WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

j1 j2 j j Эти формулы получаются напрямую путем сложения (5а) и умножения (5б) чисел x1 и x2 в представлении (1). Хотя необходимость в таком прямом методе вызвана свойствами операции умножения, наряду с (5б) необходимо также использовать формулу для сложения (5а) вместо (3а,4а). Сложение (5а) требует даже меньше машинных операций, чем (3а), однако умножение в прямом методе является гораздо менее экономичным: число машинных операций становится пропорциональным K2. По этой причине для грубых оценок целесообразно производить умножение нечетких чисел не по старым, а по новым коэффициентам линейной комбинации, заменяя K2 умножений K сложениями:

2(x1x2 ) = (5б) c22.

j j j Преимуществом формул (5) по сравнению с (3–4) является отсутствие необходимости в аналитических выкладках (см. раздел 2.1), которые для некоторых типов нечетких чисел являются очень громоздкими, а для произвольных функций принадлежности без интервального представления вообще невозможны. Кроме того, в прямом варианте метода достаточно решить задачу один раз при каких-то одних значениях параметров, заданных в какой-либо одной форме (можно даже при четких значениях), после чего можно много раз Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2047 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf подставлять в найденные линейные комбинации не только другие значения нечеткости, но и нечеткие числа (с тем же средним), представленные в другой форме. Другими словами, каждый следующий расчет одной нечеткой задачи может проводиться без пересчета коэффициентов cj и даже без использования базовых вычислительных алгоритмов. Это существенно экономит машинное время в нечетких вычислительных экспериментах.

Предлагаемое правило изменения коэффициентов при вычислении произвольной элементарной функции над нечетким числом y = f (x) сводится к их умножению на скалярное значение производной этой функции cyj f (a)cxj. (6) Обосновать это приближенное правило можно исходя как из предположения о малости вклада каждого j в x, так и из линейной экстраполяционной формулы (разложения в ряд Тейлора до первого члена) для f(x) в целом. Для того чтобы сумма линейной комбинации вычисленного таким образом результата функции была равна скалярному значению результата, необходимо также положить y0 = f (a) - a. (6) cyj j j Если производная f (a) определяется численно, то формулы (6,6) можно рассматривать как интерполяцию значения функции нечеткого аргумента по близким (четким) соседним точкам на кривой f(a). Данный способ вычисления коэффициентов комбинации, не зависящий от функции f(x), позволяет определить и само нечеткое значение функции, используя только ее аналог для вещественных чисел f(a). Для этого достаточно восстановить нечеткость значения функции по найденной линейной комбинации, пользуясь стандартной формулой сложения независимых нечетких чисел (см. формулу 5а для гауссовских чисел).

Таким образом, прямой вариант метода нечеткой линеаризации является простой надстройкой над любой алгеброй независимых нечетких чисел (его реализация не требует изменения кода алгебраических операций), а также предъявляет очень малые требования к этой алгебре (в частности, не требует специальных алгоритмов вычисления нечетких функций).

2.3. Экономичность метода линеаризации Количество машинных операций, необходимых для одной операции над нечеткими числами, пропорционально числу элементов K во множестве {j}1{j}2, т. е. длине линеаризованной истории результата операции: KK1+K2. Коэффициент пропорциональности для случая гауссовских чисел меняется в пределах от 4 до 13 (в зависимости от операции). Это является преимуществом рассмотренного метода, однако следует учесть, что в случае мультипликативного вхождения зависимых нечетких чисел в итерационные формулы целесообразно использовать прямой метод расчета погрешности умножения (5б), количество операций в котором пропорционально K1K2 (имеет вид 5K+(68)K1K2). При этом сложение в прямом методе занимает всего 3K операций, а вычисление нечеткой функции методом линеаризации, — 3K операций плюс затраты на однократное вычисление соответствующей скалярной функции и ее производной.

Преимущество прямого метода с точки зрения экономичности проявляется тогда, когда необходимо провести серию однотипных расчетов с одним и тем же скалярным значением нечетких параметров. В этом случае достаточно один раз провести полный расчет с указанными выше затратами, а затем для каждого набора исходных нечетких данных (которые могут отличаться, в том числе, и способом формализации нечеткости) затратить по 1K четких умножений и 1K четких сложений на каждое результирующее значение (для гауссовских чисел; здесь K — длина линеаризованной истории). При этом в случае дифференциального уравнения число результирующих значений может быть существенно меньше числа шагов по времени, поскольку для наглядного представления решения достаточно использовать лишь часть моментов времени.

