WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Построение проведем по шагам, формируя на каждом шаге s множество As = C Bs, где C данное множество, а Bs конечное множество, построенное на шаге s в ходе конструкции. Требуемым будет множество A = As = C B, где B = Bs. В ходе конструкции возникает вспомогательs s ное множество Z = Zs, где Zs конечная часть Z, построенная к концу s шага s. Конструкция организована таким образом, что Bs Bs+1, Zs Zs+и Bs Zs = для всех s. Ясно, что в этом случае B Z =. Обозначим bs = 1 + max(Bs Zs) для всех s. При описании конструкции будем предполагать, что D переменная для конечных множеств.

Шаг 0. Полагаем B0 = Z0 = и b0 = 0.

Шаг 4s + 1. Проверим z(z s(C) \ A4s). (1) Если (1) выполнено, то возможны два случая. Пусть z наименьшее z, удовлетворяющее (1). Если z = 2z1 + 1, (2) то полагаем Z4s+1 = Z4s {z1} и B4s+1 = B4s. В противном случае, когда z = 2z2, (3) полагаем Z4s+1 = Z4s и B4s+1 = B4s.

c-Квазиминимальные степени перечислимости Если условие (1) не выполняется, то s(C) A4s = C B4s. В этом случае полагаем Z4s+1 = Z4s и B4s+1 = B4s {b4s}.

Шаг 4s + 2. Проверим выполнимость условия D(D Z4s+1 = s(C D) неоднозначно). (4) Если (4) выполнено, то полагаем Z4s+2 = Z4s+1 и B4s+2 = B4s+1 D, где D конечное множество с наименьшим каноническим индексом, удовлетворяющее условию (4). Если (4) не выполнено, то полагаем Z4s+2 = Z4s+1 и B4s+2 = B4s+1.

Шаг 4s + 3. Пусть s = k, l, проверим D(D Z4s+2 = k(C D) Pl). (5) Если (5) выполнено, то полагаем Z4s+3 = Z4s+2 и B4s+3 = B4s+2 D, где D конечное множество с наименьшим каноническим индексом, удовлетворяющее условию (5). Если (5) не выполнено, то полагаем Z4s+3 = Z4s+2 и B4s+3 = B4s+2.

В первом случае очевидно, что k(A) = Pl. Во втором случае имеем D(D Z4s+2 = k(C D) Pl).

Следовательно, k(C N) Pl, где N = \Z4s+2 является коконечным множе ством. Если k(A) = Pl, то k(A) k(C N) Pl и поэтому k(C N) = Pl, т. е. Pl e C N e C, что противоречит C-квазиминимальности множества Pl и, в частности, тому, что Pl e C.

Шаг 4s + 4. Пусть s = k, l, проверим k(Pl) C B4s+3. (6) Если условие (6) выполнено, полагаем Z4s+4 = Z4s+3 и B4s+4 = B4s+3 {b4s+3}.

Если (6) не выполнено, пусть x = min( k(Pl) \ (C B4s+3)). Если x = 2z, полагаем Z4s+4 = Z4s+3 и B4s+4 = B4s+3. Если x = 2z + 1, полагаем Z4s+4 = Z4s+3 {z} и B4s+4 = B4s+3.

Докажем, что шаги 4s + 1 и 4s + 2, s, обеспечивают C-квазиминимальность множества A. Ясно, что C e A. Предположим, что A e C, тогда существует s такое, что A = s(C). Рассмотрим шаг 4s + 1. Если на этом шаге было выполнено условие (2), то z s(C) и z1 Z. Так как Z B =, то z1 B, поэтому z = 2z1 + 1 A. Если было выполнено (3), то / / z s(C) и z2 C, тем самым z = 2z2 A. Следовательно, A = s(C), и / / поэтому условие (1) не могло быть выполнено на шаге 4s + 1. Это означает, что s(C) A4s = C B4s. В этом случае z = 2b4s+1 + 1 A, но z s(C), так как / max{y : 2y + 1 s(C)} b4s. Итак, e-сводимость A e C невозможна, так что C

Теперь пусть g : тотальная функция такая, что g e A, т. е.

g = s(A) для некоторого s. Ясно, что условие (4) не может быть выполнено. Легко проверить, что в этом случае s(C Z4s+1) является однозначным множеством. Так как A = C B C Z4s+1, то g = s(A) = s(C Z4s+1).

Учитывая тотальность функции g, получаем g = s(C Z4s+1). Поскольку Z4s+1 вычислимое множество, то g e C Z4s+1 e C, что и требовалось доказать.

