WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

Как видно, несмотря на то, что используется стандартная интервальная алгебра (дающая, сама по себе, наиболее широкие интервалы результатов операций), характерная неопределенность решения методом линеаризации меньше неопределенности, вычисленной по минимаксному критерию (но имеет качественно близкую динамику, включая эффект минимума погрешности в окрестности t = 5 с). Меньшая точность расчетов по сравнению с [11] проявляется в симметричности интервалов относительно среднего решения, однако это является свойством использованной интервальной алгебры, а не метода линеаризации.

А. p2(t) методом линеаризации Б. p2(t) из [11] Рис. 5. Сравнение методов при N = 3: вероятность очереди из двух грузовиков p2(t) На рис. 6 для случая N = 2 приведена погрешность решения, полученная методом линеаризации с использованием нескольких вариантов интервальной алгебры, гауссовских чисел, а также прямым расчетом 102 четких задач (аналогично [11], только без Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2052 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf интерполяции). На фоне количественного различия между методами (см. положение точки минимума), заметна малая чувствительность результатов к выбору алгебры нечетких чисел.

Рис. 6. Характерная неопределенность вероятности очереди из двух грузовиков p2(t) при N = 2, полученная с помощью разных методов:

• метод сведения к набору четких задач (оранжевая кривая), • метод нечеткой линеаризации на базе гауссовских чисел (зеленая кривая), • –//– стандартной интервальной алгебры (синяя кривая), • –//– интервальных алгебр, уточненных в предположении гауссовской и равномерной функций распределения вероятности (голубая и лиловая кривые) Для сравнения производительности указанных методов затраты машинного времени измерялись программными средствами, как разность показаний системных часов перед расчетом и по его окончании. Все представленные результаты относятся к персональному компьютеру Pentium III 500 МГц под управлением операционной системы Windows 2000. В связи с оптимизациями операционной системы (в частности, с параллельными операциями), один и тот же расчет как элемент серии занимает меньше времени, чем в отдельности.

При решении задачи обслуживания N = 3 грузовиков методом нечеткой линеаризации с гауссовскими числами затраты машинного времени (за 400 шагов явного метода РунгеКутты 4-го порядка) составляют 1.0 с. При использовании различных вариантов интервальной алгебры с представлением нечетких чисел в виде 1 и 4 интервалов эти затраты увеличиваются. В случае стандартной интервальной алгебры затраты составляют 1.5/2.5 с, а в случае ее модификаций (на базе предположений о равномерном и нормальном распределении вероятностей) — 1.8/2.9 с и 1.4/2.1 с, соответственно.

Для оценки аналогичных временных затрат при многократных расчетах четкой задачи предполагается, что каждый нечеткий параметр может быть принят равным одному из M = четких значений (это минимум, необходимый даже для приближенного анализа и даже при использовании сплайн-интерполяции, как это сделано в [11]). Соответственно, два нечетких параметра в силу их независимости дают M2 = 25 комбинаций четких значений, K параметров — MK. Для каждой такой комбинации нужно проводить свой расчет, не говоря уже о дополнительном n-кратном увеличении числа расчетов при аппроксимации функции принадлежности n интервалами. В [11] число n варьировалось от 4 до 8; здесь при оценках затрат оно равнялось 1 (при этом нечеткая задача заменяется на интервальную).

Поскольку в данной задаче число нечетких параметров K = 2, проводился 25-кратный расчет, который в указанном случае занял 3.7 с машинного времени, что в 2.5 раз больше, чем расчет методом линеаризации в стандартных интервальных числах (с n = 1), и в 3.7 раз больше, чем в гауссовских числах.

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2053 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf 4. Нечеткое решение алгебраической модели сердца Ниже коротко рассматривается алгебраическая система уравнений модели сердца (описанной в [14]) и представляются некоторые результаты ее решения в нечетких числах, а также анализ ее чувствительности к исходным данным (который также возможен с помощью метода нечеткой линеаризации). Более подробно эти результаты изложены в [15].

4.1. Параметры модели и ее четкое решение Рассмотренная в [14] модель сердца имеет 10 параметров (см. таблицу 2), из которых параметра (f и S) являются точно измеримыми временными характеристиками работы сердца, 3 безразмерных параметра (K/E,, ) описывают индивидуальные и ситуационные особенности эмпирических PV-диаграмм левого желудочка, а 5 параметров (E, R1, R2, Rv, P) характеризуют состояние сосудистых систем и правого желудочка.

