WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Сибирский математический журнал Январь февраль, 2003. Том 44, № 1 УДК 512.54 АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА КВАЗИИЗОМЕТРИЧНОСТИ НЕКОТОРЫХ HNN–РАСШИРЕНИЙ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП О. С. Маслакова Аннотация: Приводится алгоритм проверки квазиизометричности некоторых HNNрасширений свободных абелевых групп.

Ключевые слова: квазиизометрия, абсолютная жорданова форма, группа единиц 1. Введение Пусть (X, dX) и (Y, dY ) метрические пространства. Отображение f :

X Y называется квазиизометрией, если существуют константы K, C1, C2 такие, что 1 1) dX(x1, x2) - C2 dY (f(x1), f(x2)) C1dX(x1, x2) + C2 для всех C1 x1, x2 X;

2) K-окрестность f(X) совпадает с Y.

Пространства X и Y называются квазиизометричными, если существует квазиизометрия f : X Y. Пусть G, H конечно порожденные группы, dG, dH словарные метрики на G, H. Группы G и H называются квазиизометричными, если метрические пространства (G, dG) и (H, dH) квазиизометричны.

Это определение корректно, поскольку для конечно порожденной группы словарная метрика единственна с точностью до квазиизометрии.

Пусть M Mn(Z), det M = 0. Через M обозначим HNN-расширение группы Zn, заданное мономорфизмом M с матрицей M. Тогда M = t, a1,..., an | [ai, aj] = 1, tait-1 = M (ai), i, j = 1,..., n, 1 n где M (ai) = am... am, (m1,..., mn) i-й столбец матрицы M. В [1] Б. Фарб 1 n и Л. Мошер привели следующий критерий квазиизометричности групп вида M.

Теорема [1]. Пусть M1, M2 Mn(Z), det M1, det M2 = 0, ±1.

Тогда M квазиизометрична M в том и только том случае, когда найдутся 1 2 r1 r2 натуральные r1, r2 такие, что M1 и M2 имеют одинаковые абсолютные жордановы формы.

Абсолютная жорданова форма матрицы M получается из жордановой формы заменой диагональных элементов их модулями. Условие det M = ±1 эквивалентно полицикличности группы M (доказательство можно найти в [2]), и Работа выполнена при финансовой поддержке СО РАН (грант Лаврентьевского конкурса молодых ученых 2002 г.) и гранта № 7 проектов-победителей 6-го конкурса-экспертизы 1999 г.

научных проектов молодых ученых РАН.

© 2003 Маслакова О. С.

200 О. С. Маслакова на данный момент критерий квазиизометричности таких групп M неизвестен.

Основным результатом данной работы является следующая Теорема. Пусть A, B Mn(Z). Тогда можно алгоритмически проверить, существуют ли натуральные k, m такие, что абсолютные жордановы формы матриц Ak и Bm совпадают.

Следствие. Существует алгоритм проверки квазиизометричности групп M и M при det M1, det M2 = 0, ±1.

1 2. Разделение корней многочлена В дальнейшем Nul(f) будет обозначать множество корней многочлена f(t).

Несложно получить оценки корней многочлена в следующем виде.

Предложение 2.1. Пусть 1, 2 различные корни многочлена f(t) = antn + · · · + a1t + a0 R[t]. Тогда 1 |d(f)| |1| A, |1 - 2| 2A, n 2A где d(f) дискриминант многочлена f, A = max |ai| + 1.

|an| 0in-Поскольку дискриминант многочлена вычисляется через его коэффициенты, приведенные оценки находятся алгоритмически.

Предложение 2.2. Для произвольного многочлена f(t) Q[t] алгоритмически вычисляются n 1) многочлены fi(t) Q[t], i = 1,..., n, такие, что f(t) = fi(t)i и корнями i=многочлена fi(t) являются все корни многочлена f(t) кратности i; в частности, n многочлен fi(t) Q[t] не имеет кратных корней;

i=2) взаимно простые неприводимые многочлены Fj(t) Q[t], j = 1,..., m, m j такие, что f(t) = Fj(t)s.

j=Следующее предложение позволяет перейти от корней многочлена к их модулям.