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2048 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf В задачах с большим количеством исходных нечетких данных длина линейной комбинации K достаточно велика (числа рано или поздно будут зависеть от всех исходных данных). Поэтому вторым приемом, использующимся вместе с линеаризацией для уменьшения ресурсоемкости метода в итерационных задачах, является оставление в линейной комбинации только тех членов, которые наиболее существенны с точки зрения расчета погрешности. Существенность вклада исходного числа в погрешность определяется некоторой величиной sj, которая для всех операций (см. формулы 3 и 5) пропорциональна модулю коэффициента сj при числе j. Сокращение линеаризованной истории возможно за счет удаления из нее членов с наименьшими значениями этих величин (таких, что их относительный вклад в погрешность не больше заданного).

3. Результаты решения нечетких дифференциальных уравнений Ниже с целью исследования свойств предложенного метода и с целью оценки его реальной производительности приводятся результаты расчетов с его помощью нескольких нечетких обыкновенных дифференциальных уравнений. Как элемент этих расчетов, с помощью метода также решались нечеткие алгебраические уравнения, однако сами по себе алгебраические уравнения будут рассмотрены в разделе 4.

3.1. Колебательные системы. Влияние четкого численного метода Рассмотрим колебательные уравнения 2-го порядка: нелинейное уравнение Релея dx dt = a y + b (x - x3); dy dt = -x и его линейный аналог – простой осциллятор dx dt = a y; dy dt = -x.

Соответствующие задачи Коши имеют три общих параметра: множитель a = 0.2±0.1 и начальные условия x0 = 2±0.5, y0 = 1±0.5. На рис. 1 показаны среднеквадратичные отклонения решений обоих уравнений, полученные при расчете на отрезке [0;80] с постоянным шагом 0.1 явным методом Рунге-Кутты 4-го порядка. На каждом графике приведены результаты пяти вариантов расчета, отличающихся набором нечетких параметров.

А. Линейный осциллятор Б. Уравнение Релея (b = aср) Рис. 1. Погрешность () x-компонент решений колебательных дифференциальных уравнений. Цветом обозначены учитываемые нечеткие параметры: красный – x0, синий – y0, лиловый – (x0, y0), голубой – a, черный – (a, x0, y0).

На рис. 2 для линейного осциллятора результаты расчета погрешности сравниваются с модулем разности четких решений, полученных при значениях параметров, которые отличаются от указанных выше значений на i (в обе стороны). Тот факт, что кривая погрешности нечеткого решения во всех случаях (с 1-м, 2-мя и 3-мя нечеткими параметрами) ограничена кривыми разностей четких решений (либо совпадает с ними), показывает, что Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2049 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf предлагаемый подход дает результат, близкий к стандартной методике учета нечеткости за счет многократного расчета четких задач.

Из рис. 1-2 видно, что в случае нелинейного осциллятора наблюдается затухание колебаний погрешности с малой частотой, обусловленной изменениями разности фаз между решениями четких задач с разными собственными числами (что обусловлено «диссипативными» свойствами операции умножения с q = 1/2). Высокочастотные колебания расчетной погрешности даже в сильно нелинейных задачах (с b > 1) совпадают с оценками погрешности по частоте и амплитуде, хотя форма колебаний может существенно отличаться.

Затраты машинного времени при использовании метода линеаризации оказались значительно меньше затрат на многократное решение четкой задачи (условия измерения и сравнения затрат см. в разделе 3.2). В частности, расчет уравнения Релея с одним нечетким a требует 0.71 с, с 2-мя нечеткими (x0,y0) — 0.81 с, с 3-мя нечеткими (a,x0,y0) — 1.01 с; в то время как один четкий расчет занимает 0.25 с, а его 5, 25 и 125-кратные повторения занимают, соответственно, 0.86 с, 3.8 с и 19 с, что в 1.21, 4.7, и 19 раз больше.

А. Нечеткое значение a Б. Нечеткие значения (x0,y0) В. Нечеткие значения (a,x0,y0) Рис. 2. Сравнение погрешности x-компоненты решения уравнения осциллятора (черная сплошная линия) с модулем разности решений, полученных при вариациях параметров А. Разность решений Б. Разность погрешностей В. Погрешности Рис. 3. Y-компонента решения линейного осциллятора, полученного с помощью разных методов: 3-го порядка (красная кривая), 2-го (синяя) и 1-го (голубая). В качестве вычитаемого в разностях взято решение методом 4-го порядка (черная кривая на рис. В). На рис. А кривые 1-го и 2-го порядка для сопоставимости с 3-м порядком умножены на 0.Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2050 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf А. Разность средних решений Б. Разность погрешностей решений Рис. 4. Разности y-компонент решений уравнения Релея (b = 0.1), полученных с помощью разных методов: 3-го порядка (красная кривая), 2-го (синяя) и 1-го (голубая). В качестве вычитаемого взято решение методом 4-го порядка.

