WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
Сибирский математический журнал Январь февраль, 2003. Том 44, № 1 УДК 517.977 C–КВАЗИМИНИМАЛЬНЫЕ СТЕПЕНИ ПЕРЕЧИСЛИМОСТИ Б. Я. Солон Аннотация: Понятие C-квазиминимального множества, где C произвольное подмножество множества натуральных чисел, введено Сассо и является релятивизацией известного понятия квазиминимального множества, впервые построенного Ю. Т. Медведевым для доказательства существования нетотальных степеней перечислимости. В статье изучаются локальные свойства частично упорядоченного множества степеней перечислимости, содержащих C-квазиминимальные множества. В частности, доказано, что для любых степеней перечислимости c и a, если c < a и a тотальная e-степень, то в частично упорядоченное множество cквазиминимальных e-степеней, лежащих под a, изоморфно вложим любой не более чем счетный частичный порядок.

Ключевые слова: сводимость по перечислимости, степень перечислимости, квазиминимальная степень перечислимости Будем придерживаться терминологии и обозначений, принятых в монографии [1]. Напомним те из них, которые используются в данной статье: множество натуральных чисел; A, B, C (с индексами или без них) подмножества, Du конечное множество с каноническим индексом u, x, y канторовский номер упорядоченной пары (x, y), x, y, z канторовский номер упорядоченной тройки (x, y, z). Если z канторовский номер упорядоченной пары (x, y), то положим z 1 = x и z 2 = y. Пусть область определения, множество значений частичной арифметической функции, = { x, y : x y = (x)} график. Через Wn, n, будем обозначать вычислимо перечислимое (в.п.) множество с индексом n. Множество A называется однозначным, если A = для некоторой функции. Если A однозначное множество и A =, то будем использовать обозначение A(x) = (x). Для сокращения записи вместо x будем писать !(x). Тот факт, что A не является однозначным множеством, будем записывать символически [A = ]. Символы f и g будем использовать только для обозначения тотальных функций (f = g = ). Если A конечное множество, то через |A| будем обозначать число элементов A. Если A бесконечное множество, то будем писать |A| =. Через cA(x) будем обозначать характеристическую функцию множества A, т. е. cA(x) = 1, если x A, и cA(x) = 0, если x A.

/ Напомним, что A е-сводится к B посредством n, если x[x A u[ x, u Wn Du B]], Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ИНТАС РФФИ (гpант IR– 97–139).

© 2003 Солон Б. Я.

212 Б. Я. Солон и A e-сводится к B (A e B), если существует n, такое, что A e-сводится B посредством n. Через n будем обозначать оператор перечисления (или eоператор), определяемый в.п. множеством Wn, для которого n(B) = {x : u[ x, u Wn Du B]}.

Таким образом, A e B n[A = n(B)]. Будем писать A

Обозначим через de(A) = {B : B e A A e B} e-степень множества A.

Частично упорядоченное множество e-степеней образует верхнюю полурешетку De с наименьшим элементом 0 e-степенью, состоящей их всех в.п. множеств.

Пусть, как обычно, A B = {2x : x A} {2x + 1 : x B}. Хорошо известно, что de(A B) является точной верхней границей e-степеней de(A) и de(B). e-Степень называется тотальной, если она содержит график тотальной функции. Очевидно, что e-степень a тотальна тогда и только тогда, когда она содержит множество A такое, что A e A.

s Пусть Wn часть (конечная) в.п. множества Wn, полученная к концу s-го шага в равномерном перечислении всех в.п. множеств. Обозначим через s n s s e-оператор, определяемый Wn, т. е. s (B) = {x : u[ x, u Wn Du B]} для n любого B. Ясно, что для любого B и любого s множество s (B) конечно.

n В De скачок A должен быть таким множеством, которое отвечает на вопрос:

для любого данного n будет ли n n(A) или нет или для любых данных n, x будет ли x n(A) или нет Другими словами, e-скачок множества A в De это наименьшее (по e-сводимости) множество, к которому e-сводится характеристическая функция каждого множества, e-сводимого к A. Одно из определений e-скачка множества A приводится в [2]. Пусть KA = {x : x x(A)}. Тогда J(A) e-скачок множества A, если J(A) = cK KA KA.

A Обозначим e-скачок e-степени a = de(A) через a = (de(A)) = de(J(A)).

Первый серьезный вопрос о e-сводимости был решен Ю. Т. Медведевым [3]: существуют нетотальные e-степени. Он построил не вычислимо перечислимое множество A такое, что для любой тотальной функции f если f e A, то f вычислимая функция. Дж. Кейз [4] назвал множества, построенные Ю. Т. Медведевым, квазиминимальными, а их e-степени квазиминимальными e-степенями. Отметим, что существуют нетотальные e-степени, не являющиеся квазиминимальными.

Для этого дадим некоторое обобщение понятия квазиминимального множества. Множество A называется C-квазиминимальным, если C

Следующая теорема может быть получена с помощью релятивизации известного результата МакЭвоя [2], в котором 0 заменяется произвольной e-степенью c.

c-Квазиминимальные степени перечислимости Теорема 1. Пусть c произвольная e-степень. Тогда для любой тотальной e-степени b c существует c-квазиминимальная e-степень a такая, что a = b.