Предложение 2.3. Для произвольного многочлена f(t) Q[t] можно алгоритмически построить многочлен g(t) Q[t] без кратных корней такой, что Nul(g) {|t|2 : t Nul(f)}.

С помощью теоремы Штурма можно алгоритмически разделить вещественные корни многочлена без кратных корней с вещественными коэффициентами.

Кронекер разработал теорию, позволяющую указать набор кругов на комплексной плоскости, каждый из которых содержит единственный корень комплексного многочлена без кратных корней [3]. Следующее предложение вытекает из комбинации этих алгоритмов с использованием предложения 2.3.

Предложение 2.4. Пусть f(t) произвольный многочлен из Q[t], и пусть 1,..., n его корни. Тогда по коэффициентам многочлена f(t) можно алгоритмически указать центры z1,..., zn и радиусы r1,..., rn замкнутых кругов K1,..., Kn на комплексной плоскости таких, что для всех i, j 1) i Ki;

Алгоритмическая проверка квазиизометричности 2) если i = j, то Ki Kj = ;

3) если i = j, то Ki = Kj;

4) если |i|2 = |j|2, то интервалы [(|zi| - ri)2, (|zi| + ri)2], [(|zj| - rj)2, (|zj| + rj)2] не пересекаются.

Доказательство. По теореме Штурма локализуем вещественные неотрицательные корни многочлена g(t) из предложения 2.3 в попарно не пересекающихся интервалах I1,..., Im. По предложению 2.2, 1) построим многочлен f1(t) без кратных корней с Nul(f1) = Nul(f) = {1,..., s}. Для многочлена f1(t) методом Кронекера построим круги K1,..., Ks, удовлетворяющие условиям 1, 2, такие, что для каждого Ki существует Ik [(|zi| - ri)2, (|zi| + ri)2]. Тогда для кругов K1,..., Ks выполнено условие 4. Осталось взять для корня i = j, j s, многочлена f(t) круг Ki = Kj.

Замечание 2.5. Для данного круга Ki в силу условия 4 и предложения 2.2 можно определить число элементов в множестве {i : |i| = |i |, i = 1,..., n}.

Будем говорить, что корень многочлена f(t) задается кругом K, если Nul(f) K = {}.

3. Сведения о группе единиц Формулировки и определения из данного раздела можно найти в книге [4].

Пусть F поле алгебраических чисел. Оно может быть получено присоединением к Q примитивного элемента, являющегося корнем неприводимого многочлена h(t) Q[t] со старшим коэффициентом, равным 1. Пусть a число вещественных, 2b число комплексных невещественных корней многочлена h(t), m = deg(h) = a + 2b. Пусть oF множество алгебраических целых поля F = Q(), кольцо oF является свободным Z-модулем ранга m.

Замечание 3.1. Пусть A Mn(Z). Тогда для любого Sp(A) числа и ||2 являются алгебраическими целыми.

Число F назовем вычислимым алгоритмически, если существует алгоритм нахождения рациональных коэффициентов в разложении по степеням. В книге [5] приведен алгоритм нахождения Z-базиса модуля алгебраических целых.

Пусть {1,..., m} Q-базис F. Тогда для любого F линейный оператор A : x x задает матрицу M Mm(Q) в этом базисе. Обозначим через N() = det M Q норму.

Замечание 3.2. Если базис {1,..., m} и число вычислимы алгоритмически, то матрица M и норма вычисляются алгоритмически.

Группа единиц U(oF ) состоит из всех обратимых по умножению элементов oF. Число oF попадает в группу единиц тогда и только тогда, когда |N()| = 1. Подгруппа T U(oF ) U(oF ) единиц кручения состоит из всех корней из 1, попадающих в oF. Следующая теорема описывает строение группы единиц.

Теорема 3.3 (Дирихле). Группа единиц модуля oF поля F является прямым произведением своей (циклической) подгруппы T U(oF ) порядка w и r = a+ 202 О. С. Маслакова b - 1 бесконечных циклических подгрупп, порожденных основными единицами 1,..., r oF :

U(oF ) = T U(oF ) 1 · · · r Cw Zr.

= Метод алгоритмического вычисления основных единиц и группы T U(oF ) приведен, например, в работе [6].