Наконец, как уже отмечалось выше, шаги 4s + 3 и 4s + 4, s, обеспечивают A|Ps для всех s. Но построенное в ходе конструкции множество A не 218 Б. Я. Солон принадлежит нашей антицепи, что противоречит предположению о максимальности P. Следовательно, QC должно содержать несчетную антицепь.

Ясно, что любой ограниченный сверху сегмент в De содержит не более чем счетное множество e-степеней. Однако, как показывает следующая теорема, частично упорядоченное множество c-квазиминимальных e-степеней (для любой e-степени c), лежащих ниже тотальной e-степени a > c, имеет достаточно богатую структуру.

Теорема 6. Если c < a и a тотальная e-степень, то в Qc(< a) изоморфно вложимо любое не более чем счетное частично упорядоченное множество.

Доказательство. Пусть e-степени a и c удовлетворяют условию теоремы, т. е. c < a и a тотальная e-степень. Пусть C c и A a такое, что A e A.

Пусть C = (A) для некоторого e-оператора. Положим Cs = s(A).

Определим для любых z, k, l и любого вычислимого множества R функции s.fk,l(z, R, s) = max{y : y z y [z y < y [y A k, l, y s(Cs R)]]} l и s.Fk,l(z, R, s) = max{fk,l(z, R, s ) : s s}.

Очевидно, что s.fk,l(z, R, s) и s.Fk,l(z, R, s) являются тотальными функциями, вычислимыми относительно множества A, а так как A e A, то f e A и F e A. Поскольку функция s.Fk,l(z, R, s) монотонно неубывающая, существует (конечный или бесконечный) предел lims Fk,l(z, R, s) = Fk,l(z, R).

Докажем несколько лемм, из которых будет следовать теорема.

Лемма 6.1. Для любых k, l, z и любого вычислимого множества R будет Fk,l(z, R) <.

Доказательство леммы 6.1. Так как A e C, существует такое y0 z, для которого ¬[y0 A k, l, y0 l(C R)].

Можно подобрать s0 столь большим, что для всех s s0 будем иметь k, l, y0 s(Cs R) k, l, y0 l(C R), l но тогда fk,l(z, R, s) y0 + 1 для всех s s0 и, следовательно, Fk,l(z, R, s) max{Fk,l(z, R, s0), y0 + 1}, что и доказывает лемму.

Введем обозначения, которые будут использоваться в доказательстве теоремы. Для любых M и k положим Mk = {x : x M l, y[ k, l, y = x]}, Mk = {x : x M l, y[ k, l, y = x]}.

Лемма 6.2. Существует множество B e A такое, что C B является C-квазиминимальным и Bk e C Bk для всех k.

Доказательство леммы 6.2. Множество B построим с помощью конструкции, вычислимой в A. В ходе конструкции около чисел из будем ставить на каждом шаге конечное множество знаков +, при этом множество B будет состоять из чисел, получивших + на каком-либо шаге конструкции. Через B+ обозначим множество чисел, имеющих + на данном шаге конструкции.

c-Квазиминимальные степени перечислимости Конструкция организована таким образом, что |B+| <, B+ от шага к шагу возрастает по включению и lims B+ = B.

Для каждой пары чисел (k, l) в конструкции будут участвовать две подвижные k, l -метки: нижняя b(k, l) и верхняя h(k, l). Обе k, l -метки могут передвигаться только по своей траектории T k,l = { k, l, y : y }.

Числа, которым соотнесены нижняя и верхняя k, l -метки в данный момент конструкции, обозначим через k, l, b(k, l) и k, l, h(k, l) соответственно. Метки в ходе конструкции могут только подниматься по своей траектории T k,l, т. е. текущие значения b(k, l) и h(k, l) не убывают, причем b(k, l) h(k, l) на всех шагах конструкции. (Заметим, что метки и числа, которым они соотнесены на своих траекториях, обозначаются одинаково. Смысл этих обозначений всегда будет ясен из контекста.) Число k, l, y назовем свободным, если в данный момент конструкции k, l, y B+ для всех y y. Обозначим / T k,l = { k, l, y : k = k k, l < k, l } и T k,l = { k, l, y : k, l < k, l }.

Ясно, что T k,l T k,l для всех k, l. Перейдем к описанию конструкции для построения множества B. Пусть в начале конструкции B+ = и b(k, l) = h(k, l) = 0 для всех k, l.