Таблица 2. Значения входных параметров модели сердца в норме Параметр Значение Частота сердечных сокращений f 65 уд/мин Длительность систолы s 0.28 сек Относительная жесткость желудочка K/E 0.781 – Инотропный коэффициент 1 – Коэффициент объема сердца 1 – Жесткость артерий большого круга E 0.8 мм.рт.ст/мл Общее сопротивление большого круга R1 1.40 мм.рт.ст/(мл/с) Общее сопротивление малого круга R2 0.10 мм.рт.ст/(мл/с) «Сопротивление» правого желудочка Rv -0.143 мм.рт.ст/(мл/с) Давление «нежелудочковых насосов» P 0 мм.рт.ст.

В результате численного решения уравнений модели получались значения переменных, представленных в таблице 3. Формальными переменными решаемой системы были выбраны P1out, P2out и Pa, которые отличаются от остальных переменных тем, что при вычислениях правой части уравнения простых итераций используются их значения на предыдущей итерации. Начальное приближение для этих переменных задавалось равным 6, 3 и 82 мм.рт.ст., соответственно; это обеспечивает быструю сходимость (влияние на нечеткое решение средних значений параметров и начальных приближений рассмотрены в [15]).

Таблица 3. Результирующие переменные модели и их значения в норме Переменная Значение Систолический объем VS 74 мл Диастолический объем Vd 142 мл Ударный объем V 68 мл Системный кровоток Q 73 мл/сек Систолическое (верхнее) артериальное давление PS 119 мм.рт.ст Диастолическое (нижнее) артериальное давление Pa 82 мм.рт.ст Давление на входе в большой круг P1in 100 мм.рт.ст Давление на выходе из большого круга P1out 3 мм.рт.ст Давление на входе в малый круг P2in 13 мм.рт.ст Давление на выходе из малого круга P2out 6 мм.рт.ст (диастолическое давление в желудочке) 4.2. Результаты нечетких расчетов модели и ее чувствительность к параметрам В рассматриваемых ниже численных экспериментах использовались следующие количественные характеристики нечеткости (неопределенности) параметров модели сердца.

При расчетах с полным набором параметров их относительная погрешность бралась равной 15%, с основным набором (параметры K/E,, Rv, хуже всего известные) — 20%, с одним Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2054 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf нечетким параметром K/E — 30%, а с одним нечетким сопротивлением большого круга — 40% (физиологический диапазон изменения этого параметра довольно широк). Погрешность вводилась в модель в форме гауссовских чисел, которые обладают простой алгеброй и часто используются при представлении экспериментальных данных (в форме a±).

Рис. 7. Абсолютные погрешности результирующих давлений (мм.рт.ст.) Рис. 8. Относительные погрешности переменных модели На рис. 7 показана гистограмма абсолютных погрешностей () результирующих переменных, имеющих одинаковую размерность (давления) при различных наборах нечетких параметров. Более широкое множество переменных представлено на рис. 8 (они имеют разную размерность, поэтому по оси отложены относительные погрешности).

Метод нечеткой линеаризации для решения уравнений с нечеткими параметрами одновременно является инструментом анализа чувствительности этих уравнений к параметрам, хотя и с некоторыми оговорками (чувствительность значения переменной и чувствительность ее погрешности — разные вещи). Ниже этот факт иллюстрируется путем представления коэффициентов cij разложения результирующих переменных модели сердца (xi) по исходным данным (j): см. формулу (1). Наряду с самими коэффициентами (величинами размерности [переменная]/[параметр]) ниже используются следующие производные понятия, облегчающие сопоставление коэффициентов между собой. Вопервых, это «вклад» параметра в значение переменной sij = cijaj (где aj – среднее значение j);

данная величина имеет размерность переменной. Во-вторых, очень полезным понятием является безразмерный «приведенный вклад» параметра в значение переменной - qij = sij sik + xi0 : qij 1.

k j Наконец, «нормированный на максимум» вклад Qij больше других подходит для сравнения коэффициентов при одном параметре в разных переменных (для каждой переменной всегда существует один вклад, по модулю равный единице) и не содержит свободного члена Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2055 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf линейной комбинации (из-за больших значений которого приведенные вклады всех параметров в некоторые переменные могут оказаться очень малыми):

-Qij = sij max sik : Qij 1.

k На рис. 9–11 представлены коэффициенты и вклады параметров в результирующие переменные при расчетах с одним (рис. 9) и со всеми (рис. 10–11) нечеткими параметрами.