Предложение 3.4. Пусть U(oF ), 0 порождающий группы T U(oF ), 1,..., r основные единицы кольца oF. Предположим, что, 0, 1,..., r заданы алгоритмически. Тогда можно алгоритмически вычислить целые числа r k0,..., kr такие, что = k... k.

0 r Доказательство. Оценим k0,..., kr. Можно считать, что k0 |T U(oF )|.

Пусть 1,..., a вещественные изоморфизмы поля F. Из каждой пары сопряженных между собой комплексных изоморфизмов выберем какой-нибудь один и обозначим полученные изоморфизмы через a+1,..., a+b. Обозначим через l(x) = (ln |1(x)|,..., ln |a(x)|, 2 ln |a+1(x)|,..., 2 ln |a+b(x)|) логарифмическое изображение x F. Известно, что векторы l(1),..., l(r) линейно независимы и l() = k1l(1) + · · · + krl(r). Тогда для всех 1 j r выполнено неравенство r |l()| |kj| |l(i)|, |G| i=где G матрица Грама системы l(1),..., l(r). В книге [7] приведена нижняя оценка для |G|, поэтому достаточно показать, как оценить |l()|, |l(1)|,..., |l(r)| сверху. Покажем, как это сделать для |l()|. Для |l(1)|,..., |l(r)| оценка получается аналогично. Поскольку вычислимо алгоритмически и известен минимальный многочлен для, можно построить многочлен f(t) Q[t] такой, что Nul(f) {i()|1 i a + b}.

Тогда по предложению 2.1 алгоритмически вычислима константа A такая, что |i()| A для всех i. Отсюда |l()| A a + b. В итоге для всех 1 j r можно найти константу C такую, что |kj| C. Осталось перебрать конечное r число произведений вида k... k для k0 |T U(oF )|, |kj| C и сравнить их с 0 r.

4. Доказательство основной теоремы Пусть Qf расширение Q с помощью корня неприводимого многочлена f.

Следующее предложение позволяет по оценке корней, многочленов f(t), g(t) построить минимальный многочлен для примитивного элемента расширения Q() = Q(, ).

Предложение 4.1. Пусть f(t), g(t) Q[t] неприводимые многочлены, и корни, заданные кругами K, K. Тогда можно алгоритмически вычислить неприводимый многочлен h(t) Z[t] со старшим коэффициентом такой, что для некоторого его корня выполнено Q(, ) = Q(). Также можно алгоритмически вычислить многочлены h(t), h(t) Q[t] такие, что = h(), = h().

Алгоритмическая проверка квазиизометричности Доказательство. По теореме о примитивном элементе [8] можно положить = + c для произвольного 1 - c X = : 1 = 2 Nul(f), 1 = 2 Nul(g).

/ 1 - В качестве c можно взять любое натуральное число, большее max |x|, используя xX оценки предложения 2.Положим d = deg(f) deg(g), и пусть v d-мерный вектор-столбец с координатами vi,j = ij, 0 i < deg(f), 0 j < deg(g).

Так как 1,,..., deg(f)-1 и 1,,..., deg(g)-1 Q-базисы расширений Qf и Qg, по коэффициентам многочленов f и g можно вычислить матрицу M Md(Q) такую, что ( + c)v = Mv. Значит, = + c корень характеристического многочлена M матрицы M с рациональными коэффициентами. Разлагая по предложению 2.2 многочлен M на неприводимые множители и оценивая корни, (а следовательно, и ) с необходимой точностью, можно найти неприводи мый многочлен h(t) Z[t], корнем которого является. Пусть k старший коэффициент h(t). Положим h(t) = kn-1h(t/k) и = k.

Многочлены g(t) и f( - ct) имеют единственный общий корень, поэтому t - = НОД(g(t), f( - ct)). С другой стороны, g(t), f( - ct) Q()[t], и по алгоритму Евклида коэффициенты НОД(g(t), f( - ct)) можно выразить через коэффициенты g(t) и f(-ct). Так мы получим выражение в виде многочлена от с коэффициентами из Q, по которому можно построить многочлен h.

Положим h(t) = t/k - ch(t).

Предложение 4.2. Пусть A Mn(Z), характеристический корень матрицы A, заданный кругом K. Тогда ранг матрицы (A - E)j вычисляется алгоритмически (с помощью метода окаймления миноров) для любого натурального j.