Шаг 2s. Этот шаг разобьем на два этапа, на каждом из которых выполним последовательно подшаги t для t = 0, 1,..., s. Подшаги на первом этапе назовем p-подшагами, а на втором этапе n-подшагами. p-Подшаги при s = не выполняются.

p-Подшаг t. Пусть t = k, l, проверим выполнимость условия k k Fk,l b(k, l), B+ T k,l, s > Fk,l b(k, l), B+ T k,l, s - 1. (p.t) Если условие (p.t) выполнено, то для всех k, l таких, что k, l > k, l, устанавливаем обе k, l -метки у наименьшего из свободных чисел своих траекторий T k, лежащего не ниже h(k, l ); метку h(k, l) устанавливаем у числа,l k k, l, Fk,l(b(k, l), B+ T k,l, s). Если (p.t) не выполнено, то переходим к следующему шагу.

После завершения p-подшага s переходим ко второму этапу и выполняем последовательно n-подшаги t для t = 0, 1,..., s.

n-Подшаг t. Пусть t = k, l, последовательно выполним следующие действия.

(n.t.1) Для всех чисел y A таких, что b(k, l) y h(k, l) и k, l, y / B+, ставим знак + у числа k, l, y (будем говорить при этом, что число y поставило + у числа k, l, y ).

(n.t.2) Для всех y таких, что b(k, l) y h(k, l), проверим справедливость условия k k k, l, y s Cs (B+ T k,l ) \ s Cs B+.

l l Для тех y, которые удовлетворяют этому условию, находим наименьшее число k k, l, y, u Wls такое, что Du Cs B+ T k,l, ставим знак + у всех чисел из множества {x : 2x+1 Du}, не имевших этого знака (будем говорить при этом, что число y k, l -индуцирует знак + у соответствующих чисел). Далее, для всех k, l таких, что k, l > k, l, устанавливаем обе k, l -метки у наименьших свободных чисел своих траекторий T k, лежащих не ниже h(k, l ).

,l Шаг 2s + 1. Пусть s = k, l, проверим выполнимость условия s Cs B+ T k,s неоднозначно. (q.s) l 220 Б. Я. Солон Если (q.s) выполнено, то пусть конечное множество D имеет наименьший кано нический индекс среди D таких, что D Cs B+ T k,s и s(D) неоднозначl но. Поставим знак + у всех чисел из множества {x : 2x+1 D}, не имевших этого знака (при этом будем говорить, что происходит l-навешивание знака + на соответствующее число x). Далее, для всех k, l таких, что k, l < k, l, устанавливаем обе k, l -метки у наименьших свободных чисел из своих траекторий T k, лежащих не ниже h(k, l ).

,l Если условие (q.s) не выполнено, то переходим к следующему шагу. Описание конструкции закончено.

Пусть n = k, l. Докажем ряд утверждений, из которых будет следовать лемма 2.

1o. Каждая из k, l -меток сдвигается только конечное число раз.

2o. На траектории T k,l появится только конечное число знаков +.

3o. Происходит только конечное число k, l -индукций.

4o. Происходит не более конечного числа l-навешиваний знака +.

5o. Bk = l(C Bk).

6o. g = l(C B) g e C для любой тотальной функции g :.

Доказательства проведем индукцией, предполагая, что для всех n < n данные утверждения верны. Заметим, что для n = 0 все утверждения выполнены по определению. (Будем предполагать, что W0 =.) 1o. Пусть so n таково, что начиная с шага 2s0 при всех n < n не происходит сдвигов n -меток, n -индукций, n -навешиваний и на траекториях Tn не появляются новые знаки +. Пусть B0 множество чисел, имеющих + к началу шага 2s0, тогда для всех s s0 имеем k k B+ T k,l = B0 T k,l, (1.1) k k B+ T k,l = B0 T k,l. (1.2) При этом b(k, l) = b0(k, l), где k, l, b0(k, l) число, которому соотнесена нижняя метка b(k, l) на шаге s0. В этом случае на p-подшаге k, l любого шага 2s для s s0 будет k k Fk,l(b(k, l), B+ T k,l, t) = Fk,l b0(k, l), B0 T k,l, t при всех t и, следовательно, на шагах 2s, s s0, верхняя метка h(k, l) может k подниматься только при возрастании функции Fk,l(b0(k, l), B0 T k,l, s). В силу леммы 6.1 это может произойти только конечное число раз, после чего метка k h(k, l) навсегда остановится у числа k, l, h0(k, l), где h0(k, l) = Fk,l(b0(k, l), B T k,l ), что доказывает утверждение 1o.