Кривые 1-го и 2-го порядка для сопоставимости с 3-м порядком умножены на 0.Следует обратить внимание на то, что при использованном (относительно грубом) шаге по времени, равном 0.1, скалярное решение уравнения Релея (при b > 0.1) начинает расходиться к моменту времени около 50. Однако это не мешает корректно рассчитывать нечеткость решения, так как расходимость проявляется только в свободном члене линейной комбинации, но не в ее коэффициентах.

Выбор численного метода может существенно влиять на расчет погрешности решения даже в том случае, когда сочетания параметров задачи и шага интегрирования таково, что само решение (в четком смысле) слабо зависит от численного метода. Для иллюстрации этого факта уравнения линейного и нелинейного осциллятора решались (помимо рассмотренного выше явного метода типа Рунге-Кутты 4-го порядка) двумя неявными (точнее, полуявными) методами типа Рунге-Кутты: А-устойчивым методом Розенброка 3-го порядка и монотонным A-,L-устойчивым методом 2-го порядка. Для решения системы алгебраических уравнений на каждом временном шаге в линейном случае использовался прямой метод Гаусса, в нелинейном – метод Ньютона (с обращением матрицы Якоби тем же методом Гаусса). Сама матрица Якоби (матрица производных правой части системы уравнений) в разных вариантах вычислялась как по аналитической формуле, так и численно (простейшей аппроксимацией первого порядка точности), однако это практически не повлияло на результаты.

На рис. 3 и 4 показана разница между решениями колебательных уравнений явным методом 4-го порядка (см. выше) и неявными методами 3-го и 2-го порядка, а также явным методом Эйлера 1-го порядка. Оказалось, что неявные методы в применении к линейным уравнениям (см. рис. 3) существенно менее точно описывают динамику погрешности по сравнению с явными. Поскольку явный метод 1-го порядка дает качественно более близкий (к 4-му порядку) результат, можно сделать вывод, что порядок точности не так сильно влияет на нечеткие вычисления с линеаризацией, как явность метода. В нелинейном же случае (см. рис. 4) не обнаружено различий погрешности решений методами разного порядка, превышающих различие самих решений. Очевидно, более адекватное по сравнению с линейным случаем поведение погрешности связано с применяемым итерационным алгоритмом решения алгебраических уравнений. Также из рис. 4Б видно (особенно при 3-м порядке метода), что разность погрешностей имеет низкочастотные колебания, связанные с набеганием фазы.

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 2051 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/168.pdf 3.2. Сопоставление результатов в задаче теории массового обслуживания.

Экономичность метода. Влияние способа описания нечеткости Ниже метод линеаризации сравнивается, в том числе с точки зрения производительности, с методом многократного решения четких задач на примере нечеткой задачи из области теории массового обслуживания. Эта задача описана в [11,Ошибка! Источник ссылки не найден.], а метод (альтернативный) изложен в [11]. Кроме того, на этом примере результаты расчетов методом линеаризации в гауссовских числах сравниваются с несколькими вариантами интервальных чисел.

Данная задача возникает, например, при земляных работах с одним экскаватором и N грузовиками. После загрузки экскаватором за время 1/µ (µ – скорость обслуживания) грузовики отвозят и разгружают грунт, возвращаются и спустя время 1/ встают снова в очередь к экскаватору. Из-за непредсказуемых изменений параметров µ и, вероятности возникновения очереди из k грузовиков (обозначаемые ниже через pk(t), k = 0,1,..N) являются нечеткими. Эти вероятности определяются из следующей системы дифференциальных уравнений:

& p0(t) = -Np0 (t) + µp1, & pk (t) = (N - k +1)pk-1(t) - (µ + (N - k)) pk (t) + µpk+1(t), k = 1..N -1, & pN = pN -1(t) - µpN.

В приведенных ниже расчетах 1/µ принимается равным нечеткому числу с «треугольной» функцией принадлежности с основанием [2;6], а 1/ — [9;11]. В начальный момент времени состояние системы полностью определено: pN(0) = 1, а для k = 0,1,..N–1 pk(0) = 0.

На рис. 5 для случая N = 3 сопоставляются результаты решения данной задачи из [11] (на основе сплайн-интерполяции точек, полученных решением четких задач) и результаты метода нечеткой линеаризации, примененного к интервальным числам (которые соответствуют четырем -уровням разбиения исходного «треугольного» нечеткого числа).

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.