Жесткость артерий E вычислялась по известной из статистики кривой зависимости жесткости от возраста, поэтому на гистограммах вместо E фигурирует параметр “age”.

На основе представленных результатов можно сделать следующие выводы. Во-первых, величины относительных погрешностей результирующих переменных (см. рис. 8) в большинстве случаев меньше (иногда существенно) относительных погрешностей каждого из нечетких параметров. Особенно важно, что это касается основных результатов модели — артериальных давлений, ударного объема, кровотока: при расчетах с любыми наборами нечетких параметров (характеризующихся погрешностями в 15–40%) эти показатели имеют неопределенность всего 5–10%. И напротив, максимальной неопределенностью обладают наименее значимые в практическом плане результаты: так, относительная погрешность систолического и диастолического объемов (разность которых дает упомянутый выше ударный объем) в некоторых случаях почти достигает 40%, а абсолютная погрешность «низких давлений» (которые также очень сложно измерить на практике) даже превышает погрешность артериальных давлений, имеющих значительно большие четкие значения.

Из рис. 10 видно, что симпатический инотропный эффект (увеличение ) оказывает отрицательное влияние только на низкие давления и диастолический объем (увеличивая остальные, более значимые переменные), а возраст (повышение жесткости артерий и желудочка) существенно увеличивает верхнее артериальное давление и уменьшает значения всех остальных переменных. Рис. 11 иллюстрирует тот факт, что нижнее артериальное давление уменьшается только с возрастом (с ростом остальных параметров увеличивается), а системный кровоток падает также при увеличении системного сопротивления R1 и параметра K/E. Наибольший (положительный) вклад в нижнее артериальное давление вносит R1, в верхнее артериальное давление — K/E, а в системный кровоток — частота сердечных сокращений f.

Рис. 9. Коэффициенты разложения результирующих переменных по параметрам (R1,, Rv) при расчетах с одним нечетким параметром Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2056 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf Рис. 10. Приведенные вклады некоторых параметров (,, age, f) в результирующие переменные при расчете со всеми нечеткими параметрами Рис. 11. Нормированные вклады параметров в основные результирующие переменные (Q, PS, Pa) при расчете со всеми нечеткими параметрами Все перечисленное полностью согласуется с известными эффектами, в то время как можно привести и неочевидные соотношения между параметрами и переменными.

Например, интересным результатом является относительно слабая зависимость основных переменных от неточно известного параметра Rv: коэффициенты при нем на порядок меньше коэффициентов при других основных параметрах, а из-за малого четкого значения Rv его вклад меньше других на два порядка (см. рис. 11). Стоит также отметить очень большой вклад частоты пульса в системный кровоток: в расчете со всеми нечеткими параметрами его вклад в 3.5 раза превышает вклад ближайшего «конкурента» по влиянию на кровоток — инотропного коэффициента.

Вычислительные эксперименты с нечеткой моделью сердца показали экономичность метода нечеткой линеаризации, которая проявляется в алгебраических задачах не в меньшей степени, чем в дифференциальных. Так, 10 (простых) итераций расчета в гауссовских числах с одним нечетким R1 требует 0.10 с, с основным набором нечетких параметров — 0.15 с, с полным набором — 0.14 с. В то же время, один четкий расчет занимает 0.072 с, а его 5, 125 и 107-кратные повторения, минимально необходимые (см. раздел 3.2) для расчета с указанными наборами параметров, требуют 0.19 с, 1.8 с и 9.5·104 с — соответственно, в 1.9, 12 и 7·105 раз большее время, чем в методе нечеткой линеаризации.

5. Резюме В работе предложен метод проведения алгебраических операций с зависимыми нечеткими числами на основе хранения линеаризованной истории операций. Метод Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2057 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf позволяет реализовывать расчеты с нечеткими числами без привязки к конкретным классам задач (алгебраических или дифференциальных) и к вычислительным алгоритмам, предназначенным для решения этих задач в вещественных числах. Кроме того, он позволяет анализировать результаты расчетов на предмет того, какие исходные данные внесли в них наибольший вклад, а также максимально экономичным образом проводить серию однотипных расчетов, в которых нечеткости исходных данных отличаются по величине и форме представления.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.