WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

Выше были рассмотрены свойства оптимальных обменов для промежутка времени от 03.01.01 по 22.04.03 в случае, если торгуются все 5 рассматриваемых валют. Естественным образом возникает вопрос: как изменится доходность, если торгуемыми являются не 5, а меньшее число валют В процессе исследования были решены оптимизационные задачи для всех возможных случаев, когда максимально возможное число торгуемых валют – пять; то есть для всех комбинаций из 2, 3 и 4-х валют. Для каждой задачи рассчитана доходность. Полученные результаты представлены в таблице ниже (знаком + отмечены те валюты, которые торгуются):

ДоходUSD EUR GBP CHF JPY USD EUR GBP CHF JPY Доходность ность + + + + + 395% - + + - + 161% + + + + - 256% - + - + + 136% + + + - + 302% - - + + + 189% + + - + + 312% + + - - - 139% + - + + + 328% + - + - - 74% - + + + + 242% + - - + - 150% + + + - - 193% + - - - + 58% + + - + - 193% - + + - - 78% + - + + - 210% - + - + - 33% + + - - + 228% - + - - + 74% + - + - + 148% - - + + - 88% + - - + + 246% - - + - + 49% - + + + - 120% - - - + + 87% Табл. 3. Доходность в зависимости от торгуемых валют Из таблицы видно, что максимальная доходность – 395% годовых – достигается в том случае, когда торгуются все пять валют. Самое малое уменьшение доходности – на 67% годовых – наблюдается в случае исключения из числа торгуемых валют EUR. Данный факт полностью согласуется с общей теорией оптимизационных задач: исключение одной или нескольких валют сужает множество допустимых решений задачи, и соответственно, значение оптимизационного критерия увеличиться никак не может. Наоборот, если ввести в число торгуемых дополнительные валюты, то область допустимых решений расширяется, и оптимальное значение критерия может быть увеличено за счёт того, что решение задачи может отказаться как раз таки в увеличении области допустимых решений.

Используя полученные результаты, валюты можно проранжировать в порядке убывания их влияния на доходность портфеля следующим образом: USD, JPY, CHF, GBP, EUR. Похожие соотношения – когда наиболее значимыми для оптимальных конверсионных операций являются доллар США и японская йена – были представлены в п. б) и е).

Если вести игру только на двух валютах, то валютные пары по убыванию их доходности располагаются следующим образом: (USD,CHF), (USD,EUR), (GBP,CHF), (CHF,JPY), (EUR,GBP), (USD,GBP), (EUR,JPY), (USD,JPY), (GBP,JPY), (EUR,CHF).

Валютная игра в этом случае упрощается, но при этом резко падает доходность проводимых конверсионных операций.

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/143.pdf и) зависимость двойственных переменных от времени:

t Во-первых, зависимости оптимальных значений двойственных переменных p от i времени t является монотонно-убывающими функциями (см. рис. 1). Это свойство следует непосредственно из (1.9). Но эти функции - не строго убывающие, поскольку, не смотря на всю редкость ситуации, что подчеркивалось в п. ж), есть такие отрезки времени, когда валюты неподвижны, и, соответственно, двойственная переменная на предыдущем шаге равна двойственной переменной на последующем шаге.

Второе, и самое главное, свойство заключается в экспоненциальном характере их зависимости от времени., или, что тоже самое, прямолинейным характером зависимости t T от времени t, что и отражается на рис.1. Это свойство выполняется lg p p = g ( t ) ( ) i i i для всех рассматриваемых валют.

Обнаруженное свойство: линейный характер зависимости логарифма отношения двойственной переменной на оптимальной траектории обменов к значению двойственной переменной в конце рассматриваемого периода времени для любой валюты - есть фундаментальное свойство оптимальных конверсий валют на международном рынке FOREX.

Данный факт тесно связан с первым свойством, сформулированным чуть выше.

Действительно, согласно решению (1.10) задачи (1.9), оптимальные значения двойственных переменных на данном шаге t зависят соответствующим образом от перемноженных значений обменных курсов на этом шаге t и на последующих шагах t+1,…,T. Если вернуться к решению двойственной задачи алгоритмом «обратного хода», то свойство монотонной убываемости зависимости оптимальных значений двойственных переменных по времени можно сформулировать следующим образом: при переходе от шага t+1 к шагу t оптимальное значение двойственной переменной может либо не измениться, либо увеличиться. Выше было показано, что валюты практически никогда не остаются неподвижными на протяжении значительного промежутка времени; этот факт является следствием того, что валютные g (t ) курсы подвержены частым колебаниям. То есть на графике практически нет i горизонтальных отрезков.

g (t ) Сама же линейность функции определяется характером изменений валютных i курсов. Международный валютный рынок FOREX устроен так, что зависимость t t T p от времени t для оптимальных значений двойственных переменных lg p p ( ) i i i почти линейна. Вообще говоря, если решать оптимизационную задачу, подобную (1.3), с t cii, i,i I, t = 1,...,T какой-то произвольной матрицей коэффициентов, то подобного результата могло бы и не получиться. Он не вытекает непосредственно ни из постановки, ни из решения задачи, а определяется именно величинами валютных куров.