Следствие 1.1. Для любого C существует C-квазиминимальное множество A такое, что A

Доказательство. Возьмем в теореме 1 в качестве b e-степень c, тогда построенная c-квазиминимальная e-степень a будет удовлетворять равенству a = b = c, поэтому a < c.

Следствие 1.2. Для любого C и любой тотальной e-степени de(B) = b (de(C)), где B e cB, существует счетная возрастающая последовательность C-квазиминимальных множеств A0

Доказательство. Пусть A0 C-квазиминимальное множество, существование которого утверждается в теореме 1, т. е. A0 e B и J(A0) e B. Возьмем теперь в качестве C множество A0 для b = de(J(A0)) = a. В результате получим A0-квазиминимальное множество A1 такое, что J(A1) e B. Так как AC-квазиминимальное множество, то A1 также C-квазиминимальное множество и C

Следствие 1.3. Для любого C существует счетная возрастающая последовательность C-квазиминимальных множеств A0

таких, что C

Доказательство. Возьмем в следствии 1.2 B e J(C). Тогда построенная счетная возрастающая последовательность C-квазиминимальных множеств C

C

Итак, для любой e-степени c интервал (c, c )e De содержит строго возрастающую последовательность c-квазиминимальных e-степеней a0 < a1 < · · · < an <.... Если говорить о De в целом, то такие линейно упорядоченные множества могут быть несчетными. Более точно, имеет место следующая Теорема 2. Для любого C существует несчетная линейно упорядоченная совокупность C-квазиминимальных множеств.

Докажем сначала утверждение, которое будем использовать в дальнейшем.

Лемма 3. Пусть M0 e M1 e · · · e Ms e... счетная последовательность C-квазиминимальных множеств, тогда существует такое C-квазиминимальное множество A, что Ms

Доказательство. Чтобы получить множество A, построим по шагам последовательность множеств {As}s, в которой As As+1 для всех s.

Пусть D и F переменные для конечных множеств и Ms = { s, x : x Ms}, Ns = { n, x : n > s n, x } для всех s.

Шаг 0. Полагаем A0 = M0.

214 Б. Я. Солон Шаг s+1. Предположим, что As построено на шаге s. Проверим выполнимость условия D (D Ns s(As D) неоднозначно). (1) Если (1) выполнено, то полагаем As+1 = As Ms+1 D, где D конечное множество с наименьшим каноническим индексом, удовлетворяющее (1). Если (1) не выполнено, то имеет место D(D Ns s(As D) однозначно). (2) Полагаем As+1 = Ms+1.

As Пусть A = As. Докажем ряд утверждений, из которых будет следовать, s что множество A обладает требуемыми свойствами.

1o. As C-квазиминимальное множество для всех s.

В самом деле, As = Mi F, где F некоторое конечное множество.

is Так как Mi e Mi и Mi e Ms для всех i s, то As e Ms и As является C-квазиминимальным вместе с Ms для всех s.

2o. Ms

Возьмем произвольный пересчет множества A и выделим из него все эле менты вида s, x. Множество Ms = {x : s, x A} отличается от Ms не более чем на конечное множество, которое добавлено к Ai на шагах i, где i s в случае, когда условие (1) выполнено. Поэтому Ms e Ms e A. Предположим, что As e Ms для некоторого s. Тогда, например, Ms+1 e A e Ms, что противоречит нашему выбору последовательности {Ms}s.

3o. A C-квазиминимальное множество.

Пусть f e A для некоторой тотальной функции f, т. е. f = s(A) для некоторого s. Рассмотрим шаг s + 1 и покажем, что на этом шаге не выполняется условие (1). Допустим, что (1) выполнено. Тогда s(As D) неод нозначно для некоторого конечного множества D Ns и D, которое выбрано в этом случае, будет подмножеством A. Следовательно, s(A) также неоднозначное множество, что противоречит первоначальному предположению. Те перь проверим, что s(As Ns) однозначное множество. Пусть это неверно.

Тогда s(D) не является однозначным для некоторого конечного D As Ns и условие (1) должно быть удовлетворено, что невозможно по нашему пред положению. Следовательно, s(As Ns) однозначное множество. Имеем f = s(A) s(As Ns), и f : тотальная функция. Поэтому f = s(As Ns) и f e As Ns e As. Используя 1o, получаем, что f e C и тем самым A C-квазиминимальное множество, что и требовалось доказать.

Доказательство теоремы 2. Рассмотрим всевозможные семейства Cквазиминимальных множеств, линейно упорядоченных отношением e. Эти семейства частично упорядочены отношением теоретико-множественного включения. По лемме Цорна существует максимальное линейно упорядоченное семейство Q C-квазиминимальных множеств. Предположим, что оно счетно, тогда Q = {Qs}s. Используя линейную упорядоченность Q, построим такую последовательность множеств {Ms Q : s }, что M0 e M1 e · · · e Ms e... и для любого Qi существует такое Mj, что Qi

c-Квазиминимальные степени перечислимости Оказывается, для любого C класс QC содержит не только несчетные цепи, но и несчетные антицепи. Сначала докажем, что любой интервал (c, c )e De содержит последовательность попарно несравнимых c-квазиминимальных e-степеней. Будем называть такую последовательность антицепью.

