WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1537 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/136.pdf Расчет случайных ошибок 3D реконструкции на основе аналитической модели Архипов Ю.Б., Иванова Ю.А.(ulia@astroinform.ru) “Астроинформ СПЕ” Для решения многих прикладных задач дистанционного зондирования немаловажную роль играет определение всех трех координат пространственного положения элементов наблюдаемой сцены по двум и более стереоснимкам. Примерами могут служить оценка рельефа верхней границы облачности тропических циклонов, шлейфов вулканических извержений, индустриальных и природных пожаров. Существуют также примеры из других прикладных областей. В подобных задачах требования к ошибкам знания геометрии съемки определяются конечными требованиями к допустимым ошибкам стереореконструкции.

Рассматривается задача о геометрических ошибках 3D реконструкции сцены по двум и более изображениям. Считаем, что имеется 3 группы источников ошибок 3D реконструкции, поразному влияющие на конечный результат:

1. ошибки положения камеры 2. ошибки ориентации камеры 3. ошибки изображения Статистические параметры каждой группы ошибок могут зависеть от ряда различных факторов.

Заметим, что об ошибках 3D-реконструкции можно говорить только тогда, когда выбрано какое-либо определенное правило вычисления координат точки трехмерной сцены, являющейся прообразом найденных сопряженных точек. Таким образом, к трем рассмотренным выше первичным источникам ошибок можно добавить методическую ошибку, связанную с методом выбора прообраза.

Различные подходы к исследованию ошибок 3D-реконструкции были осуществлены в ряде работ [1, 2, 3, 4]. Первичные ошибки задачи постулировались гауссовыми с нулевым средним. Рассматривалась проективная геометрия построения изображения.

В настоящей работе предлагается аналитическое решение задачи, обладающее большей наглядностью. Класс технических задач существенно расширен: геометрия построения изображения не обязана быть проективной (допускается сканирование с произвольным законом по пространству и времени). Для простоты наложено ограничение: распределение ошибок для каждого луча, соединяющего изображение точки и саму точку, должно обладать осевой симметрией, что обычно выполняется с достаточной для практических целей точностью. Не рассматривается корреляция между пространственными координатами близколежащих точек, что повысило бы относительную точность 3D-реконструкции рельефа. Последнее представляет собой отдельную серьезную задачу. Отметим, что существует класс прикладных задач, где такая корреляция отсутствует.

Постановка задачи Рассмотрим камеру с произвольной внутренней геометрией. Общим случаем является приемная система с произвольным законом сканирования по пространству и времени.

Частным случаем является, например, традиционная проективная камера.

Точке трехмерного мира соответствует K сопряженных точек на K изображениях и K сопряженных лучей, исходящих из K центров проектирования (эквивалентная оптическая схема). Каждый луч можно характеризовать точкой начала и направляющим вектором.

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1538 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/136.pdf Ошибки знания геометрии съемки разделяются на ошибки знания положения проективного центра и группу ошибок, приводящих к ошибке знания ориентации сопряженных лучей. Эта последняя группа ошибок состоит из:

- ошибок знания ориентации аппарата;

- ошибок союстировки осей аппарата и камеры;

- остаточных ошибок знания внутренней геометрии камеры;

- ошибок нахождения сопряженных точек на изображениях, обусловленных как квантованием изображения по уровню сигнала и пространству (пиксели), степенью совершенства алгоритмов поиска сопряженных точек, так и особенностями рельефа и рисунка исследуемой поверхности, диаграммами рассеяния ее отдельных участков и т.д.

В случае возможности подгонки параметров геометрии съемки по опорным точкам ошибки знания внешней геометрии заменяются на неустранимые ошибки подгонки.

Фактически для целей исследования точности 3D-реконструкции группу ошибок, имеющих характер угловых ошибок, можно объединить в одну (двухкомпонентную) ошибку знания углового положения сопряженных лучей.

В качестве исходных примем следующие допущения:

- ошибки знания точки начала луча по трем координатам имеют гауссово распределение с нулевым средним и одинаковыми дисперсиями ;

R - ошибки знания направления луча будем характеризовать гауссовым законом распределения с нулевым средним и одинаковыми дисперсиями по координатам точки пересечения истинного луча с перпендикулярной этому лучу плоскостью, отстоящей на единичное расстояние от проективного центра Далее ошибки знания будем называть просто ошибками.

Тогда ошибки по координатам точки пересечения луча с перпендикулярной плоскостью, расположенной на расстоянии L от проективного центра, также будет распределена по нормальному закону с дисперсией 2 2 = + L2k, k = 1, K, (1) Lk Rk k где K–количество изображений стереосъемки. При написании формулы (1) изначально предполагалось, что диаграмма углового рассеяния, определяемая параметром k, достаточно узкая, что дает право пренебрегать изменением члена Lkk на расстояниях порядка Rk.