Слово же «оптимальный» выделено курсивом и подчеркнуто потому, что данное свойство выполняется не для каких-то произвольных, а только для оптимальных конверсий.

Данное свойство является ключевым для исследований, и будет использовано в дальнейшем (§ 3).

к) зависимость доходности конверсионных операций от длины временного интервала:

Выше мы исследовали свойства оптимальных конверсий валюты на промежутке времени от 03.01.01 по 22.04.03. Доходность проведения валютообменных операций на данном промежутке времени составила 395% годовых. Влияние на доходность исключения из числа торгуемых одной или нескольких валют (или, наоборот, добавление) было описано в п. з). Теперь ответим на вопрос: как влияет на доходность проводимых операций длина выбираемого промежутка времени Будет ли она оставаться постоянной, будет ли увеличиваться, или уменьшаться Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/143.pdf Сформулируем задачу следующим образом. Закрепим правый конец рассматриваемого промежутка времени T=22.04.03, и будем двигать его левый конец в пределах t 03.01.01; 22.04.[], и смотреть, как изменится доходность r (t ).

Текущий шаг t будем считать первым шагом, когда производятся конверсионные операции. Для упрощения предположим, что в начальном портфеле находится только лишь V одна, базовая, валюта, и ее количество - (здесь и далее для данного исследования нижний индекс обозначения валюты опущен). Ранее было обнаружено свойство линейности t p логарифма отношения оптимальной двойственной переменной в данный момент времени pT t к двойственной переменной в конце периода. Данное утверждение формализуется следующим образом:

lg pt pT = At + B (2.1) ( ) Коэффициенты А и В для рассматриваемой задачи находятся как и для стандартной задачи линейной аппроксимации – методом наименьших квадратов, - с той лишь разницей, что для привязки значений двойственных переменных к моменту подсчета капитала финального портфеля, необходимо закрепить правый конец прямой. Поскольку у нас yn = lg pT pT = 0, xn = T, формулы для расчета А и В получаются следующие:

( ) t T в а лю т а i : l g p p = A t + B ;

( ) i i T - 1 T - tt t p - T pi i t = 1 t = A =, (2.2) T - 1 T - t - 2 T t + ( T - 1 )T t = 1 t = B = - A T.

Из (2.1) следует, что t T B A t A t p = p e e = C e (2.3), где C – постоянная, не зависящая от t.

То есть, зависимость самих оптимальных двойственных переменных от времени – экспоненциальна.

Доходность проведения валютообменных операций за период от t до T равна K (T ) - K (t ) 1 K (T ) (2.4), r (t ) == - 1 * * K (t ) T - t + 1 K (t ) (T - t + 1) где K(t) и K(T) – капитал портфеля на начальном и конечном шагах времени, а - нормировочный коэффициент, который необходим, поскольку расчёт капитала производится относительно календарных, а не торговый дней (его можно считать постоянным, так как приближенно на каждые пять торговых дней приходятся семь календарных). Поскольку по V условию в начальном портфеле присутствует только базовая валюта в количестве, то 0 t K (t) = V. Конечный капитал портфеля, согласно (1.2), равен K (T ) = p V. Подставим данные формулы с учетом зависимости двойственных переменных от времени (2.3) в формулу для расчета доходности (2.4); получим:

A t 11 - e A t r ( t ) = C e - 1 * (2.5) () ( T - t + 1 ) t Наша задача – понять зависимость доходности от длины промежутка времени, а не предлагать каких-то точных формул, поэтому будем пользоваться пропорциональными зависимостями. Рассчитаем производную d r d t :

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/143.pdf At At At dr - Ae t - e e ( At + 1) = (2.6) dt tt Из формулы (2.6) следует, что d r d t равна нулю в точке t - 1 A (напомним, что оптимальные двойственные переменные убывают по времени, поэтому А<0). То есть существует некая точка, от t до которой доходность портфеля падает, а затем, до T, растёт. Эта точка должна лежать ближе к Т, поскольку ближе к точке начала торговли становится более существенным влияние экспоненциальной зависимости оптимальных двойственных переменных от времени, а ближе к концу торговли – обратная пропорциональной доходности по времени: знаменатель дроби в (2.5) становится всё меньше, и поэтому доходность растёт.

§3. Алгоритм построения валютных обменов с помощью аппроксимации зависимости двойственных переменных оптимальной задачи от времени Используя (2.1) и (2.2), аппроксимируем линейной функцией зависимость lg pit piT от времени.