2o. Пусть Y = {y : b0(k, l) y h0(k, l)}. Так как на шагах 2s, s s0, знак + может появиться на траектории T k,l только в ситуации, когда некоторое число y ставит + около числа, лежащего выше h(k, l), то из 1o следует 2o.

На шагах 2s + 1, s s0, в силу индуктивного предположения о том, что n навешиваний для всех n < n больше не происходит, и замечания, что T k,l T k,l, не появятся знаки + около чисел, лежащих выше h(k, l). Утверждение 2o доказано.

3o. Заметим, что если число y вызывает k, l -индукцию на некотором шаге 2s, после ее выполнения на всех шагах 2s, s > s, будем иметь k, l, y то k s Cs B+, поэтому число y уже не сможет вызвать k, l -индукцию. Так как l c-Квазиминимальные степени перечислимости на шагах 2s, s s0, k, l -индукцию могут вызвать только числа из множества Y, причем каждое из них не более одного раза, то утверждение 3o выполнено.

4o. Заметим, что l-навешивание знака + может произойти на данном шаге 2s + 1, где s = k, l, может не произойти на этом шаге, но произойти на каком-либо следующем или не произойти никогда. Ясно, что в последнем случае утверждение 4o выполнено.

Предположим, что l-навешивание знака + произошло на шаге 2s1 + 1, s1 s0, s1 = k1, l, около чисел из множества {x : 2x + 1 D}, где конечное множество D выбрано на шаге 2s1 + 1 при выполнении условия (q.s1). В результате на всех последующих шагах 2s + 1, s s1, будем иметь D B+.

В случае выполнения условия (q.s) для s = k, l при k k1 получаем, что s Cs (B+ T k,l неоднозначно, причем D Cs B+ Cs B+ T k,l.

l В этом случае l-навешивание происходит около чисел из множества {x : 2x+D}, где множество D, которое было выбрано на шаге 2s+1, имеет канонический индекс, не превосходящий канонического индекса множества D.

Итак, происходит только конечное число l-навешиваний знака + для всех l, и утверждение 4o доказано.

5o. Пусть 2s1, s1 s0, номер такого шага, что на нем и на всех последующих шагах не происходит сдвигов верхних меток h(k, l), k, l -индукций и l-навешиваний, и такой, что для всех y Y 1 k k k, l, y l C B0 T k,l k, l, y s Cs B0 T k,l. (5.1) l Пусть B1 множество чисел, получивших знак + к началу шага 2s1. Благодаря действию (n.t.1), которое выполняется на n-подшагах t шагов 2s, для всех y Y имеем k, l, y Bk y A. (5.2) Так как на шаге 2s1 не происходит k, l -индукций и l-навешиваний, то, учитывая (1.1), для всех y Y имеем 1 1 1 k k.

k, l, y s Cs B0 T k,l k, l, y s Cs Bl l k 1 Но Cs B1 C Bk, поэтому для всех y Y получаем 1 k k. (5.3) k, l, y s Cs B0 T k,l k, l, y l C Bl k С другой стороны, из Bk B0 T k,l вытекает, что для всех y Y k k, l, y l(C Bk) k, l, y l C B0 T k,l, откуда, учитывая (5.1), выводим, что для всех y Y 1 k k, l, y l(C Bk) k, l, y s Cs B0 T k,l, l что вместе с (5.3) доказывает справедливость эквивалентности 1 k k, l, y l(C Bk) k, l, y s Cs B0 T k,l (5.4) l для всех y Y.

Чтобы доказать 5o, покажем, что существует y Y такое, что ¬[ k, l, y Bk k, l, y l(C Bk)].

222 Б. Я. Солон Действительно, в противном случае, учитывая (5.2) и (5.4), получаем, что 1 k y y Y y A k, l, y s Cs B0 T k,l, l откуда следует, что k k Fk,l b0(k, l), B0 T k,l, s1 fk,l b0(k, l), B0 T k,l, s k h0(k, l) + 1 > Fk,l b0(k, l), B0 T k,l, что невозможно. Утверждение 5o доказано.

6o. Пусть g = l (C B). Докажем, что для всех s s0 = k0, l0, s = k, l0, k k s C B0 T k,l однозначно, lгде B0 множество чисел, имеющих знак + на шаге 2s0+1, и s0 такое же, как и при доказательстве п. 5o. Предположим, что это неверно, т. е. для некоторого s1 = k1, l s C (B0 T k,l0 неоднозначно.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.