Плотность распределения точки пересечения расчетного луча с плоскостью, перпендикулярной истинному лучу и находящейся на расстоянии Lk от проективного центра записывается в виде 1 x + yPk(x, y x = 0, yt = 0)= exp- (2) t 22 Lk Lk где xt, yt - координаты точки пересечения плоскости истинным лучом.

На рисунке 1 для случая двух лучей штрихпунктирной линией изображены истинные лучи, точка пересечения которых является истинной точкой, прообразом сопряженных точек на снимках. Степень рассеяния расчетных лучей относительно истинных схематически изображена фигурами вращения, радиус сечения которых является среднеквадратическим отклонением точки пересечения лучом плоскости, расположенной на расстоянии Lк от проективного центра.

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1539 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/136.pdf LLLLРис. Основываясь на описанной выше модели явления выберем алгоритм вычисления (оценки) 3D точки и найдем статистику ошибок применительно к этой оценке, исходя из того, что истинные сопряженные лучи неизвестны.

Нахождение апостериорной плотности вероятности 3D точки Рассмотрим обратную задачу. Пусть теперь на рисунке 1 штрихпунктирными линиями изображены расчетные лучи, положение которых известно. Из-за присущих любой технической системе ошибок в измеренных, а также вычисленных по некоторым моделям величинах, положение расчетных лучей известно неточно. В частности, в трехмерном пространстве расчетные лучи, вообще говоря, не пересекаются.

Используя предыдущие определения, найдем статистику рассеяния истинных лучей относительно расчетных. Проведем плоскость P, перпендикулярную (для определенности) истинному лучу. Запишем для векторных координат t, m точек пересечения луча с плоскостью P соотношение Байэса p(m | t) p(t) p(t | m) = p(m | t) p(t) d(t) или p(m | t) p(t) p(t | m) = (3) p(m) где p(t | m) – плотность вероятности истинного события t при условии наблюдаемого m.

Ввиду малости поля ошибок можно считать априорную вероятность p(t) пренебрежимо мало изменяющейся в пределах этого поля. Аналогично, в пределах поля ошибок также мало изменяется априорная плотность события p(m), причем с достаточной точностью p(t) = p(m). Отсюда, учитывая (3), вытекает p(t | m) = p(m | t) (4) Перейдя в (4) к плотностям ошибок m – t p(t | m) = p(m – t | m), p(m | t) = p(m – t | t) придем к p(m – t | m) = p(m – t | t) (5) Последнее означает, что при узких полях ошибок условные распределения полей ошибок (5) практически совпадают.

Окончательно, учитывая центральную симметрию распределения (2) и соотношение (5), имеем для апостериорной вероятности распределения истинного луча - xmk )2 + (y - ymk ) 1 (x pk (x, y | xmk, ymk ) = exp- (6) 2 2 Lk Lk где xmk, ymk - координаты измеренного луча.

Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1540 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/136.pdf € Далее будем искать оценку R для трехмерной истинной точки Ru и плотность распределения трехмерной ошибки p(е), где € е = R - Ru. (7) Интересующая нас точка Ru реально может лежать только в узкой зоне сближения лучей.

Максимальный линейный размер этой зоны при не слишком малых углах стереобазы имеет порядок максимальной из величин Lk. Учитывая малость входных ошибок, в зоне сближения лучей пренебрежем в формуле (1) изменением Lk от расстояния Lk. Перепишем формулу (1) в виде 2 2 2 = + Ck, k = 1,...K (8) Lk Rk k где в качестве константы Ck можно выбрать любое число, близкое к длине отрезка с началом, совпадающим с началом луча, и концом в зоне сближения лучей.

Переходя теперь к трехмерной апостериорной плотности распределения истинной точки, с учетом (6) и (8), имеем в зоне сближения лучей цилиндрическое распределение плотности - xmk )2 + ( y - ymk ) 1 (x pk (x, y | xmk, ymk ) = Ak 2 exp- 2 Lk Lk или rk pk (R | mk ) = Gk exp- (9) Lk где Ak, Gk - неизвестные постоянные коэффициенты (в пределах малой зоны сближения лучей);

R - трехмерная координата точки пространства;

mk - связанный вектор k-го измеренного луча;

rk - расстояние от точки R до k-го луча;

Lk - определяется формулой (8).

В силу независимости измерений плотность апостериорной вероятности равна произведению плотностей апостериорных вероятностей K (10) p(R | m1,m2,...m ) = (R | mk ) K pk k =Оценка (вычисление) 3D точки по принципу максимального правдоподобия В соответствии с принципом максимального правдоподобия в качестве оценки € истинной точки примем точку, доставляющую максимум выражению (10).

R Для дальнейших оценок ограничимся случаем двух лучей. В этом случае формула (10) принимает вид r12 r(11) p(R | m1, m2 ) = p1(R | m1) p2 (R | m2 ) = G1G2 exp- 2 2 L1 LНа рис. 2 представлена геометрия съемки одной физической точки Rи в проекции на плоскость, параллельную расчетным лучам 1 и 2, соответствующим этой точке. Из-за присущих процессу ошибок лучи, вообще говоря, не проходят через точку Rи и не пересекаются между собой.