() Характер поведения оптимальных значений двойственных переменных для каждой валюты i определяется соответствующим значением коэффициента наклона прямой Ai, i I. Свободный член Bi, i I зависит от соответствующего A ; он также i определяется концом рассматриваемого периода T: если Т сдвигается, то B изменится i пропорционально, и коэффициентом пропорции будет. Таким образом, для A i аппроксимации оптимальных значений двойственных переменных для выбранной валюты i на заданном промежутке времени будет определяться только лишь значением A.

i Для рассматриваемого нами случая получаются следующие параметры аппроксимирующих функций:

I Ai Bi USD (1) -0,00106 0,EUR (2) -0,00127 0,GBP (3) -0,00111 0,CHF (4) -0,00128 0,JPY (5) -0,00133 0,Табл. 4. Коэффициенты А и В для различных валют Что же дает знание аппроксимаций оптимальных значений двойственных переменных Для того, чтоб ответить на данный вопрос, необходимо вернуться к решению оптимизационной задачи.

Задача организации оптимальных валютных обменов (1.3) и двойственная ей задача t (1.8), описанные в §1, решались из предположения, что обменные курсы cii, i,i I априорно заданы на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени t = 1,...,T -1.

Зная же полученные аппроксимации, из (2.1) и (2.2) можно найти приближенные t 1,T оптимальные значения двойственных переменных на любом шаге [ ] по формуле:

pit = p(T )e- AT eAt (3.1) t где черта над означает, что значение – не точное, а аппроксимированное. То есть для p i этого нет необходимости знать все валютные курсы на всем рассматриваемом Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/143.pdf pit промежутке времени и проводить долгую и громоздкую процедуру расчета обратным ходом, да еще и методом итераций на каждом шаге t! Перейдем ко второму шагу – решению прямой задачи, но вместо точных t оптимальных значений двойственных переменных p будем использовать приближенные i t p.

i qi Введем нормировочные множители, которые для каждой валюты i постоянны на t p рассматриваемом промежутке времени. Умножим на них, и подставим в (1.4):

i t t t ii =-pqi +cii pitqi (3.2) i t t ii, i I Полученные будем использовать вместо ii, i I для принятия решения о конверсии валюты i в валюту i'. Если для данной валюты i все t ii, i I отрицательны, то валюта остается в самой себе. Если какие-то из них положительны, то валюта i конвертируется в валюту t j = arg max ii, i I (3.3) { } i I Проделав эту процедуру для каждой валюты на протяжении всего рассматриваемого промежутка времени от t=1 до t=T, построим траекторию валютных обменов. Очевидно, что данные обмены не будут оптимальными, но поскольку они получены, используя данные аппроксимации двойственных переменных, имеет смысл сравнить их с оптимальными.

Для этого, зная полученные валютные обмены (не оптимальные), для расчета pi app капитала валютного портфеля восстановим значения : это делается обратным ходом, ( ) аналогично нахождению оптимальных значений двойственных переменных, за тем лишь исключением, что в данном случае нет максимизации по всем возможным путям обмена, а t p есть только один, уже известный путь, для которого и считается. Оно может i получиться оптимальным, но оно может и не быть таковым.

Vi 0, i I Найдя pi app и зная начальный портфель, находим капитал портфеля ( ) для данных валютных обменов (не оптимальных!) на последнем шаге Т:

n K = p V ( ) (3.4) app i i ap p i = Полученное значение капитала сравнивается с оптимальным.

Приведём численный пример. Поскольку ранее было установлено, что доходность проведения оптимальных конверсионных операций существенно зависит от времени, то для целей нашего исследования был выбран относительно недолгий промежуток времени: с 08.01.02 по 26.02.02. Начальный портфель был взят такой же, как и в §2.

При данных условиях оптимальные значения двойственных переменных (то есть для 1 1 задачи (1.3)) для шага t=1 равны: p1 =1,0841, p1 = 0,9655, p3 =1,5632, p1 = 0,6547, p5 = 0,0082.

2 Это значит, что имеющиеся в первоначальном портфеле USD (1) при переходе в финальную оптимальную валюту увеличатся в 1,0841 раза, EUR (2) – в 1,1119 раз, GBP (3) – в 1,раза, CHF (4) – в 1,1119 раз и JPY (5) – в 1,1025 раз (в пересчете на единицы соответствующей первоначальной валюты). Для выбранного начального портфеля доходность конверсионных операций составляет 62% годовых.

В случае приближения без взвешивания, то есть когда для всех валют qi =1, i I, значения ( pi )app и ( pi )app piT, i I равны:

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2003/143.pdf (pi1)app (pi1)app/piT USD (1) 1,0347 1,EUR (2) 0,9215 1,GBP (3) 1,4919 1,CHF (4) 0,6249 1,JPY (5) 0,0078 1,Табл. 5. Значения (pit)app (без нормировки) Доходность конверсионных операций в этом случае равна 26% годовых.

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.