 собственные элементы двумерной задачи - x 0 = 0, x, 0 =0, x. (1.5) Собственные значения предельной и возмущенной задач расположим в порядке неубывания с учетом кратности:

1 2 · · · k..., 1 2 · · · k.... (1.6) 0 0 0 k Соответствующие собственные функции будем считать ортонормированными в L2( ). Числа M, и функции 0, соответствующие k, обозначим через Mk, k и k. Собственные функции задачи (1.5) будем считать ортонормированными в L2(), причем собственные функции, соответствующие кратному собственному значению, выберем так, чтобы значения их нормальных производных были ортогональны в L2() с весом (- ln sin g). Возможность такой ортогонализации следует из известной теоремы алгебры о диагонализации двух квадратичных форм в конечномерном пространстве.

Заметим, что задача (1.4) может иметь кратные собственные значения. Такая ситуация имеет место, если задача (1.5) имеет кратные собственные значения либо если для некоторых i и j выполнено равенство i = Mi2 + i = 2 Mj + j = j. Ясно, что для любых i и j всегда можно выбрать высоту H так, чтобы выполнялось равенство i = j.

0 Сформулируем теперь основные результаты работы.

Теорема 1.2. Пусть выполнено равенство (1.3) и существует >0 такое, что норма Г g C2+ ограничена по. Тогда асимптотики собственельдера () ных значений возмущенной задачи имеют вид k = k + k(, ) +O(3/2(| ln |3/2 + 1)), (1.7) 0 k k(, ) = ln sin g ds, (1.8) n где n внешняя нормаль к кривой.

Утверждение об асимптотиках соответствующих собственных функций в условиях теоремы 1.2 будет сформулировано в § 3 (см. теорему 3.1).

Если для некоторых i = j собственные значения i и j не равны, то, как 0 видно из теоремы 1.2, собственные значения i и j также не совпадают. Ес ли i = j, то для произвольных области и функции g величины i и j, 0 0 1 вообще говоря, не равны. Таким образом, в случае общего положения спектр задачи (1.1), (1.2) состоит из простых собственных значений. Вместе с тем, как показано в [18], для кругового цилиндра с g 1 возмущенная задача имеет также и двукратные собственные значения. Ясно, что даже для кругового цилиндра с произвольной функцией g возмущенная задача, вообще говоря, не имеет кратных собственных значений. В настоящей работе для случая кругового цилиндра доказаны достаточные условия на функцию g, при выполнении которых возмущенная задача имеет кратные собственные значения; для их формулировки введем дополнительные обозначения.

Пусть единичный круг с центром в нуле. Тогда задача (1.5) допускает разделение переменных, ее собственные значения являются корнями уравнений 278 Д. И. Борисов Jm( ) =0, где Jm функции Бесселя целого порядка m 0, а соответству ющие собственные функции (не нормированные в L2( )) имеют вид J0( r) (m = 0), Jm( r) cos(m), Jm( r) sin(m) (m> 0), где (r, ) полярные координаты, соответствующие переменным x. Так как все корни уравнений Jm( ) = 0 различны [21], задача (1.5) имеет только простые (m = 0) и двукратные (m>0) собственные значения. Функцию g() периодически продолжим на все значения с периодом 2.

Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2, единичный круг с центром в нуле, функция g() периодична по с периодом /(2m), m>0, 2 k = k + Mk двукратное собственное значение задачи (1.4), k корень уравнения Jm( ) = 0. Тогда собственное значение k, сходящееся к k, двукратное и имеет асимптотику (1.7), где 2k k(, ) = sin2(m + ) ln sin g() d 2k = cos2(m + ) ln sin g() d, здесь выбрано из условия sin(2m +2) ln sin g() d =0. (1.9) Асимптотики соответствующих собственных функций имеют вид (4.3).

Условия, наложенные в теореме 1.2 на функцию g, призваны исключить наличие у ограниченной функции g неограниченных по производных. Тем самым не рассматриваются быстро осциллирующие функции g, что геометрически соответствует полосам быстро меняющейся ширины на боковой поверхности. Для таких случаев на основе теоремы 1.2 в работе получены оценки скорости сходимости возмущенной задачи, результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1.4. Пусть выполнено равенство (1.3). Тогда верны оценки -Ck(| ln | +1) k - k с положительными константами Ck, не зависящими от и.

§ 2. Сходимость собственных элементов возмущенной задачи В настоящем параграфе мы докажем теорему 1.1 и вспомогательную лемму, которая будет использована при доказательстве теоремы 1.2.

Всюду в параграфе считаем, что собственные значения возмущенной и предельной задач упорядочены согласно (1.6), а соответствующие собственные функции ортонормированы в L2( ). Дополнительная ортогонализация предельных собственных функций в L2(), описанная в § 1, здесь не предполагается.

Для доказательства теоремы 1.1 нам понадобится Асимптотики и оценки скорости сходимости Лемма 2.1. Пусть Q произвольный компакт на комплексной плоскости, не содержащий собственных чисел предельной задачи. Тогда при Q и достаточно малых краевая задача u - u = u + f, x, u =0, x 1, =0, x 2, (2.1) однозначно разрешима для любой функции f L2( ) и справедлива равномерная по,, и f оценка u H1 C f L ( ). (2.2) ( ) При 0 функция u равномерно по Q сходится в H1( ) к решению задачи u- u0 = u0 + f, x, u0 =0, x \2, =0, x 2. (2.3) Доказательство. Ясно, что однозначная разрешимость задачи (2.1) есть следствие оценки (2.2). Последнюю будем доказывать рассуждениями от противного. Допустим, что эта оценка не верна. Тогда существуют последовательности k - 0, k Q, fk L2( ) такие, что при = k, = k, f = fk для k решения задачи (2.1) имеет место неравенство u H1 k fk L ( ). (2.4) ( ) k Без ограничения общности будем считать, что функция u нормирована в L2( ).

k Тогда, умножая уравнение в (2.1) на u и интегрируя один раз по частям, поk лучаем, что u H1 C u L ( ) + fk L ( ) = C fk L ( ) +1, (2.5) ( ) k k 2 2 где константа C не зависит от k. Из (2.4), (2.5) следует ограниченность u в k норме H1( ):

u H1 C, (2.6) ( ) k где константа C не зависит от k. Неравенства (2.6) и (2.4) очевидным образом дают сходимость в L2( ): fk - 0. Далее, вновь обращаясь к (2.6), учитыk вая компактность Q и выделяя при необходимости подпоследовательность из последовательности индексов k, заключаем, что k сходятся к Q, a u k сходится к u слабо в H1( ) и сильно в L2( ), причем функция u не равна нулю в силу нормировки u. Функция u, очевидно, равна нулю на множестве k k {x : x, |x3 - (j +1/2)| < c, j = 0, N - 1}1. Опираясь на этот факт, аналогично доказательству теоремы II.4 из [4] несложно показать, что u равна нулю на боковой поверхности и верхнем основании цилиндра. С другой стороны, для всякой функции v H1( ), равной нулю на боковой поверхности и верхнем основании цилиндра, выполнено очевидное интегральное равенство (u, v) dx = (ku + fk)v dx, k k переходя в котором к пределу при k, получаем, что функция u является нетривиальным решением задачи u - u = u, x, u =0, x \2, =0, x 2.

280 Д. И. Борисов Таким образом, Q является собственным значением предельной задачи, что противоречит условию леммы. Оценка (2.2) доказана.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.