Теорема 4. Для любой e-степени c и любой тотальной e-степени b c существует счетная антицепь c-квазиминимальных e-степеней a0, a1,..., an,...

таких, что ai|aj для всех i = j и a = b для всех n.

n Доказательство. Пусть C c и B b такое, что B e cB. Будем пользоваться обозначениями из теоремы 1. Построим по шагам счетное множество последовательностей конечных множеств F00, F01,..., F0j,..., F10, F11,..., F1j,...,..., Fi0, Fi1,..., Fij,...,...

таких, что Fi0 p Fi1 p · · · p Fij p... для всех i. Положим Ai = C Fij и ai = de(Ai) и докажем, что последовательность {ai}i обладает j требуемыми свойствами. Пусть zi,m = 1 + max Fi,m, если Fi,m =, и zi,m = 0, если Fi,m =.

Шаг 0. Полагаем Fi0 = для всех i.

Шаг 5s + 1. Пусть s = i, k. Проверим выполнимость условия 2zi,5s + 1 k(C). (1) Если (1) выполнено, то полагаем Fi,5s+1 = Fi,5s {zi,5s +1}, и если (1) не выполнено, то полагаем Fi,5s+1 = Fi,5s{zi,5s}. Для всех j = i положим Fj,5s+1 = Fj,5s.

Шаг 5s + 2. Пусть s = i, j, k, i = j. Проверим (Fj,5s+1 p 2zi,5s+1 k(C )), (2) где для конечных множеств F и F p F = (F max F < min( \ F )).

Если (2) выполнено, то полагаем Fi,5s+2 = Fi,5s+1 {zi,5s+1 + 1} и Fj,5s+2 =, где имеет наименьший канонический индекс среди, удовлетворяющих (2).

Если (2) не выполнено, то полагаем Fi,5s+2 = Fi,5s+1 {zi,5s+1} и Fj,5s+2 = Fj,5s+1. Для всех l \ {i, j} полагаем Fl,5s+2 = Fl,5s+1. Если i = j, то полагаем Fi,5s+2 = Fi,5s+1 для всех i.

Шаг 5s + 3. Пусть s = i, k, проверим (Fi,5s+2 p k(C ) неоднозначно). (3) Если (3) выполнено, то полагаем Fi,5s+3 =, где имеет наименьший канонический индекс среди, удовлетворяющих (3). Если (3) не выполнено, то полагаем Fi,5s+3 = Fi,5s+2. Полагаем также Fj,5s+3 = Fj,5s+2 для всех j = i.

Шаг 5s + 4. Пусть s = i, k, проверим (Fi,5s+3 p k k(C )). (4) Если (4) выполнено, то полагаем Fi,5s+43 =, где имеет наименьший канонический индекс среди = Fi,5s+3, удовлетворяющих (4). Если (4) не выпол нено, то полагаем Fi,5s+4 = Fi,5s+3. Полагаем также Fj,5s+4 = Fj,5s+3 для всех j = i.

216 Б. Я. Солон Шаг 5s + 5. Пусть s = i, k, полагаем Fi,5s+5 = Fi,5s+4 {zi,5s+4}, если k B, и Fi,5s+5 = Fi,5s+4 {zi,5s+4 + 1}, если k B. Полагаем также Fj,5s+5 = / Fj,5s+4 для всех j = i.

Описание конструкции закончено. Завершим доказательство теоремы. Шаги 5s + 1, s, где s = i, k, обеспечивают Ai = k(C), т. е. Ai e C для всех i. Шаги 5s + 2, s, где s = i, j, k, обеспечивают Ai = k(Aj), т. е.

Ai|Aj для всех i = j. Шаги 5s + 3, s, делают множества Ai, i, C квазиминимальными. Шаги 5s + 4 и 5s + 5, s, гарантируют J(Ai) e B для всех i.

Следствие 4.1. Для любого C существует счетная антицепь C-квазиминимальных множеств {Ai}i таких, что C

Доказательствo. В теореме 4 возьмем B = J(C). Тогда построенная счетная антицепь C-квазиминимальных множеств обладает требуемым свойством: Ai

Итак, для любой e-степени c интервал (c, c )e De содержит счетную антицепь c-квазиминимальных e-степеней {an}n таких, что ai|aj для всех i = j.

Докажем, что в De существуют несчетные антицепи c-квазиминимальных eстепеней для любой c De. Более точно, имеет место следующая Теорема 5. Для любого множества C существует несчетная антицепь Cквазиминимальных множеств.

Доказательство. Рассмотрим семейства попарно несравнимых множеств из QC. Эти семейства частично упорядочены отношением. По лемме Цорна существует такое максимальное семейство, обозначим его через P. Предположим, что P счетное множество, тогда P = {Ps}s. Построим множество A так, чтобы de(A) QC и A|Ps для всех s.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.