В зоне максимального сближения лучей в соответствии с предположением о малости ошибок изображены цилиндрические участки плотности вероятности нахождения истинной точки Rи для каждого луча.

Очевидно, максимум выражения (11) достигается на минимальном отрезке, соединяющем лучи. В самом деле, рассмотрим произвольную точку R, не лежащую на минимальном отрезке. Опустим из точки R перпендикуляр на минимальный отрезок. Rg - точка основания перпендикуляра. Очевидно Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1541 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/136.pdf p1(R | m1) p1(Rg | m1), p2(R | m1) p2(Rg | m1) Таким образом, точка максимума вероятности лежит на минимальном отрезке.

R R Ru Рис.Итак, будем искать максимум апостериорной вероятности на минимальном отрезке. Для этого перепишем формулу (11) в виде:

2 d d r + r - 2 (12) p(r m1, m )= p1(r m1) p2(r m )= G exp - 2 2 2 1 где G - постоянный коэффициент;

d r - координата вдоль минимального отрезка, соединяющего лучи, причем r = - на первом d луче и r = на втором луче;

d -.расстояние между лучами.

Здесь и далее под 1 и 2 подразумеваются L1 и L2.

€ В соответствии с принципом максимума правдоподобия находим точку r максимума (12) 2 d (13) € r = - 1 + d d € Как и следовало ожидать, при изменении 2/1 от до 0 r изменяется от - до, т.е.

2 всегда находится между экспериментально измеренными лучами; при = точка 2 максимума лежит посредине между лучами.

Плотность распределения вектора ошибок 3D реконструкции Рассмотрим геометрию зоны пересечения лучей визирования в проекции на плоскость, содержащую истинные лучи визирования (рис. 3). Введем три естественные системы Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1542 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/136.pdf координат: XYZ, X1Y1Z1, X2Y2Z2, в которых описание явления имеет наиболее простой вид.

Центры этих систем координат находятся в истинной точке Mu. Оси Z1 и Z2 направлены на центры проектирования. Ось Z делит угол между осями Z1 и Z2 пополам. Оси X, X1, Xлежат в плоскости истинных лучей.

Z ZZ// m1 mX^ M X Mu XРис. Рассмотрим расчетные лучи, характеризуемые векторами m1 и m2 (на том же рисунке). На € минимальном отрезке, соединяющем эти лучи, находится оценка M истинной точки Mu.

В рамках предыдущих допущений расчетные лучи параллельны истинным и характеризуются своим положением Xk, Yk и плотностями вероятностей 1 X + Ykk pk (X, Yk ) = exp-. (14) k 2 2 k k € Задача состоит в нахождении плотности вероятности p(M), равной плотности вероятности € вектора ошибки е = M - Mu.

Обозначим X1, Y1, X2, Y2, реализации компонент первого и второго расчетных лучей в своих €, €, € системах координат и выразим через них координаты (в системе XYZ) X Y Z расчетной € € получаются из чисто геометрических соображений; для Y € – с точки. Формулы для X и Z учетом принятой оценки (5).

X1 + X € X = 2 cos 2 € Y = Y1 2 2 + Y2 2 1 (15) 2 + + 1 2 1 X1 - X € Z = 2sin Электронный журнал «ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ» 1543 http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/136.pdf Очевидно, при принятых выше допущениях, математические ожидания компонент вектора T € €, € € R = (X Y, Z) равны нулю.

€ Найдем дисперсии и ковариации компонент вектора R, используя свойство билинейности ковариации: cov i, = bj cov(i, ). Имеем, с учетом независимости ai bj j ai j i j i, j смещений X1, Y1, X2, Y2 2 2 2 2 1 + € €= 1 2, var Z = 1 + 2, € var X =, varY 2 1 + 4cos2 4sin (16) 2 2 1 - €, € €, € € € cov(X Y)= 0, cov(X Z)=, cov(Y, Z)= 0.

2sin € Распределение R нормальное, как распределение линейных функций нормально € распределенных независимых величин X1, Y1, X2, Y2, а именно, R имеет 3-х мерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей A = (aij ) 2 2 2 1 + 1 2 2sin 4cos 2 (17) A = 0 2 1 + 2 2 2 1 - 1 + 2 2sin 4sin Таким образом, получена ковариационная матрица ошибок (17) в системе координат X, Y, Z (рис. 3), которую в дальнейшем будем называть специальной системой координат. Как видно из (17), в специальной системе координат отсутствует корреляция ошибок по Y с ошибками по другим координатам. Назовем собственной системой координат такую систему, в которой корреляционная матрица ошибок имеет диагональный вид. Как и следовало ожидать, при = специальная система координат является собственной (см. выражение (17).

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.