Лемма 4.3. Пусть f(t), g(t) Q[t], Nul(f), Nul(g) заданы кругами K, K, числа, > 0 алгебраические целые. Тогда можно алгоритмически проверить, существуют ли такие натуральные k, m, что k = m, и найти такие k, m, если они существуют.

Доказательство. Рассмотрим расширение Q(, ) = Q() (предложение 4.1). По замечанию 3.2 можно вычислить нормы, в расширении Q().

Необходимым условием равенства k и m является N()k = N()m. Поскольку N(), N() Q, то можно выяснить, существуют ли натуральные p, q такие, что N()p = N()q. Предположим, что существуют. Возьмем некоторые из них. Тогда N(p) = N(q). Заметим, что вместо, можно рассматривать p, q и в дальнейшем считать, что N() = N(). Рассмотрим возможные случаи.

1. |N()| = |N()| = 1. Если k = m для некоторых k и m, то k = m.

Отсюда =, так как по условию, > 0.

2. |N()| = |N()| = 1. В этом случае, являются единицами модуля oF r и могут быть представлены как произведение основных единиц: = i... i, 0 r r = j... j с целыми показателями. Эти показатели можно вычислить ал0 r горитмически по предложению 3.4. Используя теорему 3.3, можно найти натуральные k, m (если они существуют) такие, что k = m.

Пусть имеется s пар i, i и для всех 1 i s найдены показатели ki, ki mi mi такие, что i = i. Следующее предложение позволяет находить общие 204 О. С. Маслакова k m показатели k, m такие, что для всех 1 i s выполнено i = i, если они существуют.

Предложение 4.4. Пусть i, i (1 i s) вещественные положиki mi тельные числа, не равные 1. Предположим, что i = i для некоторых натуральных ki, mi таких, что НОД(ki, mi) = 1, i = 1,..., s. Тогда существуm ют натуральные k, m такие, что k = i в том и только в том случае, если i k1 = · · · = ks и m1 = · · · = ms.

Теорема 4.5. Пусть A, B Mn(Z). Тогда можно алгоритмически проверить, существуют ли натуральные k, m такие, что абсолютные жордановы формы матриц Ak и Bm совпадают.

Доказательство. Пусть Sp(A) = {1,..., n}, Sp(B) = {1,..., n} с учетом кратности и i = |i|2, i = |i|2. Пусть K1,..., Kn и L1,..., Ln круги, удовлетворяющие условиям предложения 2.4 для характеристических многочленов матриц A, B соответственно.

Если искомые k, m существуют и матрицы имеют нулевые собственные значения, то (увеличив k, m в несколько раз) можно считать, что все жордановы клетки с нулем на диагонали порядка один. Поэтому в дальнейшем предполагаем, что 0 Sp(A) Sp(B). Так как при возведении в степень таких матриц / структура жордановых клеток не меняется, необходимые и достаточные условия существования степеней k, m таковы:

(а) модули собственных значений в некоторой степени совпадают: существуют подстановка Sn и числа k, m Z>0 такие, что для любого i |i|k = |(i)|m;

(б) совпадает структура клеток в абсолютной жордановой форме: для k, m, найденных в предыдущем пункте, при всех i0, j должно выполняться равенство sj (i) = sj ((i)), A B i:i i:i=(i0) =i где sj () число жордановых клеток порядка j с числом на диагонали в C жордановой форме матрицы C.

Сложность проверки условия (а) заключается в том, что собственные числа матриц неизвестны. По предложению 2.3 можно построить многочлены f(t), g(t) такие, что f(i) = g(i) = 0 для всех i.

Фиксируем Sn. Так как по замечанию 3.1 числа i, j алгебраические целые, то для каждой пары i, (i) можно применять лемму 4.3 для отыска mi i ния чисел ki, mi Z>0 таких, что ik = (i). Чтобы условие (а) выпол нялось при данном, по предложению 4.4 необходимо и достаточно, чтобы k1 = · · · = kn и m1 = · · · = mn. Таким образом, проверка условия (а) может быть выполнена алгоритмически и в случае успеха позволит определить k и m.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.